1. 2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
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- 1 -
1.- Divisibilidad
Teoría (resumen)
Múltiplos de un número. Son aquellos que se obtienen al multiplicar dicho número por los números naturales 1, 2, 3, ….
Por ejemplo, los múltiplos de 3 son: 3, 6 , 9, 12, 15, 18,… ; los múltiplos de 2 son: 2 , 4, 6, 8, 10, 12, … ; o sea los números pares.
Observa que los múltiplos de un número son infinitos. Además, los múltiplos de 2 van de 2 en 2; los múltiplos de 3 van de 3 en 3; etc
Para averiguar si un número es múltiplo de otro, se comprueba si es divisible por él, haciendo la división. Sólo será múltiplo si la división es exacta.
Divisores o factores de un número. Son aquellos entre los que se puede dividir dicho número, dando resto 0.
Por ejemplo, para obtener todos los divisores o factores de 28, expresamos 28 como multiplicación de 2 números de todas las formas posibles:
28 = 1.28 = 2.14 = 4.7 . De esta forma ya tenemos todos los divisores o factores de 28, que son: D(28) = { 1, 2, 4, 7, 14 , 28 }
Observa que todo número tiene un número finito de divisores.
Propiedades más importantes de los divisores:
- Todo número, excepto el 1, tiene por lo menos 2 divisores, el número 1 y el mismo número.
- Si a es divisible por b y b es divisible por c, entonces a es divisible por c. Por ejemplo, un número divisible por 9 también es divisible por 3
Criterios de divisibilidad. Son unas reglas que sirven para averiguar, sin tener que hacer la división si un número es divisible o múltiplo de otro.
Los criterios de divisibilidad que más se utilizan son:
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra
par
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus cifras
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son
ceros o forman un número divisible por 4
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si termina en cero o en 5
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si lo es la suma de sus cifras
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si termina en 0
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras de lugar
par menos la suma de las cifras de lugar impar es cero o múltiplo de 11
Números primos. Son los números que sólo tienen 2 divisores, el 1 y el mismo número. Los números que no son primos se llaman compuestos
Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…. . Hay infinitos números primos
Se puede usar el método de la criba de Eratóstenes para obtener números primos.
Método para averiguar si un número es primo: Se comprueba si es divisible por los primos, empezando por el 2, hasta que el resto sea menor que el divisor.
Si fuese divisible por algún primo, entonces el número es compuesto. En otro caso, el número es primo.
Descomposición en producto de factores primos. Todo número natural compuesto, salvo el 1, se puede expresar como producto de factores primos.
Veamos un ejemplo: 48 = 2.2.2.2.3 = 2
4
. 3
Factorizar un número es descomponerlo en producto de factores primos
Método de Euclides para calcular los divisores de un número: Se factoriza, se calculan los divisores de cada factor y después se forma una tabla de multiplicación de
los divisores.
Ejemplo: Hallemos los divisores de 200 = 2
3
. 5
2
X 1 2 4 8
1 1 2 4 8
5 5 10 20 40
25 25 50 100 200
Los divisores de 200 son: D(200) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}
Si el número tiene más de dos factores primos, se hace más de una tabla.
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1

2. 2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
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- 2 -
Máximo común divisor (mcd): El mcd de dos o más números es el mayor de los divisores comunes a todos.
Por ejemplo , si los números son 24 y 30, entonces como D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} D(30) = {1,2,3,5,6,10,15,30}
Los divisores comunes son {1,2,3,6}, luego el MCD(24,30) = 6.
Observaciones:
- Si el único divisor común fuese el 1, entonces el mcd es 1. Se dice que los números son primos entre sí o primos relativos
Por ejemplo, si los números son 4 y 15, entonces como D(4) = {1,2,4} D(15) = {1,3,5} . El único divisor común es 1, luego el MCD(4,15) = 1.
- Si N es divisible entre a y b, siendo a y b primos entre sí, entonces N es divisible entre a.b.
Por ejemplo, si un número es divisible entre 2 y 3 también es divisible entre 2.3 = 6
Método de Euclides para el cálculo del mcd de dos números:
Dividimos el mayor entre el menor ; después dividimos el divisor entre el resto ; y así sucesivamente hasta obtener como resto cero.
Entonces, el MCD de los dos números es el último divisor usado en las divisiones.
Ejemplo : Hallemos el MCD(96, 45)
Luego MCD(96,45) = 3
Mínimo común múltiplo (mcm) : El mcm de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a todos.
Por ejemplo , si los números son 6 y 8, entonces M(6) = {6,12,18,24,30,36,42,48,54,...} M(8) = {8,16,24,32,40,48,56,...}.
El menor de los múltiplos comunes es 24, luego MCM(6,8) = 24.
Cálculo del mcd y mcm por factorización.
Para calcular el mcd: Se factorizan los números y se escogen los factores primos comunes de menor exponente.
Si no hay factores primos comunes es porque los números son primos relativos
Para calcular el mcm: Se factorizan los números y se escogen los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente.
Propiedades del mcd y mcm:
1) Si a es divisible entre b, entonces mcd(a,b) = b , mcm(a,b) = a.
Por ejemplo, mcd(12,4) = 4 , mcm(12,4) = 12
2) El producto del mcd y el mcm de dos números es igual al producto de los números.
Por ejemplo, para los números 6 y 8, mcd(6,8) = 2 , mcm(6,8) = 24. Puedes ver que se cumple, pues 2.24 = 6.8
Como consecuencia, si dos números a y b son primos entre sí, entonce mcd(a,b) = 1 , mcm(a,b) = a.b.
Por ejemplo, para los números primos relativos 8 y 9, mcd(8,9) = 1 , mcm(8,9) = 72
Actividades
1.- Expresa mentalmente como producto de factores primos: a) 21 b) 40 c) 27 d) 66 e) 50 f) 70 g) 12
2.- Indica mentalmente cuál es el mcd y mcm de los números: a) 12 y 2 b) 6 y 6 c) 15 y 1 d) 3 y 4 e) 4 y 8 f) 5 y 3
3.- Usando criterios de divisibilidad determina: a) Si 836 es divisible por 11 b) Si 85 020 es divisible por 15 c) 30 287 es múltiplo de 11
4.- ¿Cuáles son los múltiplos de 7 de dos cifras mayores que 85?
5.- Halla los divisores de 60 que tengan dos cifras
6.- Escribe todos los números primos menores que 100
7.- Necesitamos colocar 252 botones en cajas de 6 unidades. ¿Es posible agruparlos sin que sobre ni falte ninguno?
8.- Cada fila de butacas de un teatro tiene 33 asientos. Aplicando criterios de divisibilidad, ¿cuáles de las siguientes capacidades son posibles?
a) 330 b) 495 c) 620 d) 792
9.- Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos,
quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. ¿Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color? ¿Qué altura alcanzarán?
96 45
6 2
45 6
3 7
6 3
0 2

3. 2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
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- 3 -
10.- Un coche tarda 2 minutos en dar una vuelta a un circuito, un ciclista 6 minutos y una persona andando 20. Si los tres salen de meta a las 5 de la tarde, ¿cuándo
coincidirán de nuevo en meta? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?
****************
11.- Averigua cuánto ha de valer A para que 4A57 sea múltiplo de 11
12.- ¿Cuál es el mcd de dos números primos entre sí? ¿Y el mcm?
13.- Dos números primos, ¿son primos entre sí?
14.- ¿Cuál es el mcd y mcm de dos números primos?
15.- Averigua si los siguientes números son primos entre sí: a) 12 y 15 b) 4 y 9 c) 140 y 693
16.- Usando el método de Euclides calcula el mcd y el mcm de los números: a) 12 y 18 b) 96 y 45
17.- Calcula por el método de Euclides todos los divisores de 72 y de 400
18.- Encuentra un número divisible por 2 y por 3 pero que no lo sea por 9
19.- Tres cables miden 1,12 m, 1,26 m y 1,68 m, respectivamente y se quieren cortar en trozos iguales. ¿Cuál es el menor número de trozos que pueden hacerse?
¿Cuánto medirá cada trozo?
20.- Se quiere enlosar una habitación de 8,25 m de largo por 5,34 m de ancho con losas cuadradas lo más grandes posible. Halla el lado de cada losa y el número de
losas que se necesitan.
Actividades del libro (unidad 1): 26 , 27 , 54 , 95 y 96
2.- Potencias y raíz cuadrada
Teoría (resumen)
Potencias de exponente natural o cero.
a
m
= a…..a (el factor “a” aparece m veces). Por ejemplo, 2
5
= 2.2.2.2.2 = 32
a
1
= a Por ejemplo, 3
1
= 3 a
0
= 1 Por ejemplo, 7
0
= 1
Observaciones: 1
m
= 1 0
m
= 0 (si m ≠ 0) (– a)
m
=
m
m
a , si m es par
a , si m es impar



. Ejemplos: (–5)
2
= 25 , (–2)
3
= –8
Observa que si el exponente es par no es lo mismo (– a)
m
que –a
m
. Por ejemplo, (–3)
2
= 9 y –3
2
= –9. Como puedes ver son distintos.
Potencias de base 10. 10
n
= 10….0 (un 1 y “n” ceros”). Ejemplo: 10
6
= 1 000 000
Producto por potencias de base 10: Para multiplicar un número por una potencia de base 10 se añaden tantos ceros como indique el exponente.
Por ejemplo, 3 070.10
3
= 3 070 000
División entre potencias de base 10: Para dividir un número entre una potencia de base 10 se quitan tantos ceros como indique el exponente.
Por ejemplo, 24 000 : 10
2
= 240
Propiedades de las operaciones con potencias. a
m
a
n
= a
m+n
(a
m
)
n
= a
mn
m
m n
n
a
a
a

 a
m
b
m
= (ab)
m
(ab)
m
= a
m
b
m
mm
m
a a
bb
 
  
 
(a+b)
m
≠ a
m
+ b
m
Cuadrados perfectos: Son los cuadrados de los números naturales. Los cuadrados perfectos son: 1
2
= 1 ; 2
2
= 4 ; 3
2
= 9 ; 4
2
= 16 ; 5
2
= 25 ; 6
2
= 36 , etc.
Raíz cuadrada positiva de un número: Es otro número positivo que elevado al cuadrado nos da como resultado el número inicial.
La raíz cuadrada se representa con el símbolo
Se dice que la raíz cuadrada es exacta si da como resultado un número natural o cero. Por ejemplo, 9 = 3 porque 3
2
= 9 . La raíz cuadrada de 9 es exacta.
Sólo tienen raíz cuadrada exacta los cuadrados perfectos y el 0, es decir los números 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, ….
Si una raíz cuadrada no es exacta se puede calcular de forma aproximada por tanteo. Por ejemplo, 18 , está entre 4 y 5 porque 4
2
= 16 y 5
2
= 25; luego 18 ≈ 4
Las raíces cuadradas de números negativos no se pueden calcular, pues al elevar un número al cuadrado no puede dar negativo. Por ejemplo, 4 no existe.
Raíz cúbica de un número entero: Es otro número que elevado al cubo nos da como resultado el número inicial.
La raíz cuadrada se representa con el símbolo
3
Se dice que la raíz cúbica es exacta si da como resultado un número entero o cero. Por ejemplo,
3
125 = –5 porque (–5)
3
= –125

4. 2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
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- 4 -
Actividades
1.- Si la base de una potencia es negativa y el exponente es impar, ¿qué signo tiene el resultado?
2.- ¿Cuántas cifras tiene el resultado de la potencia (–10)
48
? ¿Qué signo tiene el resultado?
3.- ¿Cuánto vale una potencia de base un entero no nulo y exponente 0?
4.- Expresa en forma de una sola potencia: a) 3
5
. 3
4
b)
12
8
2
2
c) (3
4
)
5
d) x
2
. x
4
e) (m
3
)
2
f)
3
2
x
x
5.- Desarrolla las siguientes potencias: a) (3x)
2
b) (ab)
3
6.- Indica el valor exacto de las siguientes raíces: a) 3 8 b) 0 c) 9 d) 3 1
7.- Indica el valor entero aproximado de las siguientes raíces: a) 15 b) 80 c) 50
8.- ¿Se pueden colocar 10 bolas, organizadas en filas y columnas, formando un cuadrado?
*******************
9.- ¿Vale lo mismo –5
2
que (–5)
2
?
10.- Indica si es verdadero o falso: (–5)
3
= –5
3
11.- Calcula: a) –(–2
2
) b) – (–2)
2
c) –2
2
d) (–2)
2
e) – (–2
3
) f) – (–2)
3
g) (–1)
85
h) –(–1)
64
j) (–3)
0
k) 5
1
l) 0
7
m) (–10)
6
n) (–10)
5
12.- Calcula el valor de la incógnita: a) 5
x
= 125 b) m
3
= –8 c) (–2)
n
= 16
13.- Expresa en forma de potencia de exponente distinto de 1: a) 36 b) –32
14.- ¿Cuánto vale la raíz cúbica del cubo de un número natural?
15.- Calcula mentalmente: 31+ 2. 19 - 27
Actividades del libro (unidad 2): 34 , 35 , 36 , 55 , 67 , 70 y 71
3.- Números enteros
Teoría (resumen)
Números enteros positivos: +1 , +2 , + 3, …. Se pueden escribir sin el signo + . Por tanto, los números enteros positivos son los números naturales.
Los números enteros positivos se usan para expresar cantidades por encima de cero. Por ejemplo, la altitud es de 500 m : + 500 m, o sea 500 m
Números enteros negativos: –1 , –2 , –3, … Se usan para expresar cantidades por debajo de cero. Por ejemplo, la temperatura es de 4 ºC bajo cero: –4 ºC
Conjunto de los números enteros: Está formado por los enteros positivos, los negativos y el 0.
Z = { ..... , – 5 , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ..... }
Representación gráfica de los números enteros sobre la recta numérica
Ordenación de números enteros: Dados dos números enteros, es menor el que está más a la izquierda en la recta numérica. Por ejemplo, –3 < –2 , –1 < 0 , 2 < 5
Observaciones:
- Los números negativos son menores que 0
- Los números positivos son mayores que 0
- Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo

5. 2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
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- 5 -
Valor absoluto de un número entero: Es el mismo número sin considerar el signo.
Para representar el valor absoluto de un número se escribe entre dos barras verticales. Ejemplos: | –4 | = 4 , | + 3 | = 3 , | 0 | = 0
El valor absoluto de un número entero mide la distancia que hay desde dicho número al número 0
Opuesto de un nº entero: Es su simétrico respecto del 0, por tanto el opuesto se obtiene cambiando el signo del número.
Ejemplos: op(–3) = 3 op(6) = –6 op(–1) = 1 op(0) = 0
Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto y, por tanto están a la misma distancia del 0
Suma de números enteros: Para sumar dos números enteros se utilizan las siguientes reglas:
- Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se le deja el mismo signo.
- Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se deja el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
Delmismo signo:-3 + (-2)= -5
-5 + 3= -2De distínto signo:
7 + (-3)= 4
Ejemplos:







 

 
Resta de números enteros: Restar dos números enteros equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo.
5 -11=5 + (-11)= -6
-7 - (-2)=-7 + 2= -5
15 - (-99)=15 + 99=114
Ejemplos:









Una regla práctica para escribir y calcular sumas y restas de números enteros de forma abreviada es la siguiente:
Cuando hay 2 signos seguidos podemos multiplicarlos y eliminar el paréntesis.
Las reglas para multiplicar signos son:
. .
. .
   

   
Por ejemplo, +(+3) = +3 = 3 +(–3) = –3 – (+3) = –3 – (–3) = +3 = 3
Sumas y restas combinadas de números enteros: Para sumar o restar más de dos números enteros se pueden agrupar por un lado los de signo + y por otro los de
signo –. También se puede hacer sumando o restando de izquierda a derecha.
Por ejemplo, 3 – (+5) + (–6) – (–4) + (–2) = 3 – 5 – 6 + 4 – 2 =
Agrupando: (3 4) (5 6 2) 7 13 6
De izquierda a derecha: 3 5 6 4 2 2 6 4 2 8 4 2 4 2 6
       
                  
Propiedades de la suma :
1) Conmutativa: –4 + 3 = 3 + (–4) . En general, a + b = b + a
2) De elemento neutro: –5 + 0 = –5 . En general, a + 0 = a. El elemento neutro de la suma es el 0.
3) Asociativa: (–3 + 7) + 2 = –3 + (7 + 2). En general, (a + b) + c = a + (b + c)
Multiplicación de números enteros: Para multiplicar números enteros se multiplican los signos y después se multiplican sus valores absolutos
Las reglas para multiplicar signos son:
. .
. .
   

   
Ejemplos: (+7).(–3) = –21 (–9).(–6) = +54 = 54 (+6).(+7) = +42 = 42

6. 2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
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- 6 -
Propiedades de la multiplicación :
1) Conmutativa: 4 . (–3) = –3 . 4 . En general, a . b = b . a
2) De elemento neutro: –5 . 1 = -5 . En general, a.1 = a. El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
3) Asociativa: (–3 . 5) . 2 = –3 . (5 . 2). En general, (a.b).c = a.(b.c)
Para los paréntesis, se puede utilizar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta:
3.(–5 + 2) = 3.(–5) + 3.2. En general, a.(b + c) = a.b + a.c
3.(-5 – 2) = 3.(–5) – 3.2 . En general, a.(b – c) = a.b – a.c
Aunque es más rápido y cómodo no usar la propiedad distributiva. Por ejemplo, 3.( –5 + 2) = 3.( –3) = -9
Si aplicamos la propiedad distributiva en sentido contrario decimos que estamos sacando factor común:
3.(–5) + 3.2. = 3.(–5 + 2) . En general, a.b + a.c = a.(b + c)
3.(–5) – 3.2 = 3.(5 – 2) . En general, a.(b – c) = a.b – a.c
División de números enteros: Para dividir números enteros se dividen los signos y después se dividen sus valores absolutos
Las reglas para dividir signos son:
: :
: :
   

   
Ejemplos: (+12):(–3) = -4 (–56).(–8) = +7 = 7 (+81).(+9) = +9 = 9
Para realizar operaciones con números enteros, primero se realizan las potencias, después las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.
Deberemos tener en cuenta que:
- Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha
- Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha
- Las operaciones que hay dentro de los paréntesis se hacen en primer lugar
Actividades
1.- Ordena las temperaturas siguientes de la más baja a la más alta: 4 ºC, –15 ºC, 27 ºC, 0 ºC, –9 ºC, 7 ºC, –11 ºC, 17 ºC
2.- Escribe a qué números enteros corresponden los puntos señalados en la recta.
3.- En Soria, un día a las 7 de la mañana el termómetro marcaba –5 ºC y a las 12 de la mañana la temperatura fue de 4 ºC. ¿Cuál fue la variación de temperatura?
4.- La cumbre del Everest tiene una altura de 8 848 m y la fosa de las Marianas una profundidad de 11 022 m. ¿Qué diferencia de altitud hay entre estos puntos?
5.- Un alumno dice que el resultado de la resta –7 – (–12) es un número natural. ¿Lleva razón?
6.- Un ascensor sube a una altura de 30 metros, después baja a 15 metros, vuelve a subir 21 metros y baja de nuevo 7 metros.
¿A qué altura se encuentra en este momento?
7.- Calcula mentalmente: a) 3 – 5 + 2 b) –503 . (–10 000) c) – 7 – (–3) – (–1) d) –2 + 3.( –1) e) 30 700 000 : (–100)
8.- ¿Es cierto que –2. (5 + 4) = –2.5 + (–2).4 ? ¿Qué propiedad se utiliza?
9.- En la operación combinada –7 + 12 : (–3) , ¿qué se hace primero la suma o la división?¿Cuál es el resultado?
10.- Para calcular 3 + 7.(–2) , ¿qué se hace primero, la suma o la multiplicación? ¿Cuál es el resultado?
11.- Saca factor común y calcula: a) 15.25 – 15.(–90) + 15.(–15) b) 7.(–5) – (–3).7 + 7.(–6) c) 5.(–2) – 5.(–7) – 5.6 + 5.3
******************
12.- Coloca el signo que corresponda: mayor, menor o igual : a) –3 –4 b) |–3| –3 c) – (–6) |–6| d) +2 –2 e) 0 –7 f) –|–2| –2
13.- El nivel de agua de un lago ha subido con las lluvias 5 cm diarios durante 12 días y después descendió 3 cm diarios durante 8 días. ¿Cuál ha sido la variación del
nivel del lago?
14.- Cuando se desconecta un congelador baja la temperatura a razón de 3 ºC cada 15 minutos. Cuando se conecta sube la temperatura 4 ºC cada 10 minutos.
a) Si marcaba la temperatura 6 ºC y se mantiene desconectado 1 hora y luego se conecta, al cabo de media hora de la conexión, ¿qué temperatura marcará?
Actividades del libro (unidad 1): 48 , 87 y 92