Este documento presenta las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial f(x) = ax tiene dominio en los números reales y base a mayor que 0 y diferente de 1. Su gráfica es creciente, cóncava hacia arriba y tiene como asintota horizontal el eje x. También define la función logarítmica logax como el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el número x, y analiza las propiedades de sus gráficas para diferentes bases a.

1. FUNCIONFUNCION
EXPONENCIAL YEXPONENCIAL Y
LOGARITMICALOGARITMICA
COLEGIO LA PURISIMACOLEGIO LA PURISIMA
CHILLANCHILLAN

2. Función exponencial
 Una función exponencial f está
dada por:
f(x) = ax
donde x es cualquier número real,
a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama
base.

3. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
tabulamos:
Gráfica de f(x)=2x

4. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
x
y 2=
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni
lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
La gráfica es:
Creciente
Cóncava hacia arriba.
Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).

5. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 2
seguir
x
ay =

6. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 3
seguir
x
ay =

7. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 4
seguir
x
ay =

8. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 5
seguir
x
ay =

9. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 1.5
seguir
x
ay =

10. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 1.2
seguir
x
ay =

11. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 1
seguir
x
ay =

12. tabulamos…
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Gráfica de f(x)=(½)x

13. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
( )
x
y
2
1= La gráfica es:
Decreciente
Cóncava hacia arriba.
Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni
lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

14. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 0.5
seguir
x
ay =

15. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 0.33
seguir
x
ay =

16. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 0.25
seguir
x
ay =

17. −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
a = 0.2
seguir
x
ay =

18. Muy importante!!−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
f(x)=
a > 1
x
a
);1( 1
a
);2( 2
a
);1( 1−
− a
)1;0(
Función creciente
Rango: (0; ∞)
Dominio: ℜ
Asíntota: Eje x
Gráfica cóncava
hacia arriba
Conclusiones

19. OJO!!
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
f(x)=
0 < a < 1
x
a
)1;0(
);1( 1
a
);2( 2
a
);1( 1−
− a
);2( 2−
− a
Función decreciente
Rango: (0; ∞)
Dominio: ℜ
Asíntota: Eje x
Gráfica cóncava
hacia arriba
Conclusiones

20. n
1 S/.2,00000
2 S/.2,25000
3 S/.2,37037
4 S/.2,44141
12 S/.2,61304
52 S/.2,69260
365 S/.2,71457
8760 S/.2,71813
525600 S/.2,71828
…. …..
n
)
n
1(1A +=
El monto obtenido crece
como puede apreciarse
pero solo hasta cierta
cantidad, es decir
cuando n se hace muy
grande…
( )
....718281828,2
11lim
≈
+=
∞→
e
n
e
n
n
El número e

21. Gráfica de f(x) = ex
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
x
ey =
Función creciente
Rango: (0; ∞)
Dominio: ℜ
Asíntota: Eje x
Gráfica cóncava
hacia arriba
x ex
0 1
1 2,71..
2 7,38..

22. −2 −1 1 2
1
2
3
4
5
6
x
y
x
y 3=
x
y 2=
x
ey =
Gráfica de f(x) = ex

23. Ejercicios
Ejercicio 1.5 (p. 63)
1. Gráficas: 7, 8, 11 y 13.
2. 17 y 18
3. Modelación: 23.

24. Composición de funciones
fg
entrada
x g(x)
salida
f(g(x))

25. Función compuesta fog
Sean f y g funciones reales tales
que Dom f ∩ Ran g ≠ φ,
entonces:
1. Dom(fog) = {xεℜ / xεDomg ∧ g(x)εDomf }
2. fog(x) = f(g(x))

26. Ejercicios
Ejercicio 1.3 (p. 48):
1. 36;
2. 38;
3. 54 y 55.

27. f
g
Note que: y = f(x) y x = g(y)
g(y)
x. .y = f(x)
Diagrama de una función inversa

28. Definición
Sean f y g dos funciones tales que:
dominio de f es D y rango C
dominio de g es C y rango D
g es la inversa de f si se cumple:
– g(f(x)) = x para todo x en D
– f(g(x)) = x para todo x en C

29. Guía para hallar f -1
1. Verificar que f es inyectiva (*).
2. Determinar Dom f -1
(**)
3. Despejar x de y = f (x).
* Se recomienda realizar el gráfico y
determinar el rango de f.
* * Dom f -1
= Ran f

30. Ejercicios
1. Ejercicio 1.6 (p. 73): 7
2. Ejercicio 1.6 (p. 73): 10
3. Dada la función f(x) = x2
- 1, x<0;
y grafique f y f -1
en un mismo
plano.

31. Función logarítmo
log ax = y ⇔ ay
= x
a>1 y a≠1
• El logaritmo de un número x en una base
a es el exponente y al que hay que
elevar la base para obtener el número.

32. Ecuación logarítmica Ecuación exponencial
NMa =log MaN
=
2100log10 =
201,0log10 −=
2
1
49 7log =
100102
=
01,010 2
=−
7492
1
=
Exponenciales y logarítmos

33. xxy y
=⇔= 2log2
¼ -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
8 3
y
x 2= y
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
graficamos…
Gráfica de f(x) = log 2 x

34. −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
xy 2log=
Se observa que ahora la
asíntota vertical es el eje y
La gráfica es
creciente y cóncava
hacia abajo y pasa
por (1; 0)
¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de
base 2?

35. ¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
x
xf 2)( =
xxg 2log)( =
xy =
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son simétricas
respecto a la recta y = x.
Cada punto (a; b) de la
curva exponencial tiene su
simétrico de la forma (b; a)
en la curva logarítmica.

36. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 2
seguir
xy alog=

37. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 2,5
seguir
xy alog=

38. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 3
seguir
xy alog=

39. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 3,5
seguir
xy alog=

40. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 4
seguir
xy alog=

41. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 4,5
seguir
xy alog=

42. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 5
seguir
xy alog=

43. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 1,6
seguir
xy alog=

44. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
a = 1,2
seguir
xy alog=

45. a = 0,8
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
seguir
xy alog=

46. a = 0,7
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
seguir
xy alog=

47. a = 0,6
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
seguir
xy alog=

48. a = 0,5
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
seguir
xy alog=

49. a = 0,4
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
x
y
seguir
xy alog=

50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
xy alog=
a > 1
Función creciente
Dominio: (0; ∞)
Rango: ℜ
Asíntota: Eje y
Gráfica cóncava
hacia abajo
base
a
Conclusiones

51. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
xy alog=
0 < a < 1
Función decreciente
Dominio: (0; ∞)
Rango: ℜ
Asíntota: Eje y
Gráfica cóncava
hacia arriba
a
base
Conclusiones

52. Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 y
cualquier número real k:
MkM
NM
N
M
NMNM
ka
a
a
k
a
aaa
aaa
k
a
a
a
loglog.6
logloglog.5
logloglog.4
log.3
01log.2
1log.1
⋅=
−=
+=
=
=
=
Leyes de logarítmos

53. Para cualquier número positivo x.
xx loglog10 =
Logarítmo decimal o común
El logaritmo log10 x se llama
logaritmo común de x y su forma
abreviada es log x.

54. Son aquellos cuya base es el número
e ≈ 2,7182818..
Para cualquier número positivo x.
xxe lnlog =
Logaritmo natural

55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
e
Posee las
características de
toda gráfica
logaritmica de
base mayor que 1.
Gráfica de f(x) = ln x

56. Ejercicios
Ejercicio 1.6 (p. 73)
1. De exponencial a logaritmo: 19 y 28.
2. Función logaritmo: 42.
3. Ecuaciones exponenciales: 49, 50, 51 y
52.
4. Modelación: 55 y 56.

57. Tarea de conciencia
Ejercicio Capítulo 1 (p. 79)
• 1, 2, 8, 10, 15, 16, 17c, 19, 23, 25,
27 y 28.