1. Movimiento circular uniforme<br />De Wikipedia, la enciclopedia libre<br />Saltar a navegación, búsqueda<br />lefttop<br />El módulo del vector velocidad es constante en un movimiento circular uniforme.<br />En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular.<br />Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.<br />Cinemática [editar]<br />Ángulo y velocidad angular [editar]<br />El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual a la longitud del arco de circunferencia recorrida entre el radio:<br />La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene radianes.<br />La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo fisico cinemático.<br />Vector de posición [editar]<br />Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes . La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:<br />Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se traduce en:<br />De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />siendo:<br />: es el vector de posición de la partícula.<br />: es el radio de la trayectoria.<br />: es la velocidad angular (constante).<br />: es el tiempo.<br />Velocidad [editar]<br />La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar y comprobando que es nulo.<br />Aceleración [editar]<br />La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad mediante derivación:<br />de modo que<br />Así pues, vector aceleración tiene la misma dirección y sentido opuesto que el vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostubramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad de la partícula, ya que, en virtud de la relación , resulta<br />Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la pratícula deberá ser atraída hacia en centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />Período y frecuencia [editar]<br />El periodo representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta completa y viene dado por:<br />La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />Obviamente, la frecuencia la inversa del período:<br />VELOCIDAD LINEAL<br />Representación Gráfica de la velocidad angular<br />La velocidad angular, al igual que la velocidad lineal es una magnitud vectorial, la cual se representa mediante un vector que es perpendicular al plano de la circunferencia que describe la partícula. Su sentido es el mismo de avance de un tirabuzón, cuando gira en el mismo sentido que tiene el móvil o la partícula.<br />Ecuación de la velocidad angular en función de la frecuencia. La ecuación de la velocidad angular en función del periodo es:<br />pero <br />Luego:<br /> Ecuación de la velocidad lineal en función de la frecuencia.<br />La ecuación de la velocidad lineal en función del periodo es:<br />luego,<br />Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular<br />Las ecuaciones de la velocidad lineal y velocidad angular vienes dadas por:<br />..................................................(1).....................................................(2)<br />ACELERACIÓN CENTRÍPETA<br />Cuando se estudió la aceleración en el movimiento rectilíneo, dijimos que ella no era más que el cambio constante que experimentaba la velocidad por unidad de tiempo. La velocidad cambiaba únicamente en valor numérico, no así en dirección.<br />Cuando el móvil o la partícula realiza un movimiento circular uniforme, es lógico pensar que en cada punto el valor numérico de la velocidad es el mismo, en cambio es fácil darse cuenta que la dirección de la velocidad va cambiando a cada instante. La variación de dirección del vector lineal origina una aceleración que llamaremos aceleración centrípeta. Esta aceleración tiene la dirección del radio apuntando siempre hacia el centro de la circunferencia, razón por la cual también se llama Aceleración Radial. Las direcciones de la velocidad tangencial y de la aceleración centrípeta, son perpendiculares<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br /> Ecuación de la Aceleración Centrípeta:<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br />En el punto A de su trayectoria tiene una velocidad V1 y en un intervalo de tiempo D t ocupa el punto B con velocidad V2. Aquí las dos velocidades difieren únicamente en dirección, pues sus magnitudes son iguales.<br />Por otra parte sabemos que la velocidad instantánea y la aceleración vienen dadas respectivamente por:<br />Vectorialmente, el cambio de velocidad se obtiene haciendo la diferencia V=V2 - V1, donde se cambia el sentido del vector V1 y se hace la suma vectorial.<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior <br />VELOCIDAD ANGULAR<br />La velocidad angular es la magnitud medida por el cociente entre el ángulo descrito por el radio vector y el tiempo empleado en describirlo.<br /> <br />w se mide en rad/s.<br />Cuando el ángulo barrido es un ángulo de giro igual a 2P , el tiempo empleado es un período, pudiéndose escribir que:<br />La velocidad angular es el ángulo recorrido en la unidad de tiempo. Sea w este ángulo. Si un móvil animado de movimiento circular describe el arco MOM= a en un tiempo t, la velocidad angular siendo R el radio de la trayectoria circular y v la velocidad lineal, se demuestra que:<br />y se expresa w en radianes.<br />DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME<br />La fuerza que resulta de este movimiento entonces también debe apuntar hacia el centro. No hay que olvidar que esta es la dirección adecuada de la fuerza, si solo nos imaginamos girando un objeto fijo a una cuerda de longitud fija. La cuerda tiene tensión constante, y es la que quot;
fuerzaquot;
al objeto a seguir su movimiento circular. De acuerdo a la experiencia cotidiana, se sabe que el objeto en movimiento jala hacía afuera la mano que sostiene la cuerda. De la tercera ley de Newton, se concluye que la fuerza que debe ejercer la mano sobre el objeto, a través de la cuerda, será un tirón hacia adentro igual. Esta fuerza que se dirige hacia el centro, y que gira sobre el objeto, se denomina fuerza centrípeta y la aceleración que se dirige hacia el centro de giro del objeto se llama aceleración centrípeta a.<br />FUERZA CENTRÍPETA<br />La segunda ley de Newton determina el movimiento circular y los demás movimientos de una partícula. La aceleración, dirigida el centro del circulo, que tiene una partícula con movimiento circular uniforme ha de ser producida por una fuerza dirigida también hacia el centro. Como la magnitud de la aceleración normal es igual a v2 / R, y su dirección es hacia su centro, la magnitud de la fuerza normal sobre una partícula de masa m es<br />Generalmente hay varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo con movimiento circular uniforme. En este caso, el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo ha de tener la magnitud dada por la ecuación y de estar dirigido directamente hacia el centro del circulo.<br />La fuerza que aparece en la ecuación se denomina a veces fuerza centrípeta. El termino no es un afortunado, puesto que parece implicar que esta fuerza es de alguna manera diferente de las demás fuerzas ordinarias, o que el movimiento circular genera de algún modo una fuerza adicional; nada de este es correcto. El termino de centrípeta se refiere al efecto de la fuerza, es decir, al hecho de que ocasionan un movimiento circular en el cual cambia la dirección de la velocidad, pero no su magnitud.<br />Centrífuga significa <<escapar de un centro>> examinemos esta opinión. En primer lugar, el cuerpo no permanece en esa posición. Un instante después ocupara una posición distinta sobre su trayectoria circular. En el instante considerado esta moviéndose en la dirección del vector velocidad v y a menos que actué una fuerza resultante sobre él, continuará moviendo en esta dirección, según la primera ley de Newton. Si estuviera actuando sobre él una fuerza hacia fuera, igual y opuesta a la componente hacia dentro de la fuerza T, no habría fuerza resultada hacia dentro para desviarlo lateralmente de su dirección de movimiento actual.<br />Cuando se hace girar en círculo una pelota, ésta es acelerada ‘hacia dentro’. La aceleración se debe a una fuerza centrípeta (que tiende hacia el centro): la tensión de la cuerda. La fuerza necesaria es igual a mv2/r, donde m es la masa de la pelota, v su velocidad y r el radio de la circunferencia descrita. La mano que tira de la cuerda experimenta una fuerza de reacción centrífuga (dirigida hacia fuera).<br />FUERZA CENTRÍFUGA<br />El sistema de rotor de un helicóptero depende principalmente de su rotación para generar la sustentación necesaria para el vuelo. Debido a su rotación y peso, el rotor esta sujeto a fuerzas y momentos característicos de todas las masas en rotación. Una de las fuerzas producidas es la Fuerza Centrífuga. Esta, es definida como la fuerza que tiende a que todos los cuerpos en rotación traten de alejarse de su eje.<br />Otra de la fuerza que se generan es la Fuerza Centrípeta. Esta es la fuerza opuesta a la centrífuga, que hace que los componentes de un sistema en rotación traten de acercarse a su eje.<br />La rotación de las palas de un helicóptero producen una muy alta fuerza centrífuga, cargando la misma sobre el rotor y el conjunto de las palas. Imaginen que la carga sobre la raíz de la pala puede estar en el orden de las 6 a las 12 toneladas, en un helicóptero de 2 a 4 pasajeros. Helicópteros más grandes pueden experimentar, en cada pala, unas 40 toneladas sobre la raíz.<br />La fuerza Centrífuga es una de las fuerzas dominantes en el estudio de las alas rotativas. <br />Cuando las palas del rotor de un helicóptero no están girando, caen hacia abajo debido a su propio peso. Cuando comienza la rotación de¡ conjunto las palas comienzan a elevarse de su posición de descanso debido a la fuerza centrifuga. A velocidad operacional, debido a su ángulo de ataque, las palas se encuentran en posición quot;
rectaquot;
, todavía no están generando sustentación.<br />Cuando el rotor comienza a generar sustentación,.las palas abandonan su posición quot;
rectaquot;
y comienzan a generar una posición de quot;
conoquot;
. La medida de este cono depende de las RPM, el peso total, y las fuerzas G experimentadas en el vuelo. Si las RPM permanecen constantes, el cono aumenta si, el peso total y las fuerzas G son aumentadas. También, si las RPM disminuyen, manteniendo el peso y las G constantes, el cono va a aumentar.<br />Excesivo quot;
conoquot;
(coning) causa fatiga sobre las palas además de una disminución de la sustentación al disminuir el área del disco rotor.<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br />Note que el diámetro efectivo del disco del rotor, con el coning incrementando, es menor que el otro disco sin coning. A menor diámetro de disco obtendremos menor sustentación.<br />La fuerza centrífuga y los efectos de la sustentación pueden ser mejor entendidos con un gráfico. Primero mire un eje de rotor y una pala rotando.<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br />Ahora observe el mismo rotor cuando una fuerza vertical le es aplicada en la puntera de la pala.<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br />La fuerza aplicada es la sustentación producida cuando las palas aumentan su ángulo de ataque. La fuerza horizontal es la fuerza centrifuga generada por el rotor al girar. Debido a que la raíz de la pala esta sujeta al árbol, solo el otro extremo tiene la libertad de moverse y se obtiene una resultante en la pala.<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br />La posición de la pala es la resultante de dos fuerzas: La sustentación y la fuerza centrífuga.<br />LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.<br />Valor de g<br />Desde la más remota antigüedad, el hombre ha sentido atraído por el comportamiento de los astros y ha tratado de buscarle explicación. Así desde la época de los griegos, pasando por Tolomeo y Copérnico con un sistema heliocéntrico se fue evolucionando hasta llegar a la época de Tycho Brahe, el cual hizo mediaciones más precisas de las posiciones de los cuerpos celestes. <br />Partiendo de los datos cuidadosamente seleccionados por Brahe, el astrónomo Johanees Kepler enuncio sus famosas leyes, conocidas hoy como leyes de kepler. Estas leyes fueron enunciadas así:<br />Primera Ley:<br />Todo planeta gira alrededor del sol describiendo una orbita elíptica en la cual el sol ocupa uno de los focos.<br />Segunda Ley:<br />El radio focal que une a un planeta con el sol describe áreas iguales en tiempos iguales.<br />Tercera Ley:<br />Para todos los planetas, la relación entre el cubo del radio de la orbita y el cuadrado de su período es constante, pudiéndose escribir que:<br />Kepler había pretendido darle explicación a las causas de las leyes que rigen el movimiento de los planetas, pero fue newton quien le dio solución dinámica al problema del movimiento de los planetas con su ley de Gravitación Universal.<br />Newton basándose en las leyes de Kepler y en las leyes de la mecánica, llego a la deducción de la formula de la Ley de Gravitación Universal.<br />Deducción de la Ley de Gravitación Universal.<br />Si se considera que los planetas se mueven en orbitas circulares, la aceleración centrípeta de cualquier planeta se puede calcular por la formula:<br />Esto significa que la aceleración de cualquier planeta es independiente de su masa e inversamente proporcional al cuadrado del radio de su orbita. <br />Por la segunda Ley de Newton la fuerza que le imprime al planeta esta aceleración es:<br />Es decir, la fuerza que actúa sobre cualquier planeta es directamente proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de este al sol.<br />De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza con que el sol actúa sobre el planta es de la misma magnitud y de sentido opuesto a la fuerza con que el planeta actúa sobre el sol. Si M es la masa del sol, esta última fuerza puede escribirse como:<br />Esta última es la expresión matemática de la Ley de gravitación universal si se admite la existencia de un campo gravitatorio para todos los cuerpos, la Ley de Newton puede generalizarse para todos los cuerpos del universo enunciándola así.<br />quot;
Dos cuerpos cualesquiera del universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros.quot;
<br />Las fuerzas con que se atraen las dos masas no son más que un par de acción y reacción. La primera masa ejerce una fuerza de atracción sobre la segunda, que esta dirigida hacía la primera, en cambio la segunda masa ejerce otra fuerza de atracción sobre la primera, que esta dirigida hacía la segunda<br />F2-1: Fuerza ejercida por M sobre m<br />F1-2: Fuerza ejercida por m sobre M.<br /> Para ver el gráfico seleccione la opción quot;
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del menú superior<br />El valor de la constante de gravitación universal G fue determinada por Henry Cavendish, usando una balanza de torsión, encontrando que:<br />TIPOS DE FUERZAS FUNDAMENTALES<br />Existen cuatro (4) tipos de fuerzas fundamentales:<br />Fuerza Elástica:<br />Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los cuerpos de recuperar su forma original una vez deformados por el efecto de una fuerza externa. Todos los cuerpos ern mayor o menor grado son elásticos, dependiendo dicha elasticidad de factores tales como la estructura molecular interna y la fuerza exterior que se aplique.<br />A las fuerzas de restauración, originadas en la parte interna del material, que tienen a regresar el cuerpo a su posición original y que están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación se llaman Fuerzas elásticas.<br /> Si dicho resorte está fijo en un extremo y por el extremo libre ejercemos una fuerza (acción), aparecerá una reacción que el resorte ejerce sobre nuestra mano con una fuerza dirigida en sentido opuesto a la deformación y su valor depende del alargamiento sufrido por el resorte. Esta fuerza se llama fuerza Elástica recuperadora.<br />Fuerza Normal:<br />Cuando un cuerpo esta colocado sobre un plano horizontal, el cuerpo ejerce sobre el plano una fuerza que comprime las moléculas de la superficie del plano en contacto, deformándolo. A su vez, la superficie del plano trata de recuperar su estado original a través de las fuerzas elásticas, que en este caso se les llama Fuerzas de contacto normal. La dirección de esta fuerza es perpendicular a las superficies en contacto, razón por la cual se le llama Normal y se ejerce sobre el objeto causante de la deformación. Denotándose con la letra (N).<br />La fuerza Normal entre dos superficies en contacto es la fuerza perpendicular que la superficie soporte ejerce sobre la superficie que se encuentra sobre ella.<br />Fuerza De Tensión<br />Es la fuerza ejercida por una cuerda, considerada de masa despreciable e inextensible sobre un cuerpo que esta ligado a ella.<br />Fuerza de Fricción<br /> Las fuerzas de fricción y coeficientes de rozamiento.<br />Son fuerzas que se originan en la superficie de contacto entre dos cuerpos.<br />Son conocidas dos tipos de fricción: la misma fricción estática y la fricción cinética.<br />Para comprender mejor estos aspectos donde se muestra un bloque que esta en reposo sobre un plano horizontal. Al aplicar una fuerza externa F, de dirección horizontal y sentido hacía la derecha, notamos que el bloque no se pone en movimiento. Esto es debido a otra fuerza aplicada y que recibe el nombre de Fuerza de Fricción estática (Fs)<br /> Si aplicamos una fuerza aun mayor que la anterior, y no lo logramos poner el bloque en movimiento, es porque la fuerza equilibradamente de fricción estática también irá aumentado.<br />Si se continúa aumentando la fuerza F, llegará un momento en que la fuerza de fricción estática alcance su valor máximo Fs(máx) y el bloque este a punto de ponerse en movimiento.<br /> Al ponerse en movimiento la fuerza de fricción retardadora es menor que la fuerza de fricción retardadora es menor que la fuerza fricción estática máxima. En este caso a la fuerza retardadora se le conoce como fuerza de Fricción Cinética, la cual notaremos fk.<br /> Después de múltiples experimentos se ha podido comprobar que tanto la magnitud de fs son proporcionales a la magnitud de la fuerza normal N que actúa sobre el bloque.<br />Movimiento circular<br />Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.<br />Saltar a navegación, buscar<br />Se denomina movimiento circular al movimiento plano descrito por un punto en trayectoria circular en torno a un punto fijo. Cuando el centro de giro es el propio centro de masas del objeto, el movimiento se denomina rotación y se distingue del anterior en que mientras las partículas del objeto se mueven describiendo trayectorias circulares en torno al eje de rotación el objeto en sí no se traslada. <br />Si el movimiento circular es uniforme el objeto recorre arcos de circunferencia iguales en intervalos de tiempo iguales.<br />El movimiento circular a velocidad constante es el caso más simple de movimiento uniformemente variado ya que el objeto sólo puede describir dicha trayectoria si existe una aceleración —y fuerza actuando sobre el objeto— constante en dirección al centro de rotación denominada «centrípeta»; en el caso por ejemplo de un satélite en órbita geoestacionaria la fuerza es la de la gravedad, en un automóvil trazando una curva es el rozamiento entre el neumático y el asfalto y en el caso de la honda con la que David derrotó a Goliat la cinta de cuero que retenía la piedra. Si el vínculo desapareciera en cualquiera de ellos el objeto: satélite, automóvil o piedra, abandonaría la trayectoria circular para seguir una trayectoria rectilínea en virtud de la primera ley de Newton como bien pudo comprobar el desafortunado Goliat. <br />Teniendo en cuenta la existencia de una aceleración centrípeta o radial, se denomina movimiento circular uniforme aquél en el que la velocidad angular no varía (el módulo de la velocidad lineal es constante pero varía su dirección) y uniformemente variado aquél en el que existe aceleración tangencial, además de la radial, y es constante, variando entonces tanto el módulo de la velocidad como su dirección. <br />Magnitudes angulares para el estudio del movimiento circular.<br />Índice[ocultar]1 Magnitudes angulares2 Velocidad constante 2.1 Periodo2.2 Notación compleja3 Aceleración constante4 Componentes intrínsecas5 Dinámica del movimiento circular uniforme 5.1 Órbita geoestacionaria5.2 Trazado de una curva6 Referencias 6.1 Bibliográficas6.2 Otras fuentes de información6.3 Artículos relacionados<br />[escribe] Magnitudes angulares<br />En el movimiento circular, la posición del objeto, usando coordenadas polares queda perfectamente definida conociendo el ángulo, θ, ya que la distancia al origen tomando éste en el centro de giro es constante e igual al radio de giro R. <br />En un lapso de tiempo Δt la partícula habrá girado un ángulo Δθ. La velocidad angular media se define como el cociente entre el ángulo girado y el tiempo empleado para ello y la velocidad angular instantánea, ω como el límite del cociente anterior cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada de θ: <br />Análogamente, en un lapso de tiempo Δt la partícula habrá variado su velocidad en Δω. La aceleración angular media es el cociente entre la variación de la velocidad angular y el tiempo empleado para ello y la aceleración angular instantánea, α como el límite del cociente anterior cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada de ω y segunda derivada de θ: <br />La unidad de velocidad angular es el radián por segundo (rad/s); y la de aceleración angular rad/s². <br />Usualmente se representan la velocidad y aceleración angulares empleando los pseudovectores de la figura, cuyo módulo es el de la velocidad y aceleración angulares instantáneas respectivamente y dirección perpendicular al plano que contiene la trayectoria circular. y con el sentido convencionalmente atribuido siguiendo la regla del sacacorchos o de la mano derecha (cerrando la mano derecha en el sentido del giro hacia donde apunta el pulgar). <br />[escribe] Velocidad constante<br />Es el caso más sencillo que se pueda plantear. Si consideramos el punto de la figura en un instante cualquiera y tomamos como origen del sistema de coordenadas el centro de giro, siendo R el radio de giro, θ0; el ángulo inicial (en t=0), θ el ángulo girado en el tiempo t y ω la velocidad angular, constante, el ángulo girado en un tiempo t será, integrando la ecuación (1): <br />Coordenadas cartesianas del punto.<br />y las coordenadas cartesianas del punto serán (véase trigonometría): <br />El vector r que indica la posición del punto en cada instante será: <br />La velocidad del punto es la variación de su posición a lo largo del tiempo, de modo que derivando la expresión anterior respecto del tiempo, obtenemos: <br />Vector cuyo módulo es Rω, constante, y cuya dirección como fácilmente puede comprobarse es perpendicular al vector de posición, es decir, tangente a la trayectoria circular (1). Vectorialmente podríamos escribir la ecuación anterior (véase producto vectorial): <br />La aceleración del punto es la variación de su velocidad a lo largo del tiempo, así que derivando de nuevo, obtenemos: <br />Al igual que en el caso anterior el módulo de la aceleración, Rω², es constante y su dirección es la contraria del vector de posición: radial y hacia el centro de rotación, la aceleración centrípeta definida con anterioridad. Análogamente al caso anterior podremos escribir la ecuación del modo siguiente: <br />En virtud de la relación existente entre el vector de posición y su segunda derivada (la aceleración) podemos escribir la ecuación diferencial del movimiento circular uniforme: <br />Obtenida la aceleración, el módulo de la fuerza centrípeta que actúa sobre el objeto (cuya dirección será la de la aceleración) puede deducirse de la segunda ley de Newton: <br />[escribe] Periodo <br />El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico ya que la partícula pasa por la misma posición a intervales de tiempo regulares, dicho lapso de tiempo se denomina período y se representa usualmente por T. Tomando la posición de la partícula en un instante inicial cualquiera deberá cumplirse que ésta recorre un ángulo 2Π en un tiempo T, matemáticamente: <br />La inversa del periodo se denomina frecuencia (f). <br />La unidad del periodo es el segundo y la de la frecuencia el hercio. Físicamente un movimiento circular con un periodo de 10 segundos indica que la partícula tarda dicho tiempo en dar una vuelta completa, mientras que si la frecuencia es de 10 Hz significa que da diez vueltas en un segundo. <br />[escribe] Notación compleja<br />La posición del punto utilizando números complejos puede escribirse z=x+iy, donde i, la unidad imaginaria, es la raíz cuadrada de -1; en esencia el plano de la trayectoria se compone entonces de dos dimensiones, una real y otra imaginaria equivalentes a las que antes denotábamos x e y. Empleando la fórmula de Euler, la posición compleja vendría reprentada por la ecuación: <br />La derivada de la ecuación anterior es la velocidad compleja: <br />Como puede apreciarse la velocidad está multiplicada por el factor i lo que significa que la velocidad es perpendicular a la posición (tangencial). <br />Derivando de nuevo obtenemos la aceleración compleja: <br />Si el movimiento circular es uniformemente variado el objeto recorre arcos de circunferencia crecientes en intervalos de tiempo iguales.<br />Donde el signo menos indica que la aceleración centrípeta tiene la dirección de la posición pero sentido contrario. De nuevo la ecuación diferencial del movimiento puede escribirse <br />[escribe] Aceleración constante<br />De la ecuación (2): <br />Integrando la expresión anterior entre el instante inicial (t=0) en el que conocemos la velocidad angular ω0 y un instante cualquiera (t) obtendremos la velocidad angular en función del tiempo: <br />Si integramos la velocidad angular, suponiendo que en el instante inicial el ángulo era θ0: <br />Se observará que estas ecuaciones son análogas a las del movimiento rectilíneo. La velocidad y aceleración lineales instantáneas pueden obtenerse generalizando las ecuaciones (7) y (9): <br />Donde el primer sumando de la aceleración corresponde a la aceleración centrípeta y el segundo a la tangencial. <br />[escribe] Componentes intrínsecas<br />Sistemas de coordenadas.<br />Para la representación vectorial del movimiento circular es más cómodo «subirse» al objeto adoptando un sistema de referencia móvil que utilizar las coordenadas cartesianas. Los vectores directores de este sistema de referencia son el tangente a la circunferencia en cada punto, τ, y el normal o radial, n, tales que: <br />A diferencia del caso anterior, ahora los vectores varían a medida que se mueve el objeto, si los derivamos en función del tiempo: <br />Respecto de dicho sistema de referencia, la posición del objeto será: <br />Derivando obtenemos la velocidad: <br />La velocidad en un movimiento circular sólo tiene componente tangencial. Derivando de nuevo: <br />Como vemos, existe siempre un aceleración centrípeta proporcional a la velocidad angular y en aquellos casos que el movimiento sea acelerado, una aceleración tangencial con su valor. <br />[escribe] Dinámica del movimiento circular uniforme<br />Para un observador situado en el ecuador el satélite aparentará no moverse ya que su velocidad de rotación es la misma que la de la Tierra (radios de la Tierra y de la órbita a escala).<br />En función de la naturaleza de la fuerza centrípeta actuante pueden considerarse dos problemas dinámicos típicos del movimiento circular, el primero si la fuerza actuante es la gravedad y el segundo si la fuerza actuante es el rozamiento. <br />[escribe] Órbita geoestacionaria<br />Es aquella en la que el satélite, girando a la misma velocidad angular que la Tierra se mantiene sobre el mismo punto de la línea del ecuador, sobre el mismo meridiano. Sustituyendo en (11) el valor de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite: <br />Despejando el radio de la órbita: <br />Siendo: <br />μ = GM = 398600,4418 km3/s2 la constante gravitacional geocéntrica. <br />ω = 7,29E-5 rad/s la velocidad de rotación de la Tierra calculada considerando un período de rotación igual al día sidéreo. <br />Sustituyendo valores se obtiene un radio orbital R aproximado de 42172 kilómetros lo que equivale, una vez descontado el radio de la Tierra a una altitud de 35794 km sobre el nivel del mar. <br />Fuerzas actuantes y magnitudes del movimiento en la trazada de una curva.<br />[escribe] Trazado de una curva<br />Imaginemos un vehículo trazando una curva, en función de su velocidad y radio de giro existirá una aceleración centrípeta (a) de valor ω²R. La fuerza centrípeta que mantiene al vehículo en su trayectoria es el rozamiento entre los neumáticos y el asfalto (FR), sin embargo, esta fuerza no puede incrementarse indefinidamente existiendo un máximo cuyo valor viene dado por el producto del coeficiente de rozamiento (μ) por la normal (N) cuyo valor es igual al peso (P) del vehículo. Si la velocidad es baja, la fuerza de rozamiento es capaz de provocar la aceleración centrípeta necesaria para mantener el vehículo en la trazada pero si ésta es tal que se supera la aceleración centrípeta máxima del rozamiento, el vehículo se sale de la curva. El valor máximo vendrá dado por la fuerza de rozamiento máxima: <br />Despejando: <br />Empleando la ecuación anterior puede bien determinarse la velocidad máxima en una curva de radio conocido, e indicarla mediante la adecuada señalización, o bien diseñarse la curva determinando el radio mínimo necesario para trazar la curva con seguridad a la velocidad de diseño de la vía. Por ejemplo, suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0,5 (asfalto húmedo) y una velocidad de circulación de 120 kilómetros por hora, el radio de curvatura mínimo debería ser de unos 230 metros. <br />En el caso de curvas peraltadas se logra aumentar la fuerza de rozamiento incrementando el valor de N ya que en este caso por la forma geométrica de la curva el coche tiende a «aplastarse» sobre el asfalto. <br />Evidentemente cuanto mayor sea el radio de curvatura, mayor será la velocidad a la que se podrá circular, ésta es la razón de que los conductores tienden a «cortar» la curva invadiendo el arcén en curvas a la derecha o el carril contrario en curvas a la izquierda —en países donde se circula por la derecha— ya que de este modo siguen una trayectoria cuyo radio de cuvatura es mayor. <br />