1. Tema IX
Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
Precálculo

3. Función Exponencial
• La función exponencial básica es f(x) = bx, donde la
base b es una constante y el exponente x es la variable
independiente.
( ) , donde 0, 1x
b bx bf
Base
Exponente

4. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x

5. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2
-1
0
1
2
3

6. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1
0
1
2
3

7. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1
0
1
2
3

8. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0
1
2
3

9. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0
1
2
3

10. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1
2
3

11. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1
2
3

12. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2
3

13. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2
3

14. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3

15. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3

16. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8

17. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8

18. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8

19. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8

20. Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8 Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual
la función graficada se acerca a medida que los valores de x
se hacen muy grandes o muy pequeños.

21. Función Exponencial
Una función de la forma ( ) , donde
0 y 1, es una función de
la cual aumenta a medida que
aumenta.
Cuando 0 1, la función es llama
crecimien
da una
fun
to
exponencial,
decaimiento exponeci ncón de
x
f x ab
a b
x
b
, la cual
disminuye a medida que aume
i
.
al
ntax

22. Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o
decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 1.5x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

23. Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o
decaimiento. Luego grafícala.
1. g(x) = 30(0.8)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
x
y

24. Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o
decaimiento. Luego grafícala.
1. h(x) = 5(1.2)x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y

25. Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o
decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 10(3/4)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

26. Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o
decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 100(1.05)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

27. Crecimiento y Decaimiento
1( )
t
aA rt
Cantidad Final
Cantidad Inicial
Razón de Cambio
Número de Periodos de Tiempo
En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r, es llamado el
factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.

28. Aplicaciones
• Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por
$12,000 en el año 2000. Los expertos estiman
que su valor aumentará un 14% por año.
Utiliza una gráfica para encontrar cuando el
valor de la guitarra será $60,000.

29. Aplicaciones
• La población de una ciudad, la cual era
inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a
una razón de 3% al año. Escribe una función
exponencial y grafica la función. Utiliza la
gráfica para predecir cuando la población
llegará a los 8,000.

30. Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego
grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 0 1 2 4 8
y 2 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

31. Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego
grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 1 3 4 5 6
y 0 1 2 3 5
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

32. Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego
grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 0 1 5 8 9
y 2 5 6 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

33. Escribiendo Funciones Inversas
Encuentra la inversa de las siguientes funciones.
1) ( ) 2
2) ( )
3
2
3) ( )
3
4) ( ) 5
4
5) ( ) 5 7
6) ( ) 3 7
f x x
x
f x
f x x
x
f x
f x x
f x x

34. Escribiendo y Graficando Funciones
Inversas
Grafica ( ) 3 6. Luego escribe y grafica la inversa.f x x
f(x)=3x+6
f(x)=x/3-2
f(x)=x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y

35. Escribiendo y Graficando Funciones
Inversas
1
Grafica ( ) 5. Luego escribe y grafica la inversa.
2
f x x
f(x)=-x/2-5
f(x)=-2x-10
f(x)=x
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
y

36. Escribiendo y Graficando Funciones
Inversas
2
Grafica ( ) 2. Luego escribe y grafica la inversa.
3
f x x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

37. Aplicaciones
• Juan compró un CD por Internet con un 20%
de descuento del precio regular. El pagó $2.50
por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es
el precio regular del CD?

38. Logaritmos
• Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una
base específica para obtener un valor dado.
• Puedes escribir una ecuación exponencial como
una logarítmica y viceversa.
logx
bb a a x
Ecuación Exponencial Ecuación Logarítmica

39. Escribe cada ecuación exponencial en
forma logarítmica
Ecuación Exponencial Forma Logarítmica
5
3 243
1
2
25 5
4
10 10,000
1 1
6
6
b
a c

40. Propiedades Especiales de Logaritmos
Para cualquier base 0 y 1.b b
log 1b b
log 1 0b
FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EJEMPLO
Logaritmo de Base b
Logaritmo de 1
1
b b
0
1b
10
1
log 10 1
10 10
10
0
log 1 0
10 1
10
Un logaritmo con base 10 es llamado un .
Si no se escribe una base para algún logaritmo se asume que es 10.
Ejemplo:
logaritmo
log5 lo
comú
g
n
5.

41. Evaluando Logaritmos Mentalmente
4
25
5
7
Evalúa utilizando matemática mental.
1) log1000
1
2) log
4
3) log0.00001
4) log 0.04
5) log0.01
6) log 125
7) log 243

42. Propiedad de Producto de Logaritmos
log log logb b bmn m n
3 3 3 3
Ejemplo:
log 1000 log 10 100 log 10 log 100

43. Propiedad de Producto de Logaritmos
• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si
es posible.
1. log5625 + log525
2. log42 + log432
3. log64 + log69

44. Propiedad de Cociente de Logaritmos
log log logb b b
m
m n
n
5 5 5
Ejemplo:
16
log log 16 log 2
2

45. Propiedad de Cociente de Logaritmos
• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si
es posible.
1. log232 – log24
2. log749 – log77
3. log5100 – log54

46. Propiedad de Potencia de Logaritmos
log logp
b ba p a
3
Ejemplo:
log10 3log10 3 1 3

47. Propiedad de Potencia de Logaritmos
• Expresa como un producto. Simplifica si es
posible.
1. log3812
2. log5(1/5)3
3. log2326
4. log5252

48. Propiedades Inversas de Logaritmos
10
7
10
log log 2
log log 10 7
10 2b
x
b
x
b x
b x
Álgebra Ejemplo

49. Propiedades Inversas de Logaritmos
• Simplifica cada expresión.
1. log883x + 1
2. log5125
3. log3311
4. log381

50. Propiedades Inversas de Logaritmos
• Simplifica cada expresión.
2
5
2
log 8
log 10
log 27
1. 2
2. 5
3. 2
x

51. Fórmula de Cambio de Base
log
log
log
a
b
a
x
x
b
2
4
2
Ejemplo:
log 8 3
log 8
log 4 2

52. Fórmula de Cambio de Base
• Evalúa las siguientes expresiones.
1. log927
2. log816
3. log328

53. Ecuación Exponencial
• Una ecuación exponencial es una ecuación que
contiene una o más variables como un exponente.
• Para resolver ecuaciones exponenciales puedes
utilizar lo siguiente:
Si , entonces ( 0, 1).
Si , entonces log log (
x y
b b x y b b
a b a b a b

54. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
6
1) 8 2x x 2
2) 5 200x
2
3) 3 27x
4) 7 21x

55. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
3
5) 2 15x 8 3
6) 9 27x x
1
7) 4 5x

56. Ecuaciones Logarítmicas
• Una ecuación logarítmica es una ecuación con una
expresión logarítmica que contiene una variable.
• Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar
lo siguiente:
Si log log entonces .b bx y x y

57. Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
31) log 5 2x 2) log45 log3 1x
2
43) log 7x 4) log log 9 1x x

58. Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
5) 3 log8 3log x 6) 2log log4 0x
67) log 2 1 1x 4 48) log 100 log 1 1x

59. Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
4
59) log 8x 12 1210) log log 1 1x x

60. Fórmula de Interés Compuesto
1
nt
r
A P
n
Donde:
A es la cantidad total,
P es el principal,
r es la taza de interés anual,
n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año y
t es el tiempo en años.

61. Interés Continuo
• Asume que se invierte $1 a un 100% de
interés (r = 1) compuesto n veces en un año.
Lo cual puede ser representado por la función:
1
1
n
f n
n

62. Interés Continuo
• A medida que n se vuelve un número grande,
el interés es compuesto continuamente.
• Examinemos la gráfica de f(n).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y

63. Interés Continuo
• A medida que n se vuelve un número grande,
el interés es compuesto continuamente.
• Examinemos la gráfica de f(n).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y

64. El número natural e
2.718281828459...e

65. Graficando Funciones Exponenciales
Grafica la función 2x
f x e
-2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
14
x
y

66. Graficando Funciones Exponenciales
Grafica la función 3x
f x e
-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y

67. Logaritmo Natural
log lne x x

68. Simplificando Expresiones con e o ln
• Simplifica.
3.2
1) ln e
2ln 1
2) t
e
5ln
3) x
e
3.2
4) ln e
2ln
5) x
e
4
6) ln x y
e

69. Fórmula de Interés Compuesto
Continuamente
rt
A Pe
Donde:
A es la cantidad total,
P es el principal,
r es la taza de interés anual,
t es el tiempo en años.

70. Aplicaciones a Economía
• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión
de $1000 invertido al 5% durante 10 años
compuesto continuamente?
• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión
de $100 invertido al 3.5% por 8 años y
compuesto continuamente?

71. Media – Vida
• La media – vida de una sustancia es el tiempo
que le toma a la mitad de la sustancia
descomponerse o convertirse en otra sustancia
durante el proceso de decaimiento.
• El proceso de decaimiento natural está modelado
por la siguiente función.
0
kt
N t N e
Cantidad inicial
Constante de decaimiento
Tiempo
Cantidad restante

72. Aplicación a Paleontología
• Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre
dientes de sable en California. El analiza el
fósil y concluye que el espécimen contiene
15% de su carbono-14 original. El carbono-14
tiene una media vida de 5730 años.
Determina la edad del fósil.
• Determina cuanto le tomaría a una muestra
de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una
media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.