Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Resistencia de Materiales

1. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA.
Cuando una viga con un eje longitudinal recto se carga con fuerzas
laterales, el eje se deforma y adopta una forma curva, denominada curva de
deflexión de la viga. Determinaremos la ecuación de la curva de deflexión y
también encontraremos las deflexiones en puntos específicos a lo largo del eje
de la viga.
El cálculo de deflexiones es una parte importante del análisis y diseño
estructural. Por ejemplo, determinar deflexiones es un ingrediente esencial en
el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas (capítulo 10). Las
deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando se
investigan las vibraciones de aeronaves o la respuesta de los edificios a los
sismos.
Ecuación diferencial de la elástica. Flexión
La mayor parte de los procedimientos para determinar las deflexiones se
basan en ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión y sus relaciones
asociadas; por esta razón iniciaremos deduciendo la ecuación básica para la
curva de deflexión de una viga.
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama
curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje
longitudinal, inicialmente recto. Se muestra exageradamente en la figura. En
esta ecuación se deduce la ecuación de dicha curva, y como calcular el
desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su
abscisa x.
Tomemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la
dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se
supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay
diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su
longitud deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su
pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta
pendiente, tanθ=dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a θ. Por
consiguiente,
𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2

2. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Considerando la variación de θ en una longitud diferencial ds, producida
por la flexión de la viga, es evidente que
𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜃
Siendo ρ el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva
elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas condiciones, de
las ecuaciones (b) y (c) se obtiene:
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑠
≈
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛,
1
𝜌
=
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
Al deducir la formula de flexión, se obtiene la relación,
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
Y, por tanto, igualando los valores 1 𝜌
⁄ de las ecuaciones (d) y (5-1)
resulta:
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀
Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto
EI, se llama rigidez a la flexión, es normalmente constante a lo largo de la viga

3. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
RELACIONES DIFERENCIALES ENTRE MOMENTO, CORTE, FUERZA
AXIAL Y CARGA. DIAGRAMAS. MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN.
La ecuación de la curva elástica de una viga puede expresarse
matemáticamente con 𝑣 = 𝑓(𝑥)para obtener esta ecuación, primero es
necesario representar la curvatura (1/ρ) en términos de v y x. a contunación se
muestra esta relación:
𝟏
𝝆
=
𝒅𝟐
𝒗 𝒅𝒙𝟐
⁄
[𝟏 + (𝒅𝒗/𝒅𝒙)𝟐]𝟑/𝟐
Sustituyendo la ecuación de la elástica tenemos
𝒅𝟐
𝒗 𝒅𝒙𝟐
⁄
[𝟏 + (𝒅𝒗/𝒅𝒙)𝟐]𝟑/𝟐
=
𝑴
𝑬𝑰
Esta ecuación representa una ecuación diferencial no lineal de segundo
orden. Su solución, que se denomina elástica, da la forma exacta de la curva
elástica, suponiendo que las deflexiones de la viga se producen solo debido a
flexión.
En consecuencia, la pendiente de la curva elástica, que se determina a partir
de dv/dx será muy pequeña. Por lo tanto, la curva quedara definida.
𝟏 𝝆
⁄ = 𝒅𝟐
𝒗 𝒅𝒙𝟐
⁄
Usando esta simplificación, la ecuación queda
𝒅𝟐
𝒗
𝒅𝒙𝟐
=
𝑴
𝑬𝑰
Se pueden obtener ecuaciones adicionales a partir de las relaciones entre el
momento flexionante M, la fuerza cortante V y la intensidad q de la carga
distribuida. En los capítulos anteriores dedujimos las siguientes ecuaciones
entre M, V y q:
𝒅𝑽
𝒅𝒙
= −𝒒
𝒅𝑴
𝒅𝒙
= 𝑽

4. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Al derivar la ecuación (9.7) con respecto a x y luego sustituyendo las
ecuaciones anteriores para la fuerza cortante y la carga, podemos obtener las
ecuaciones adicionales. Al hacerlo, consideraremos dos casos: vigas no
prismáticas y vigas prismáticas.
Vigas no prismáticas
En el caso de una viga no prismática, la rigidez a la flexión EI es variable y,
por tanto, podemos escribir la ecuación (9.7) en la siguiente forma
donde se agrega el subíndice x como recordatorio que la rigidez a la flexión
puede variar con x. Al derivar los dos lados de esta ecuación y empleando las
ecuaciones (9.8a) y (9.8b), obtenemos
La deflexión de una viga no prismática se puede determinar al resolver (ya
sea analítica o numéricamente) cualquiera de las tres ecuaciones diferenciales
anteriores. La elección suele depender de cuál ecuación proporcione la
solución más eficiente.
Vigas prismáticas
En el caso de una viga prismática (EI constante), las ecuaciones
diferenciales se convierten en

5. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Para simplificar la escritura de estas y otras ecuaciones, con frecuencia se
emplean primas para denotar derivación:
Con esta notación podemos expresar las ecuaciones diferenciales para una
viga prismática en las siguientes formas:
Nos referiremos a estas ecuaciones como ecuación del momento
flexionante, ecuación de la fuerza cortante y ecuación de la carga,
respectivamente.
La solución de cualquiera de estas solucione se requiere de integración
sucesivas para obtener la deflexión de la curva elástica. En cada integración es
necesario introducir una constante de integración y luego determinar todas las
constante para tener una solución única en un problema particular
DIAGRAMA
Para describir de manera grafica la condición de una viga que soporta un
patrón de carga se utilizan cinco diagramas, como muestra la figura 9–5. Los
primeros tres diagramas ya se utilizaron con anterioridad. El diagrama de carga
es el diagrama de cuerpo libre donde se muestran todas las cargas externas y
las reacciones en los apoyos. A partir de este se desarrollo el diagrama de
fuerza cortante, el cual permite calcular los esfuerzos cortantes en cualquier
sección de una viga. El diagrama de momento flexionante es una grafica de la
variación del momento flexionante con la posición en la viga, incluidos los
resultados utilizados para calcular el esfuerzo producido por flexión. El eje
horizontal de estas graficas es la posición en la viga, llamada x.
Se acostumbra medir x con respecto al extremo izquierdo de la viga, aunque
se puede utilizar cualquier punto de referencia.

6. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Diagrama de flexión. Los últimos dos diagramas tienen que ver con la
deformación de la viga por la influencia de las cargas. Conviene comenzar el
análisis con el último diagrama, el diagrama de flexión, porque este muestra la
forma de la viga flexionada.
Diagrama de la pendiente. Una línea trazada tangencialmente en un punto
de interés define la pendiente de la curva de flexión en dicho punto. La
pendiente se indica como el ángulo θ, medido en radianes, con respecto a la
horizontal, como la figura 9–5 muestra. La representación grafica de la
pendiente como una función de la posición en la viga es la curva de la
pendiente, trazada bajo la curva del momento flexionante y sobre la curva de
flexión.
Observe en la viga dada que la pendiente de la porción izquierda de la curva
de la flexión es negativa y que la de la porción derecha es positiva. El punto
donde la línea tangente es horizontal tal es el punto de pendiente cero y define
la ubicación de la flexión máxima. Esta observación se utilizara en el análisis
del método del área–momento y del método de integración sucesiva, mas
adelante en este capítulo.

7. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila

8. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
3.4. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIÓN EN VIGAS
Método de Doble Integración
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver
casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas
estáticamente determinadas e indeterminadas.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de
fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de
la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la
deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de
máxima deflexión.
Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a
lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable,
debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin
embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la
flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el
módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:
Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones
de frontera, como se explicará más adelante.
I
E
x
M
dx
y
d


)
(
2
2
1
0
)
( C
dx
x
M
dx
dy
I
E
x




 

9. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la
aproximación:
De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de
la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier
distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’,
depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores,
deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s)
de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta
información.
Por tanto, hay dos constantes de integración por cada región de la viga.
Dichas constantes se evalúan a partir de condiciones conocidas relativas a las
pendientes y deflexiones. Las condiciones son de tres tipos: (1) condiciones de
frontera, (2) condiciones de continuidad y (3) condiciones de simetría.
Las condiciones de frontera se relacionan con las deflexiones y pendientes
en los apoyos de una viga. Por ejemplo, en un apoyo fijo simple (una
articulación o un rodillo) la deflexión es cero (figura 9.5) y en un apoyo la
deflexión y la pendiente son cero (figura 9.6). Cada una de estas condiciones
de frontera da una ecuación que se puede emplear para evaluar las constantes
de integración.

 
 )
(
tg
dx
dy
  














x x
C
dx
C
dx
x
M
x
y
I
E
0
2
0
1
)
(
)
(

10. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las
regiones de integración confluyen, como en el punto C en la viga de la figura
9.7. La curva de deflexión de esta viga es físicamente continua en el punto C y,
por tanto, la deflexión en el punto C determinada para la parte izquierda de la
viga debe ser igual a la deflexión en el punto C determinada para la parte
derecha. De manera similar, las pendientes encontradas para cada parte de la
viga deben ser iguales en el punto C. Cada una de estas condiciones de
continuidad da una ecuación para evaluar las constantes de integración.)
Las condiciones de simetría también pueden estar presentes, si una viga
simple soporta una carga uniforme en toda su longitud, sabemos de antemano
que la pendiente de la curva de deflexión en el punto medio debe ser cero. Esta

11. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
condición da una ecuación adicional, como se ilustra en el ejemplo 9.1. Cada
condición de frontera, de continuidad y de simetría conduce a una ecuación
que contiene una o más constantes de integración. Como el número de
condiciones independientes siempre es igual al número de constantes de
integración, de las ecuaciones podemos despejar las constantes. (Las
condiciones de frontera y de continuidad solas siempre son suficientes para
determinar las constantes.
Una vez evaluadas las constantes, éstas se pueden sustituir de regreso en
las expresiones para las pendientes y deflexiones, produciendo de esta manera
las ecuaciones finales de la curva de deflexión. Luego estas ecuaciones se
pueden utilizar para obtener las deflexiones y los ángulos de rotación en puntos
particulares a lo largo del eje de la viga.
Funciones de discontinuidad
El uso del método de integración para encontrar la ecuación de la curva
elástica de una viga o eje resulta conveniente si la carga o momento interno
puede expresarse como una función continúa a lo largo de toda la longitud de
la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias cargas diferentes, la
aplicación del método se hace más tediosa porque debe escribirse funciones
de carga o de momento independientes para cada región de la viga. Además,
la integración de estas funciones requiere la evaluación de las constantes de
integración, utilizando tanto las condiciones de frontera como de continuidad.
Funciones de Macaulay.
A fin de determinar la deflexión de una viga o un eje, puede usarse las
funciones de Macaulay, llamadas así en honor al matemático W.H. Macaulay,
para describir las cargas distribuidas. Estas funciones pueden expresarse en
forma general como
〈𝑥 − 𝑎〉𝑛
= {
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑎
(𝑥 − 𝑎)𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 𝑎
Aquí x representa la coordenada de posición de un punto de la viga y a es la
ubicación sobre la viga donde ocurre “discontinuidad”, es decir, el punto donde

12. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
comienza una carga distribuida. Obsérvese que la función de Maculay 〈𝑥 − 𝑎〉𝑛
se escribe con paréntesis angulares para distinguirla de la función ordinaria
(𝑥 − 𝑎)𝑛
, escrita en paréntesis. Según lo establecido por la ecuación, 〈𝑥 −
𝑎〉𝑛
= (𝑥 − 𝑎)𝑛
solo cuando 𝑥 ≥ 𝑎, de lo contrario su valor es cero. Por otra
parte, estas funciones son validas solo para valores exponenciales de 𝑛 ≥ 0. La
integración de las funciones de Macaulay sigue las mismas reglas que para las
funciones habituales es decir,
∫〈𝑥 − 𝑎〉𝑛
𝑑𝑥 =
〈𝑥 − 𝑢〉𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
El método de superposición es una técnica práctica de uso común para
obtener deflexiones y ángulos de rotación de vigas. El concepto subyacente es
muy simple y se puede enunciar así:
En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida por varias
cargas diferentes que actúan de manera simultánea se puede determinar
superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por
separado.
El principio de superposición se utiliza para determinar el esfuerzo o el
desplazamiento en un punto de un elemento cuando este se encuentra
sometido a una carga complicada. Al subdividir la carga en sus componentes,
el principio de superposición establece que el esfuerzo o el desplazamiento
resultante en el punto puede determinarse mediante la suma algebraica del
esfuerzo o el desplazamiento causado por cada componente de la carga
aplicado por separado al elemento.
Para que el principio de superposición pueda aplicarse deben cumplirse
las siguientes dos condiciones.
1. La carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el
desplazamiento que se va a determinar.

13. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
2. La carga no debe cambiar significativamente la geometría original
o la configuración del elemento. Si se produce cambios significativos, la
dirección y la ubicación de las fuerzas aplicadas y sus momentos
también cambiaran.