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FUNCIONES EXPONENCIALES Y 
LOGARITMICAS
FUNCIONES EXPONENCIALES 
 La función exponencial f con base a se define 
como: f(x)= ax 
 Sea a un número real positivo. 
 La función que a cada número real x le hace 
corresponder la potencia ax 
 En donde x es cualquier numero real.
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS 
 Antes de dar un ejemplo de función exponencial, 
conviene recordar algunas propiedades de las 
potencias: 
1- a° = 1 
2- a-n = 1/an
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y = A X 
Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) 
 1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1 
 2. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a 
 3. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) >0. 
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es 
positiva, y cualquier potencia de base positiva da como 
resultado un número positivo. 
 4 . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la 
función es creciente. 
 5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la 
función es decreciente
EJEMPLO: 
 f(x) = 2x 
x y= 2x 
-3 1/8 
-2 ¼ 
-1 ½ 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
La función es creciente a>1
EJEMPLO: 
x y= (1/2)x 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
La función es decreciente a<1
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON 
BIUNÍVOCAS. 
 Deben cumplir con las siguientes condiciones 
1.- Si x1 = x2 entonces ax1 = ax2 
2.- Si ax1 = ax2 entonces x1 = x2 
 Ejemplo: Resuelva la ecuación: 3 5x-8 = 9 x+2 
 3 5x-8 = 9 x+2 
3 5x-8 = (32) x+2 
3 5x-8 = 32x+4 
5x-8 = 2x+4 
5x -2x =4+8 
3x = 12 
x= 4
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
 La inversa de una función exponencial de base a, 
se llama logarítmica de base a y se representa por 
log ax 
 Se expresa de la siguiente manera: 
y =loga(x) Si y solo si x= ay 
Formas Equivalentes 
Forma Logarítmica Forma Exponencial 
log5 u = 2 52 = u 
logb 8 = 3 b3 = 8 
r = logp q pr =q 
w = log4 (2t + 3) 4w = 2t + 3 
log3 x = 5 + 2z 35+2z = x
EJEMPLOS 
Hallar los logaritmos de: 
 log10 100= 2 porque 102 = 100 
 log1/32 = -5 porque 2-5 = 1/32 
 log9 3 = ½ porque 91/2 = 3 
 log7 1= 0 porque 70 = 1 
 log3 (-2) no es posible porque 3y = -2
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
EJEMPLO: 
f(x) = log2x 
y =log 2 
x 
2 
y = x (forma expo.) 
y x 
-3 1/8 
-2 1/4 
-1 01/2 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
Primer Caso 
a >1 
f(x)= log2x
 El dominio es R+ 
 El logaritmo de 1 es 0 
 El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a,1) 
 Si a = 2 , pasa por el punto (2,1) 
 Los logaritmos de números mayores 
 Los logaritmos de número mayores que 1 son positivos y 
crecen indefinidamente en la medida que crece x 
 x > 1 f(x)> 0 (creciente) 
 Lo logaritmos de los numero menores que 1 son negativos y 
decrece indefinidamente al decrecer x 
 x < 1 f(x)< 0 
 Como al crecer x también crece f(x), decimos que la 
FUNCION ES CRECIENTE
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
EJEMPLO: 
 f(x) = log1/2x 
y =log1/2x 
1/2 
y = x (forma expo.) 
y x 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
Segundo Caso 
0 < a < 1
 Dominio R+ 
 El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a, 
1) 
Si la base es 1/2 , la curva pasa por (1/2, 1) 
 El logaritmo de 1 es 0. la curva pasa por el punto (1,0) 
 Los logaritmos de números mayores que 1 son negativos y 
decrecen indefinidamente al crecer x 
 x > 1 f(x)< 0 
 los logaritmos de los numero menores que 1 son positivos 
y crecen indefinidamente al decrecer x 
 x< 1 f(x) > 0 
 Como al crecer x, decrece f(x), decimos que la FUNCION 
ES DECRECIENTE
FUNCIONES INVERSAS 
La función logarítmica tiene la forma general: 
f(x) = log ₐ X 
Y su función inversa es : 
f ˉ¹(x) = aˣ 
Ejemplo: 
La inversa de la función f (x )= log2 x es la 
función f ˉ¹(x) = 2 ˣ 
Respecto a esto se arma una tabla de valores.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA 
EJEMPLO: 
 fˉ¹(x) = 2ˣ 
fˉ¹(x) = 
x 
2ˣ 
2 1 
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f(x) = log2 x : 
f(x) = log2 x x 
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Funciones Exponenciales y Logaritmicas

  • 2. FUNCIONES EXPONENCIALES  La función exponencial f con base a se define como: f(x)= ax  Sea a un número real positivo.  La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax  En donde x es cualquier numero real.
  • 3. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS  Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias: 1- a° = 1 2- a-n = 1/an
  • 4. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y = A X Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1)  1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1  2. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a  3. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) >0. Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.  4 . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.  5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente
  • 5. EJEMPLO:  f(x) = 2x x y= 2x -3 1/8 -2 ¼ -1 ½ 0 1 1 2 2 4 3 8 La función es creciente a>1
  • 6. EJEMPLO: x y= (1/2)x -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 La función es decreciente a<1
  • 7. LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON BIUNÍVOCAS.  Deben cumplir con las siguientes condiciones 1.- Si x1 = x2 entonces ax1 = ax2 2.- Si ax1 = ax2 entonces x1 = x2  Ejemplo: Resuelva la ecuación: 3 5x-8 = 9 x+2  3 5x-8 = 9 x+2 3 5x-8 = (32) x+2 3 5x-8 = 32x+4 5x-8 = 2x+4 5x -2x =4+8 3x = 12 x= 4
  • 8. FUNCIONES LOGARÍTMICAS  La inversa de una función exponencial de base a, se llama logarítmica de base a y se representa por log ax  Se expresa de la siguiente manera: y =loga(x) Si y solo si x= ay Formas Equivalentes Forma Logarítmica Forma Exponencial log5 u = 2 52 = u logb 8 = 3 b3 = 8 r = logp q pr =q w = log4 (2t + 3) 4w = 2t + 3 log3 x = 5 + 2z 35+2z = x
  • 9. EJEMPLOS Hallar los logaritmos de:  log10 100= 2 porque 102 = 100  log1/32 = -5 porque 2-5 = 1/32  log9 3 = ½ porque 91/2 = 3  log7 1= 0 porque 70 = 1  log3 (-2) no es posible porque 3y = -2
  • 10. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA EJEMPLO: f(x) = log2x y =log 2 x 2 y = x (forma expo.) y x -3 1/8 -2 1/4 -1 01/2 0 1 1 2 2 4 3 8 Primer Caso a >1 f(x)= log2x
  • 11.  El dominio es R+  El logaritmo de 1 es 0  El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a,1)  Si a = 2 , pasa por el punto (2,1)  Los logaritmos de números mayores  Los logaritmos de número mayores que 1 son positivos y crecen indefinidamente en la medida que crece x  x > 1 f(x)> 0 (creciente)  Lo logaritmos de los numero menores que 1 son negativos y decrece indefinidamente al decrecer x  x < 1 f(x)< 0  Como al crecer x también crece f(x), decimos que la FUNCION ES CRECIENTE
  • 12. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA EJEMPLO:  f(x) = log1/2x y =log1/2x 1/2 y = x (forma expo.) y x -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 Segundo Caso 0 < a < 1
  • 13.  Dominio R+  El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a, 1) Si la base es 1/2 , la curva pasa por (1/2, 1)  El logaritmo de 1 es 0. la curva pasa por el punto (1,0)  Los logaritmos de números mayores que 1 son negativos y decrecen indefinidamente al crecer x  x > 1 f(x)< 0  los logaritmos de los numero menores que 1 son positivos y crecen indefinidamente al decrecer x  x< 1 f(x) > 0  Como al crecer x, decrece f(x), decimos que la FUNCION ES DECRECIENTE
  • 14. FUNCIONES INVERSAS La función logarítmica tiene la forma general: f(x) = log ₐ X Y su función inversa es : f ˉ¹(x) = aˣ Ejemplo: La inversa de la función f (x )= log2 x es la función f ˉ¹(x) = 2 ˣ Respecto a esto se arma una tabla de valores.
  • 15. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA EJEMPLO:  fˉ¹(x) = 2ˣ fˉ¹(x) = x 2ˣ 2 1 4 2 8 3 f(x) = log2 x : f(x) = log2 x x 1 2 2 4 3 8