Contraste de hipótesis Bilateral y Unilateral para la media

1. CONTRASTE DE HIPÓTESIS.
El contraste de hipótesis o la prueba de decisión estadística permite comprobar ciertas
afirmaciones que realizamos acerca de una población, referidas a sus parámetros o a la forma en que se
distribuye; en nuestro caso lo haremos sobre la media µ
Definición.
TEST ESTADÍSTICO.
Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y
significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente
emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS.
Las hipótesis estadísticas son proposiciones acerca de parámetros de la población (media,
proporciones, varianza, diferencia de medias, etc.) o de su distribución. Cuando llevamos a cabo una
prueba estadística, estamos trabajando con una hipótesis nula, que simbolizaremos por H0. Junto a esta,
consideramos la hipótesis alternativa, opuesta a la anterior, que queda simbolizada por H1.
Veamos en qué consiste cada una de ellas:
• Hipótesis nula (H0). Establece una hipótesis que provisionalmente se considera como
verdadera.
• Hipótesis alternativa (H1). Toda hipótesis nula va acompañada de una hipótesis alternativa, la
cual afirma el supuesto contrario de la hipótesis nula.
Puesto que cada una de estas hipótesis afirma lo contrario que la otra es incompatible que ambas
sean ciertas. Por tanto, si llegamos a la conclusión de que la hipótesis nula no se cumple, podemos afirmar
que se cumple la hipótesis alternativa y viceversa.
Ejemplo:
Hace cinco años se realizó una prueba de conocimientos a la totalidad de los soldados de un
reemplazo. El resultado fue una media µ=102 puntos y una desviación típica σ = 11 . Este año se les ha
pasado el mismo test a una muestra de 400 soldados y la media muestral ha sido x = 101 .
¿Podemos suponer que no ha habido cambios en los conocimientos de los soldados en estos cinco
años y que, por tanto, las diferencias observadas son frutos del azar?

2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA.
El proceso que se sigue para contrastar un hipótesis respecto a la media, a través de una muestra es
el siguiente:
1) Establecer la hipótesis nula, H0. En ella supondremos que la media, µ, es igual al valor µ0 .
H 0 : µ = µ0
Establecer la hipótesis alternativa H1 H1 : µ ≠ µ 0
2) Definir la ley de probabilidad de la población y de la muestra, que en nuestro caso es la ley
de distribución normal.
Se establece el nivel de confianza, 1 - α, o el correspondiente nivel de significación, α.
Determinar la zona de aceptación de H0. Que es el intervalo de confianza
Que cumple que la probabilidad encerrada en él es : 1 - α
 
 σ σ 
p µ0 − z · < x < µ0 + z ·  = 1−α
 α n α n
 
 2 2 
3) Se extrae la muestra, y se calcula la media muestral.
4) Si el valor de la media x de la muestra está dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula
H0 y en caso contrario se rechaza, admitiendo la hipótesis alternativa H1. La zona de rechazo
se denomina región crítica.
Un contraste de hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio de aceptación de la
misma y la decisión se toma a partir de una muestra y con un determinado nivel de significación
Ejemplo anterior de los soldados:
Hace cinco años se realizó una prueba de conocimientos a la totalidad de los soldados de un
reemplazo. El resultado fue una media µ=102 puntos y una desviación típica σ = 11 . Este año se les ha
pasado el mismo test a una muestra de 400 soldados y la media muestral ha sido x = 101 .
¿Podemos suponer que no ha habido cambios en los conocimientos de los soldados en estos cinco
años y que, por tanto, las diferencias observadas son frutos del azar? . Vamos a poner un nivel de
significación α = 1%.

3. 1) Establecer la hipótesis nula, H0. En ella supondremos que la media, µ, es igual al valor µ0 .
H0: µ=102
Establecer la hipótesis alternativa H1 H1: µ ≠102
2) Definir la ley de probabilidad de la población y de la muestra, que en nuestro caso es la ley
de distribución normal.
11
X?? X = N (102 , ) = N (102 , 0'55)
400
Se establece el nivel de confianza, 1 - α = 99% → Zα/2 =2’575
Determinar la zona de aceptación de H0. Que es el intervalo de confianza
 
 σ σ  11
 µ0 − z · , µ0 + z ·  = (102 ± 2'575 ⋅ ) = (100'58 , 103'42)
 α n α n 400
 
 2 2 
3) Se extrae la muestra, y se calcula la media muestral = 101
4) Como 101 está dentro de la zona de aceptación: (100’58 , 103’42) se acepta la Hipótesis
Nula, es decir se mantiene su media de puntuación µ=102 .
Si hubiese caído fuera de la zona de aceptación se hubiese rechazado H0 y se hubiese aceptado H1 .
Otro ejemplo:
Se cree que el cociente intelectual medio de los estudiantes de una universidad es 113, con una
desviación típica de 7. Para contrastar la hipótesis, se extrae una muestra de 180 estudiantes y se obtiene en
estos estudiantes un cociente intelectual medio de 115. ¿Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de
significación del 5 %?.
Hipótesis nula, H 0 : µ = 113 .
Hipótesis alternativa, H 1 : µ ≠ 113 .
Como el tamaño de la muestra es superior a 30, las medias muestrales se distribuirían (si la
 7 
hipótesis fuese cierta) según una ley N 113,
 .

 180 
La región de aceptación al nivel de confianza del 95 % es
 7 7 
113 − 1.96 ·
 , 113 + 1.96 ·  = (111.98 , 114.02) .

 180 180 
En la muestra hemos obtenido una media de 115, que no pertenece a la región de aceptación sino
que pertenece a la región crítica. Por tanto, con un nivel de confianza del 95 % rechazamos la hipótesis
nula, y aceptamos la alternativa, es decir, no podemos dar por bueno que el cociente intelectual medio de
los alumnos de esa universidad sea de 113.
Hacer ejercicio 1) de la página 315

4. Hacer los ejercicios de la página 323: 1 – 2- 3

8. s3 Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido por los participantes olímpicos
de la prueba de 100 metros, en la modalidad de decathlon, es una variable aleatoria que
sigue una distribución normal con media 12 segundos y desviación típica 1,5 segundos.
Para contrastar, con un nivel de significación del 5%, si no ha variado el tiempo medio en
la última Olimpiada, se extrajo una muestra aleatoria de 10 participantes y se anotó el
tiempo obtenido por cada uno, con los resultados siguientes, en segundos:
13 12 11 10 11
11 9 10 12 11
a) ¿Cuáles son la hipótesis nula y la alternativa del contraste?
b) Determina la región crítica.
c) Realiza el contraste.
d) Explica, en el contexto del problema, en qué consiste cada uno de los
errores del tipo I y II.

10. CONTRASTES BILATERALES Y UNILATERALES.
Las hipótesis nula y la hipótesis alternativa deben ser mutuamente excluyentes y complementarias,
y el contraste de hipótesis puede ser bilateral o unilateral.
• Cuando la región crítica se sitúa a ambos lados de la zona de de aceptación de la hipótesis nula
se denomina contraste bilateral o contraste de dos colas.
α/2 α/2
− zα zα
2 2
HIPÓTESIS:
H 0 :µ = µ0
H1 : µ ≠ µ 0
 σ σ 
Región de aceptación:  µ0 − zα · , µ0 + zα · 
 n n
 2 2 
σ σ
Región de rechazo o crítica: x ≤ µ 0 − z α · o x ≥ µ 0 + zα ·
2 n 2 n
Observación.
Cuando la desviación típica poblacional no sea conocida, y la muestra sea suficientemente grande
podremos utilizar la desviación típica de la muestra o, en su caso, la que indique la hipótesis.

11. Cuando la región crítica se sitúa en una de las dos colas, se denomina contraste unilateral o
contraste de una cola.
CONTRASTE UNILATERAL DERECHO. La región crítica se sitúa en el lado derecho.
α
zα
HIPÓTESIS:
H 0 :µ ≤ µ0
H1 : µ > µ 0
 σ 
Región de aceptación:  − ∞ , µ 0 + zα ·
 

 n
 σ 
Región de rechazo:  µ 0 + zα · , + ∞

 n 
Observación.
Es importante hacer notar que al quedar la región crítica en una sola cola, determinamos zα , con la
condición p ( Z < zα ) = 1 − α .
Regla Nemotécnica si ponemos la hipótesis H0 con “≤” el lado en el que cae la µ esta el ±∞ , es el
lado donde cae la región de aceptación.

12. CONTRASTE UNILATERAL IZQUIERDO. La región crítica se sitúa en el lado izquierdo.
α
-zα
HIPÓTESIS:
H 0 : µ ≥ µ0 ó H 0 : µ0 ≤ µ
H 1 : µ < µ0 H 1 : µ < µ0
Región de aceptación:
 σ 
 µ 0 − zα ·
 , + ∞

 n 
Región de rechazo:
 σ 
 − ∞ , µ 0 − zα ·
 
 n
Ejemplo:
El peso de los pollos de una granja es una distribución normal de media 2.6 kg y desviación típica
0.5. Se experimenta un nuevo tipo de alimentación con 50 crías. Cuando se hacen adultos se les pesa y se
obtiene una media de 2.78 kg. Vamos a contrastar la hipótesis de que el peso medio de la población no
aumenta con un nivel de significación del 1 %.
Hipótesis nula: H 0 : µ ≤ 2.6
Hipótesis alternativa: H 1 : µ > 2.6
Como el nivel de confianza es del 99 %, p ( Z < zα ) = 0.99 , de donde se obtiene que zα = 2.33 . Y,
 0.5 
por tanto, la región de aceptación es:  − ∞ , 2.6 + 2.33 ·
  , o sea, ( − ∞ , 2.76 ) . Ahora comprobamos

 50 
que el valor obtenido mediante la muestra queda en la región crítica, fuera de la región de aceptación, y por
esto, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa con un nivel de significación del 1 %. Es
decir, aceptamos que la población aumentará de peso con la nueva alimentación utilizada en la granja.
Hacer ejercicio 2) de la página 316

13. Hacer ejercicios 9 – 10 -11

16. ERRORES EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS.
Al aplicar un test estadístico, podemos cometer dos tipos de errores.
ERROR DE TIPO I. Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del
contraste, se rechaza.
ERROR DE TIPO II. Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del
contraste, se acepta.
Naturalmente, al aplicar el test ignoramos si cometemos error o no lo cometemos. Lo que si
podemos hacer es intentar evaluar la probabilidad de cometer error de uno u otro tipo y diseñar el
experimento de modo que dichas probabilidades de error se reduzcan al máximo.
Ejemplo:
Las estaturas de las alumnas de COU eran, en 1990, de media 167 cm y desviación típica 7 cm.
Emitimos la hipótesis de que las actuales alumnas de 2º de Bachillerato tienen la misma media. Vamos a
contrastar la hipótesis mediante una muestra de tamaño 60 y con un nivel de significación del 0.1.
Hipótesis nula: H 0 : µ = 167
Hipótesis alternativa: H 1 : µ ≠ 167
La región de aceptación sería: (165.51 , 168.49)
Si al extraer la muestra obtenemos una media de 168.72 cm, rechazamos la hipótesis nula. Pero
podemos estar equivocados. Es decir, podemos cometer un error de tipo I.
Si al extraer la muestra obtenemos una media de 168.12 cm, aceptamos la hipótesis nula. Si
estuviéramos equivocados se cometería un error de tipo II.
PROBABILIDAD DE COMETER UN ERROR DE UN TIPO U OTRO.
La probabilidad de cometer error de tipo I es precísamente α , el nivel de significación, pues si la
hipótesis es verdadera, nos exponemos a rechazar el α · 100 % de las medias muestrales. Esta probabilidad
no depende del tamaño de la muestra.
La probabilidad de cometer un error de tipo II depende del verdadero valor de µ y del tamaño de la
muestra. Si suponemos que se comete un error de tipo II, y si µ es el verdadero valor de la media y µ0 el
que le atribuimos mediante la hipótesis nula, estos valores son distintos.
Veamos este cuadro resumen:
Hacer ejercicio 8- 12 – 19 -20 de la página 324 -325