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Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1
Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436
Segundo Parcial – Ciencias Exáctas – 1997
1) Hallar el área de la región encerrada entre las curvas y = 3−x , y = ½ x – 1 y el eje x. Hacer un
gráfico donde se indique la región.
2) Hallar ∫
3
0
)( dxf x sabiendo que f (x) = 5 x 2
. f ”(x) ; f ’(3) = 2; f (3) = − 1.
3) La función 5
)( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en xo = 0 a
P(x) = 1 + 7 x –
2
196
x 2
. Hallar el valor de a si R(x) es el resto de orden 2, hallar la expresión de R1.
4) Determinar si la serie ∑
∞
=
−
+1
1
12
2
n
n
n
es convergente ó divergente.
______________________________________________________________________________
Respuestas:
Ejercicio 1: Para hallar el punto de intersección de ambas gráficas, las igualamos y despejamos x.
( )
( )
4)4(0
1680
420
13
1313
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
2
1
2
1
=⇒−=
+−=
+−=
+−=−
−=−→−=−
xx
xx
xx
xxx
xxxx
En área entre las gráficas y el eje de las x depende de los ceros de la función de cada una de las fun-
ciones (x = 2 para la recta y x = 3 para la raíz) y el punto de intersección. De allí sacamos los límites
de integración. Entre [2, 3] está la recta y entre [3, 4] debemos restar el área de la recta y la raíz. Las
cuentas nos quedan así:
( ) [ ]
( )
( ) ( )
buscadaÁrea
3
1
12
1
4
1
33
3
2
3
4
3
34
3
2
4
4
4
2
4
2
3
4
3
3
3
2
44
311
3
2
3
222
4
3
3
2
3
2
2
3
2
4
3
2
1
2
1
→=+=
=
















−−−−








−−−+
















−−








−=
=−−−+−=
=−−−+−∫ ∫
xx
x
x
x
dxxxdxx
(Lujan)
Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 2
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Ejercicio 2: En este tipo de ejercicio necesitamos aplicar integral “por partes” ya que f(x) = 5 x2
f
”(x) y no sabemos que la derivada de 5x2
sea f ”(x) por lo que no se puede aplicar “sustitución”. No
conviene dejar los límites de integración durante la operación ya que habría que cambiarlos.
∫ ∫−= dvvvudvu ...
∫∫ =−= dxxffxdxf.x xxx .10.''5''5 )()(
2
)(
2
u = 5x2
→ du = 10x dx
dv = f ”(x) dx → v = f”(x)
Aplicamos nuevamente por partes.
∫ ∫−= dvvvudvu ...
( )∫∫ −−=− dxffxfxdxfxfx xxxxx )()()(
2
)()(
2
10.10'.5.'.10'5
u = 10x → du = 10 dx
dv = f ’(x) dx → v = f (x)
∫∫ +−= dxffxfxdxf xxxx )()()(
2
)( 10.10'.5 (despejemos la integral de f(x))
∫∫ ∫ −=−→−=+ )()(
2
)()()(
2
)()( .10'.59.10'.510 xxxxxxx fxfxdxffxfxdxfdxf
( )∫ −−= )()(
2
)( .10'.5
9
1
xxx fxfxdxf (Ahora pongamos los límites de integración y podemos hallar
lo que nos han pedido, teniendo en cuenta que f ’(3) = 2; f (3) = − 1).
( ) ( ) ( )∫ 





−−−−−=−−=
3
0
)0()0(
2
)3()3(
2
3
0
)()(
2
)( .0.10'.0.5
9
1
.3.10'.3.5
9
1
.10'.5
9
1
fffffxfxdxf xxx =
( )
3
40
0)1.(3.102.9.5
9
1
−=−−−−
Ejercicio 3: Nos dicen que la función 5
)( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2
en xo = 0 a P(x) = 1 + 7x –
2
196
x 2
.
Quiere decir que la primera derivada f ’(0) = 7 y la segunda derivada f “(0) = – 196
Derivemos la función para hallar la primera derivada:
.3577.
)10.(.5
1
7.
)1(5
1
'
1
5
1
5 4
)0(
5 4
)(
5
)(
=⇒=⇒=
+
⇒=→
+
=
+=
aaa
a
fa
ax
f
axf
x
x
(Lujan)
Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 3
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Comprobemos con la segunda derivada.
196
)10.35(
196
"
)135(
196
"
)135(
7
'
)135(5
35
'
)0(
5 9
)(
5 4
)(
5 4
)(
−=
+
−
=→
+
−
=
+
=→
+
=
f
x
f
x
f
x
f
x
xx
Debemos hallar la expresión de R1.
))((
)1(
1
)(
)!1(
)(
axa
n
n
xn f
n
ax
R −σ+
+
+
+
−
= Donde 0 < σ <1 y a representa el valor que le damos a x
para armar el polinomio. Es por eso que nos queda:
)(
)1(
1
)(
)!1(
)(
x
n
n
xn f
n
ax
R σ
+
+
+
−
=
Tomemos un valor intermedio de σ
( )
( )
( )
( ) 21
)1(
12348
.
!3)135(
12348
.
!3 5 14
4
35
3
2
1
3
5 14
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1 ≈
+
=⇒
+σ
= RR
(En este caso donde x = ½ debemos calcular 79,15,181.35 55
2
1
≈=+ ; aplicando el polinomio nos
da un valor de – 20. El error es de 21,79).
Ejercicio 4: Para determinar si la serie ∑
∞
=
−
+1
1
12
2
n
n
n
es convergente aplicamos el criterio D’alambert
}
{
.22.
2
2
2.
)2(
)2(
2.
)2(
)2(
2.2
12
.
32
2
2
12
.
122
2
12
2
:
1)1(2
2
0
3
0
1
3
1
11
1111)1(
)(
)1(
==
+
+
∞→
=
+
+
∞→
=
=
+
+∞→
=
+
++∞→
=
+++∞→
=
∞→ −−
−+−−+
+
n
n
n
n
n
n
n
nnn
n
n
n
lim
n
n
n
lim
n
nn
limn
nn
lim
nnn
lim
f
f
n
lim
Como el límite es mayor que 1, entonces la serie es divergente.
(Lujan)
Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1
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Segundo Parcial: Ciudad Universitaria – 1º Cuat. de 2001
1- Sabiendo que la función f satisface la ecuación x. f ''(x) + [f '(x)]3
= e2x
para todo x ∈ R con f(0) = 4
halle el polinomio de Taylor de orden 3 en xo = 0 de f.
Rta.: P(x) = 4 + x + 3 x2
+ 0 x2
2- Encuentre constantes a y b reales tales que dxexbadxex
x−−
∫ ∫+=
1
0
1
0
577
.
Rta.: a = – 8. e – 1
y b = 42
3- Halle el área de la región del plano ubicada en el primer cuadrante, comprendida entre los ejes
coordenados, la recta
3
4ln=y y la curva de ecuación ( )xy +=
3
1ln .
Rta.: 2 – 2 ln(J)
4- Considere la serie de potencias ∑
∞
= ++
−−
1 1)12(
)3()1(
n
nn
nn
x
, encuentre el intervalo más grande donde la
serie converge absolutamente y estudie la convergencia en los extremos de dicho intervalo.
Rta.: Converge absolutamente en x = [2;4) y condicionalmente en x = 4.
(Lujan)

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  • 1. Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1 Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Segundo Parcial – Ciencias Exáctas – 1997 1) Hallar el área de la región encerrada entre las curvas y = 3−x , y = ½ x – 1 y el eje x. Hacer un gráfico donde se indique la región. 2) Hallar ∫ 3 0 )( dxf x sabiendo que f (x) = 5 x 2 . f ”(x) ; f ’(3) = 2; f (3) = − 1. 3) La función 5 )( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en xo = 0 a P(x) = 1 + 7 x – 2 196 x 2 . Hallar el valor de a si R(x) es el resto de orden 2, hallar la expresión de R1. 4) Determinar si la serie ∑ ∞ = − +1 1 12 2 n n n es convergente ó divergente. ______________________________________________________________________________ Respuestas: Ejercicio 1: Para hallar el punto de intersección de ambas gráficas, las igualamos y despejamos x. ( ) ( ) 4)4(0 1680 420 13 1313 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 2 1 2 1 =⇒−= +−= +−= +−=− −=−→−=− xx xx xx xxx xxxx En área entre las gráficas y el eje de las x depende de los ceros de la función de cada una de las fun- ciones (x = 2 para la recta y x = 3 para la raíz) y el punto de intersección. De allí sacamos los límites de integración. Entre [2, 3] está la recta y entre [3, 4] debemos restar el área de la recta y la raíz. Las cuentas nos quedan así: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) buscadaÁrea 3 1 12 1 4 1 33 3 2 3 4 3 34 3 2 4 4 4 2 4 2 3 4 3 3 3 2 44 311 3 2 3 222 4 3 3 2 3 2 2 3 2 4 3 2 1 2 1 →=+= =                 −−−−         −−−+                 −−         −= =−−−+−= =−−−+−∫ ∫ xx x x x dxxxdxx (Lujan)
  • 2. Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 2 Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Ejercicio 2: En este tipo de ejercicio necesitamos aplicar integral “por partes” ya que f(x) = 5 x2 f ”(x) y no sabemos que la derivada de 5x2 sea f ”(x) por lo que no se puede aplicar “sustitución”. No conviene dejar los límites de integración durante la operación ya que habría que cambiarlos. ∫ ∫−= dvvvudvu ... ∫∫ =−= dxxffxdxf.x xxx .10.''5''5 )()( 2 )( 2 u = 5x2 → du = 10x dx dv = f ”(x) dx → v = f”(x) Aplicamos nuevamente por partes. ∫ ∫−= dvvvudvu ... ( )∫∫ −−=− dxffxfxdxfxfx xxxxx )()()( 2 )()( 2 10.10'.5.'.10'5 u = 10x → du = 10 dx dv = f ’(x) dx → v = f (x) ∫∫ +−= dxffxfxdxf xxxx )()()( 2 )( 10.10'.5 (despejemos la integral de f(x)) ∫∫ ∫ −=−→−=+ )()( 2 )()()( 2 )()( .10'.59.10'.510 xxxxxxx fxfxdxffxfxdxfdxf ( )∫ −−= )()( 2 )( .10'.5 9 1 xxx fxfxdxf (Ahora pongamos los límites de integración y podemos hallar lo que nos han pedido, teniendo en cuenta que f ’(3) = 2; f (3) = − 1). ( ) ( ) ( )∫       −−−−−=−−= 3 0 )0()0( 2 )3()3( 2 3 0 )()( 2 )( .0.10'.0.5 9 1 .3.10'.3.5 9 1 .10'.5 9 1 fffffxfxdxf xxx = ( ) 3 40 0)1.(3.102.9.5 9 1 −=−−−− Ejercicio 3: Nos dicen que la función 5 )( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en xo = 0 a P(x) = 1 + 7x – 2 196 x 2 . Quiere decir que la primera derivada f ’(0) = 7 y la segunda derivada f “(0) = – 196 Derivemos la función para hallar la primera derivada: .3577. )10.(.5 1 7. )1(5 1 ' 1 5 1 5 4 )0( 5 4 )( 5 )( =⇒=⇒= + ⇒=→ + = += aaa a fa ax f axf x x (Lujan)
  • 3. Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 3 Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Comprobemos con la segunda derivada. 196 )10.35( 196 " )135( 196 " )135( 7 ' )135(5 35 ' )0( 5 9 )( 5 4 )( 5 4 )( −= + − =→ + − = + =→ + = f x f x f x f x xx Debemos hallar la expresión de R1. ))(( )1( 1 )( )!1( )( axa n n xn f n ax R −σ+ + + + − = Donde 0 < σ <1 y a representa el valor que le damos a x para armar el polinomio. Es por eso que nos queda: )( )1( 1 )( )!1( )( x n n xn f n ax R σ + + + − = Tomemos un valor intermedio de σ ( ) ( ) ( ) ( ) 21 )1( 12348 . !3)135( 12348 . !3 5 14 4 35 3 2 1 3 5 14 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 ≈ + =⇒ +σ = RR (En este caso donde x = ½ debemos calcular 79,15,181.35 55 2 1 ≈=+ ; aplicando el polinomio nos da un valor de – 20. El error es de 21,79). Ejercicio 4: Para determinar si la serie ∑ ∞ = − +1 1 12 2 n n n es convergente aplicamos el criterio D’alambert } { .22. 2 2 2. )2( )2( 2. )2( )2( 2.2 12 . 32 2 2 12 . 122 2 12 2 : 1)1(2 2 0 3 0 1 3 1 11 1111)1( )( )1( == + + ∞→ = + + ∞→ = = + +∞→ = + ++∞→ = +++∞→ = ∞→ −− −+−−+ + n n n n n n n nnn n n n lim n n n lim n nn limn nn lim nnn lim f f n lim Como el límite es mayor que 1, entonces la serie es divergente. (Lujan)
  • 4. Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1 Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Segundo Parcial: Ciudad Universitaria – 1º Cuat. de 2001 1- Sabiendo que la función f satisface la ecuación x. f ''(x) + [f '(x)]3 = e2x para todo x ∈ R con f(0) = 4 halle el polinomio de Taylor de orden 3 en xo = 0 de f. Rta.: P(x) = 4 + x + 3 x2 + 0 x2 2- Encuentre constantes a y b reales tales que dxexbadxex x−− ∫ ∫+= 1 0 1 0 577 . Rta.: a = – 8. e – 1 y b = 42 3- Halle el área de la región del plano ubicada en el primer cuadrante, comprendida entre los ejes coordenados, la recta 3 4ln=y y la curva de ecuación ( )xy += 3 1ln . Rta.: 2 – 2 ln(J) 4- Considere la serie de potencias ∑ ∞ = ++ −− 1 1)12( )3()1( n nn nn x , encuentre el intervalo más grande donde la serie converge absolutamente y estudie la convergencia en los extremos de dicho intervalo. Rta.: Converge absolutamente en x = [2;4) y condicionalmente en x = 4. (Lujan)