Como resolver sistemas de ecuaciones lineales

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
LOJA
Área De Energía, Las Industrias Y Los Recursos Naturales No
Renovables
Ingeniería en Sistemas
ING. LUIS CHAMBA
COORDINADOR:
TEMA: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
AUTORES:
JAVIER AGUILAR.
RENE ORTEGA
VLADIMIR ROMERO
JORGE LUIS TAPIA
2008-2009

3. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
m n
Sistema de ecuaciones con incógnitas. Es un conjunto de expresiones
algebraicas de la forma:
xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).
ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).
Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.
Los escalares a ij y ci son núm eros reales.
El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.
Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con la s letras x, y, z, t, ...
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qu é ser igual al número de
incógnitas.
Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.
El término independiente de la misma es el 2.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.
Solución de un sistema. Es cada conjunto de valores que satisface a todas las
ecuaciones.
Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones)‚
Dado el sistema:
TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.
Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:
1. Incompatible. No tiene solución.
Compatible. Tiene solución.
2.
a. Compatible determinado. Única solución.
b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

4. Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla,
saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible,
y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN
1) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN
Tenemos que resolver el sistema:
Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales
se conoce su ecuación.
Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un
sistema equivalente (en este caso elegimos y):
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los
segundos también lo son, por lo tanto:
Luego:
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la
segunda):
Operamos para hallar el valor de y:

5. y=2
Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):
Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2
Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos
ecuaciones.
2) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN
Tenemos que resolver el sistema:
Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y
en la primera ecuación):
Y la reemplazamos en la otra ecuación:
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos
arbitrariamente la primera):
Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No
verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

6. 3) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN
Tenemos que resolver el sistema:
El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo
que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.
También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.
Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación,
para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
Con lo que obtenemos:
Y la sumamos la primera obteniéndose:
-7y = -14
y=2
Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
Y finalmente hallar el valor de x:
Ejercicio: Resuelve por este método:
Resolución por determinante
Conceptos previos:
Una matriz es un ordenamiento rectangular de números:
A es una matriz de 2*2, B de 2*3, C de 3*2 , D de 3*3. E de 3*1, F de 2*4.
Se puede decir que A es una matriz de orden 2 y de D que es de orden 3.

7. En general se dice que una matriz es de n * m, donde n es el número de filas y m el
número de columnas.
Una matriz que tenga sólo una columna se suele llamar vector columna.
Existe un número asociado a las matrices cuadradas (n * n), llamado Determinante y
simbolizado con .
El determinante de una matriz de 2*2 (como A) se calcula de la siguiente manera:
Tenemos que resolver el sistema:
Nuestro sistema de 2*2 lo podemos interpretar como una matriz (2*2) y un vector
columna (2*1):
La matriz de 2*2 tiene dos vectores columna: x e y. Al otro vector columna lo
llamaremos T
Luego podemos calcular:
= 4*5 - 3*2 = 20 -6 = 14
Para calcular Dx sustituimos en G el vector columna de x por el vector columna de T:
= 22*5 - 3*2 = 110 -54 = 56
Para calcular DY sustituimos en G el vector columna de y por el vector columna de T:
= 4*18 - 22*2 = 72 -44 = 28
Podremos hallar el valor de x efectuando:
Finalmente podremos hallar el valor de y efectuando:

8. También se omite la verificación en este caso.
Resuelva a continuación y no olvide verificar:
Se muestra a continuación la forma de calcular el determinante de una matriz de 3*3.
Supongamos:
El primer paso consiste en armar una nueva matriz que tenga dos filas más. Para esto
se repetirán las dos primeras:
-1 3 0
5 1 -2
7 2 3
-1 3 0
5 1 -2
A continuación se realizan los productos diagonales:
-1 3 0
5 1 -2
0 <- 7 2 3 -> -3
-1 3 0
4 <- -> 0
5 1 -2
45 <- -> -42
(-1)*(1)*(3) = -3 (5)*(2)*(0) = 0 (7)*(3)*(-2) = -42
(0)*(1)*(7) = 0 (-2)*(2)*(-1) = 4 (3)*(3)*(5) = 45
Luego se suman los valores obtenidos:
-1 3 0
5 1 -2
0 <- 7 2 3 -> -3
-1 3 0
4 <- -> 0
5 1 -2
45 <- -> -42
49 -45

9. El DE será el valor obtenido de restar el número de la izquierda al de la derecha:
El cálculo de determinantes de matrices de mayor orden escapa a los contenidos de
este curso.
Resuelva por el método del determinante, y por triangulación: