Libro problemas io 1

1. Minutos por unidad
Producto Tiempo
disponible
min/sem
Costo/sem
Máquina 1 2 3
Tiempo
disponible
min/sem
a plena capacidad
A, 5 10 - 6000 $300000
A2 7 9 12 10000 $321000
B, 6 8 - 4000 $250000
B2 4 - 11 7000 $770000
B3 7 - - 4000 $200000
Costo materiales $250 $350 $500
Precio de venta $1250 $2000 $2800
Demanda 800 600 550
Se desea saber qué cantidades de los productos 1, 2 y 3 deben ser procesadas en cada máquina
para que la utilidad obtenida sea máxima.
VARIABLES REALES:
• ->t «. •
Producto
Costo por minuto
Máquina 1 2 3
Costo por minuto
A, X, Y, - $50
A2 x2 Y2 u $32,10
B, X3 Y, + Y2 $62,50
B2 X4 - u $110
B3 X5 - - $50
Modelo (primal):
MAX Z = 1250(X, + X2) + 2000 (Y, + Y2) + 2800 U - 250 (X, + X2) - 350 (Y, + Y2) - 500 U
- 50 (5 X, +10 Y,) - 32,10 (7X, + 9Y,+ 12 U) - 62,50 [ 6X3 + 8 (Y, + Y,)]
- .110 (4 X4 + 11 U ) - 50 (7 Xs)
Sujeta a:
1. X.'+X, - X - X - X, = 01 2 3 4 5.
2. 5 X, + 10 Y, < 6000
124

2. /
3. 7 X2 + 9 Y, + 12 U < 10000
4. 6X3 + 8(Y,+Y2 ) < 4000
5. 4 X + 11 U4 < 7000
6. 7X5 < 4000
7. X, + X2 < 800
8. Y , + Y 2 < 600
9. U < 550
X,, x2, x3, x4, x5, Y,, Y,, U > 0
• Una fábrica de conservas vegetales está considerando la planificación de la próxima campaña del
melón. Las previsiones sobre la cosecha son optimistas y los expertos calculan que se dispondrá de unas
100 toneladas de fruta, el 30% será de la mejor calidad, llamada técnicamente calidad A y el resto será de
calidad B. La calidad de un fruto está en relación con aspectos tales como: calibre, grado de madurez y se
mide en una escala de uno a diez, siendo diez el índice de mejor calidad. La calidad Atiene un índice medio
de nueve puntos por kilo, mientras que la calidad B alcanza un índice medio de cinco puntos por kilo.
La fábrica comercializa el melón de dos maneras: en forma de enlatados de melón en almíbar y
en forma de frascos de vidrio dejugo de melón. Con un kilogramo de fruta pueden producirse dos latas
de melón en almíbar o bien tres frascos dejugo de melón. La fábrica piensa que puede vender todos las
latas de fruta en conserva y frascos dejugo que pueda fabricar. No obstante, existen algunas limitaciones
que han de tenerse presentes.
En primer lugar, ha de tenerse en cuenta que la fruta destinada a conserva debe ser de una
calidad superior. Esta calidad se ha fijado en un índice mínimo de 8,5 puntos por kilo. En la obtención de
jugo puede emplearse fruta de cualquier calidad.
En segundo lugar, el número máximo de latas que pueden producirse está limitado por las disponibilidades
de material (hoja de lata, etiquetas, envases, etc.), la mano de obra, la competencia con otros productos de
la empresa, etc. Después de detenidos estudios, la dirección ha determinado que pueden producirse un
máximo de 100000 latas de melón en almíbar y un máximo de 240000 frascos dejugo de melón.
Finalmente, por experiencias de campañas anteriores, se sabe que la cantidad de latas de melón
vendidos nunca es inferior al 25%, ni superior al 40% de la cantidad de frascos de jugo vendidos.
Recientes estudios de mercado realizados por una empresa de consultoría confirman que estas
proporciones se seguirán manteniendo durante la presente campaña.
La empresa ha comprado las 100 toneladas de la cosecha al precio fijo de 500 unidades monetarias
por kilo. Los costes de fabricación y envasado suponen 700 unidades monetarias para una lata de fruta
en conserva y 500 unidades monetarias para un frasco de jugo. La fábrica vende únicamente a
mayoristas y distribuidores a un precio fijo de 2000 unidades monetarias la lata de melón en almíbar y
1000 unidades monetarias el frasco de jugo de melón.
125

3. El objetivo de la fábrica de conservas es determinar el plan de producción de la campaña del
melón en orden a obtener el mayor beneficio posible.
VARIABLES DE DECISION:
XA: Número de kg de fruta de calidad A destinados a fabricar melón en almíbar
Xg: Cantidad de kg de fruta de calidad B destinados a producir melón en almíbar
Ya: Número de kg de fruta de calidad A destinados a fabricar jugo de melón
Yb: Cantidad de kg de fruta de calidad B destinados a producir jugo de melón
Z: Función de utilidad
Modelo (primal):
MAX Z = 2000 * 2 (XA + XB) - 700 * 2 (XA + XB) - 500 (XA + XB) + 1000 * 3 (YA + YB)
- 500 * 3 (Ya + YB) - 500 (Ya + Yb)
Con sus restricciones:
1. 9 X
a + 5 X
q . > 8,5
X
A + X
B
2. Xa + Ya < 30000
3. X_ + Y„ < 70000D D
4. 2(XA + XB) < 100000
5. 3(Ya + Yb) < 240000
6. 0,25 * 3 (Ya + Y0) 2(XA + XB) 0,4*3(Ya + Yb)
X
a>X
b>Ya,Yb > 0
Resumiendo:
MAX Z = 2100 X +2100 X + 1000 Y, + 1000 YnA B A B
Con sus restricciones:
1. 0,5 X4 - 3,5 XR > 0' A ' B —
2. XA + Ya < 30000
126

4. 3
- xB + Yb
4
- XA + XB
5
- Ya +Yb
6. 2 X a + 2Xb -0,75Ya -0,75Yb
7. - 2 X a - 2Xb + 1,2Ya+ 1,2Yb
X
A ' X
B > Y
A ' Y
B
< 70000
< 100000
< 80000
> 0
> 0
> 0
93. En una empresa petrolífera se presentan los siguientes procesos: el proceso 1 es un proceso
de destilación en el que el petróleo bruto se transforma en un producto A, obteniéndose diversos
subproductos denominados S,. En este proceso, un barril de petróleo rinde 0,4 barriles de producto Ay
0,6 de S r La capacidad del proceso es de 80000 barriles diarios y el coste operativo (consumo de
energía, etc.) es de 360000 unidades monetarias por barril de petróleo bruto. En el proceso 2, que es un
proceso de refinamiento, el producto A es transformado en un producto B y en diversos subproductos
denominados S2, de modo que un barril de Aproduce 0,7 barriles de B y 0,3 barriles de S2. La capacidad
del proceso 2 es de 60000 barriles diarios y su costo operativo es de 480000 unidades monetarias por
barril de producto A.
Finalmente, el proceso 3 es un proceso de mezclado sin limitación de capacidad y de costo
despreciable. En él se mezclan los productos A y B para obtener los dos tipos de gasolina normal y
extra que se comercializan. La única condición es que las mezclas han de efectuarse en las proporciones
apropiadas a fin de que el octanaje de cada gasolina sea el adecuado. Así, la gasolina normal debe
tener un índice mínimo de 90 octanos y la gasolina extra debe tener un índice mínimo de 94 octanos.
Por su parte el producto A tiene un índice de 86 octanos y el producto B tiene un índice de 96 -octanos.
El índice de una mezcla es la media ponderada de los índices de los productos mezclados. La refinería
compra el barril de petróleo a 20000 unidades monetarias. Todos los productos y subproductos pueden
venderse directamente al exterior a los precios siguientes:
- S,: 2040 unidades monetarias/barril
- A: 3,125 unidades monetarias/barril
- B: 3850 unidades monetarias/barril
- S,: 3100 unidades monetarias/barri1
- Gasolina normal: 3800 unidades monetarias/barril
- Gasolina extra: 4000 unidades monetarias/barril
Por otra parte, se estima que la cantidad máxima de gasolina que se puede vender es de 20000
barriles de normal y de 50000 de extra. El problema de la empresa de petróleo es organizar el
funcionamiento de la refinaría, teniendo en cuenta que los beneficios obtenidos deben ser los mayores.
VARIABLES REALES:
P: Número de barriles de petróleo bruto que se deben comprar
A: Cantidad de barriles del producto A que se deben obtener
127

5. Aq: Número de barriles del producto A que se venden al exterior
A,: Cantidad de barriles del producto A que se mezclan para obtener gasolina normal
A,: Número de barriles del producto A que se mezclan para obtener gasolina extra
S , : Cantidad de barriles del subproducto A que se deben obtener
S2 : Número de barriles del subproducto A que se deben obtener
B : Cantidad de barriles del producto B que se deben obtener
B0: Número de barriles del producto B que se venden al exterior
B!: Cantidad de barriles del producto B que se mezclan para obtener gasolina normal
B2: Número de barriles del producto B que se mezclan para obtener gasolina extra
G,: Cantidad de barriles de gasolina normal que se deben obtener
G,: Cantidad de barriles de gasolina extra que se deben obtener
Z : Función de utilidad.
Modelo (primal):
MAX Z = - 420000 P - 480000 A+ 90000 A0 + 60000 S, + 120000 S, + 110000 B0 + 100000 G,
+130000G,
Sujeta a:
1. P < 80000
2. A < 60000
3. A:
= 0,4 P
4. S, = 0,6 P
5. A:
= A0 + A1 + A
2
6. B == 0,7 A
7. S2 = 0,3 A
8. B = B0 + B,4 B
2
9. G, = A, + B,
10. G2 = A2 + B2
11. G, < 20000
12. G, < 50000
128

6. 1 3 86A, +96B] > 9 Q
A,+B,
1 4 86 A2 +96B2 ^ 9 4
A2 + b 2
Resumiendo:
MAX Z = - 420000 P - 480000 A + 90000 A0 + 60000 S, + 120000 S2 + 110000 B0
+ 100000 G, + 130000 G,
Sujeta a:
1 . P < 80000
2. A < 60000
3. A - 0,4 P = 0
4. S, - 0,4 P = 0 0,6 P = 0
5. A - AQ - A, - A2
= 0
6. B - 0,7 A = 0
7. S2 - 0,3 A = 0
8. b - b 0 - b , - b 2 = 0
9. G . - A . - B , = 0
10. G2 - A2 - B2 = 0
11. G ,
< 20000
12. G 2
< 50000
13. - 4 A, + 6 B, > 0
14. - 6 A2 + 2 B2 > 0
P, A, A0, A,, A,, S,, S2, B, B0, B,, B2, G,, G2 > 0
I
9 4
* • • Un fabricante de artículos de consumo está trabajando con su departamento de publicidad en
la distribución del presupuesto de la campaña publicitaria de la nueva temporada; dicho presupuesto
asciende a 500000000 de unidades monetarias y se pretende realizar una campaña de gran impacto
que alcance al mayor número posible de consumidores.
129

7. Los medios de comunicación que admiten publicidad pueden clasificarse del siguiente modo:
televisión, radio, prensa diaria, revistas semanales y vallas publicitarias. Cada una de ellas presenta una
rentabilidad publicitaria que viene medida por el cociente entre el número de consumidores a los que
potencialmente llega dicho anuncio y el coste de dicho anuncio en el medio de que se trate. Estas
rentabilidades se obtienen a partir del estudio general de medios de comunicación que periódicamente
actualiza la difusión de cada emisora, publicación periódica, etc.,junto con las tarifas de publicidad que
proporcionan dichos medios. En la siguiente tabla, que el agente de publicidad pone a disposición de su
cliente, se muestran dichos cocientes para la próxima temporada, tanto globalmente, como por segmentos
de consumidores, según una clasificación de interés para el anunciante.
Total Jóvenes Mujeres
Educación
superior
Televisión 10 15 11 9
Radio 9 12 14 9
Prensa diaria 6 3 2 8
Revistas semanales 4 1 5 3
Vallas publicitarias 1 0 3 1
Por las características de los productos que se anuncian se piensa que el número adecuado de
personas a los que puede llegar la campaña en cada segmento sería el siguiente: jóvenes superior a
2000000, mujeres superior a 3500000, educación superior superior a 2500000.
Para asegurar una difusión conveniente, no debe gastarse en ningún medio más del 50% del
presupuesto, ni menos del 5%; así mismo, la cantidad gastada en medios audiovisuales, televisión y
radio, puede ser como máximo tres veces superior a la gastada en los otros tres medios.
Plantear un modelo de programación lineal para el problema del anunciante.
VARIABLES DE DECISIÓN:
Xf: Cantidad de unidades monetarias gastadas en publicidad en televisión
X^: Unidades monetarias gastadas en publicidad en radio
Xp: Cantidad de unidades monetarias gastadas en publicidad en prensa diaria
X^: Unidades monetarias gastadas en publicidad en revistas semanales
Xv; Cantidad de unidades monetarias gastadas en publicidad en vallas publicitarias
Z: Función de utilidad
Modelo (primal):
MAX Z = 10 XT+ 9 XR + 6 Xp + 4 Xs + Xy
Sujeta a:
130

8. 1. XT + XR + Xp + x s + Xy < 500000000
2. 15XT+12XR + 3Xp + 4XS > 2000000
3. 11XT+14XR + 2 X p + 5XS + 3XV > 3500000
4. 9XT + 9 XR + 8 Xp + 3 Xs + Xy > 2500000
5. XT + XR - 3Xp - 3XS-3XV < 0
6. X,. > 25000000
7. Xj. < 250000000
8. XR > 25000000
9. XR < 250000000
10. Xp > 20000000
11. Xp < 2500000000
12. Xs > 250000000
13. Xs < 2500000000
14. Xv > 250000000
15. Xv < 2500000000
XT, XR, Xp, Xs, Xy > o
95. Una empresa que fabrica colchones, para la elaboración de su producto estrella precisa de
una serie de tareas ligadas por relaciones de precedencia; además, cada tarea requiere de un tiempo
de ejecución indicado a continuación:
Tarea Peso Duración Tareas precedentes
1 0 10 Ninguna
2 2 23 1
3 5 12 1
4 7 10 2
5 10 3 3,4
6 12 11 2
7 17 5 2
8 21 4 7
9 26 10 5,6
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal, sabiendo que se requiere
disminuir el tiempo total.
131

9. VARIABLES REALES:
X.: Tiempo de comienzo asociado a la tarea i, i = 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9
W: Función de costo
Modelo (primal):
1
MIN W = — (0 X, + 2 X2 + 5 X3 + 7 X4 + 10 X5 + 12 X6 + 17 X7 + 21 Xg + 26 X9)
Sujeta a:
1. x, = 0
2. - X,
+
X2 > 10
3. - X, +
X3 > 10
4. - x2
+
X4 > 23
5. - X. + x5 > 12
6. - X, +x. > 104 5
7. - x2 H-x6 > 23
8. - x2 + X7 > 23
9. - x 7 + x s > 5
10. - x 5
+
X9 > 3
11. X6
+
X9 > 11
x., x,, x , x4, X5, X , X X , X > 0
• Una empresa necesita tener cada día de la semana al menos el siguiente número de empleados:
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Empleados 16 15 17 19 14 12 18
Si se sabe que atendiendo a convenios laborales cada empleado hará su semana laboral trabajando
cinco días consecutivos, comenzando cuando la empresa lo considere y que cada contrato le supone un
costo de 300000 unidades monetarias por semana. ¿Cuántos empleados deberá contratar y qué días
deberá trabajar cada uno de ellos con el objetivo de minimizar los costos de contratación?
132

10. VARIABLES DE DECISIÓN:
X,: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el lunes
X0: Número de empleados que comienzan a laborar el martes
X3: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el miércoles
X4: Número de empleados que comienzan a laborar el jueves
X5: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el viernes
X6: Número de empleados que comienzan a laborar el sábado
X?: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el domingo
W: Función de costo.
Modelo (primal):
MIN W = 300000 (X, + X, + X, + X, + X, + X,+ X,)V
I 2 3 4 5 6 7 '
Sujeta a:
1 . X, + x 4 + x 5 + x6 +x7 > 16
2. X, + X
2
+ x5 + x 6 + x 7 > 15
3. X, + X
2 + X
3 + X
6
+ X
7
> 17
4. X, + X
2 + x3 + x4 +x7 > 19
5. X, + X
2 + x3 + x 4 + x 5 > 14
6. X
2 + x3 + x 4 + x s + x 6 > 12
7. x3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 > 18
X
P X
2 > X
3 > X
4 ' X
5 > X
6 ' X
7
> 0
• Cinco corredores de fondo de un mismo equipo tienen que repartirse la única bicicleta del
equipo para lograr llegar a la meta en el menor tiempo posible; en la siguiente tabla se muestra las
velocidades, en kilómetros por hora, caminando y en bicicleta de cada corredor:
Deportista
n°l
(Km/h)
n°2
(Km/h)
n°3
(Km/h)
n°4
(Km/h)
n°5
(Km/h)
Caminando 4 2 3 2 3
en bicicleta 7 8 7 9 8
Sabiendo que los deportistas salen todos juntos desde el mismo punto de salida y que la meta se
encuentra a 10 kilómetros del mismo, plantear un modelo matemático de programación lineal que
resuelva el problema de optimizar el uso de la bicicleta en cada momento del trayecto, para que el
último deportista llegue al punto de destino lo antes posible.
133

11. VARIABLES REALES:
X,: Cantidad de kilómetros que el deportista n°l hace en bicicleta
Xn: Número de kilómetros que el deportista n°2 recorre en bicicleta
X3: Cantidad de kilómetros que el deportista n°3 hace en bicicleta
X4: Número de kilómetros que el deportista n°4 recorre en bicicleta
X5: Cantidad de kilómetros que el deportista n°5 hace en bicicleta
T: Tiempo mínimo empleado por el grupo en el recorrido, determinado como el tiempo empleado
por el último deportista del grupo que llega a la meta
Modelo (primal):
MIN W = T
Sujeta a:
X, 10-X,
1. + -
7 4
X, 10-X,
2. — + 1
<
X, 10-X,
3. — + 1
<
4
' 9 2
X5 10-X,
5. — + < T
6. X,+ X2 + X3 + X4 + X5 = 10
X , X„ X , X4, x > o
98. El Club Deportivo Once Caldas ha colocado sus acciones en bolsa y un inversionista ha
descubierto la clave para obtener el beneficio que en el terreno de juego el resto de los accionistas no
han conseguido en toda la temporada; el funcionamiento es el siguiente: al inicio de la temporada se
puede invertir en ella una cantidad cualquiera de X unidades monetarias, al empezar la siguiente
temporada se debe invertir adicionalmente X/2 unidades monetarias y luego pasada otra temporada se
obtienen 2 X unidades monetarias. Lo conseguido en estas acciones al final de una temporada puede
ser reinvertido de nuevo en dichas acciones al comienzo de la siguiente, si se desea; si en el momento
134

12. actual el inversionista dispone de 10000000 unidades monetarias. ¿Cuál debe ser su plan de inversión
en tales acciones para disponer de un máximo capital dentro de seis años?
Temporadas Nueva inversión Inversión adicional Beneficios
0 X0
—
i * —
1 X, 2X0
2Xi
2 x2
i *
2 X2
3 X3 2X3
i " '
4 X4 I x . 2 X,
5 — —
6 —
VARIABLES DE DECISIÓN:
X: Cantidad de dinero invertido al inicio de la temporada i - ésima
i = l , 2 , 3,4, 5,6
Z: Función de utilidad
Debido a las condiciones de las acciones, conviene que X5 = 0 y X6 = 0, porque estas inversiones
no producen beneficios dentro de las seis temporadas.
Modelo (primal):
t)
1 1 1 1 1
MAX Z = — X + - X . + ~ X, + — X + - X . + 1000002 o 2 1
2 2
2 3
2 4
Sujeta a:
1
1. X, + - X0 < 100000-X0
135

13. 2. X 2 + | x , < 100000+ ^ X0 -X,
3. x 3 + ^ x2 < 100000+ x 0 + - x , - x 2
1 1 1 1
4. x . + - X, < 100000+ - x + - x , + - x , - x ,
4 2 3
2 0
2 1
2 2 3
1 1 1 1 15
- 2 X
4 - 100000+ j X0 + - X,+ - X2+ - X3 -X4
X,, X2, X3, X4 > 0
Resumiendo:
MAX Z = 2X0 + 2X, + 2X2 + 2X3 + 2X4 (Función objetivo equivalente a la anterior)
Sujeta a:
3
1. - x0 +X, < 100000
2. - ~ x 0 + | X, + x 2 < 100000
3. - x 0 - ~ X , + | x 2 + x 3 < 100000
1 1 1 34
- - T x
n - T X, - - X, + - X, + X4 < 1000002 o 2 ' 2 2
2 3 4
1 1 1 1 35
- - T Xn - -x. - - X, - - X, + - X. < 1000002 o
2 1
2 2
2 3
2 4
X,, X2, X3, X4
• Un industrial desea determinar el programa óptimo para tres mezclas distintas que hace con
diferentes proporciones de pistachos, avellanas y castañas. Las especificaciones de cada una de ellas
son: la mezcla 1 debe contener 50% de pistachos como mínimo y 25% de castañas cuando más; la libra
de esta mezcla se vende a 500 unidades monetarias. El segundo tipo debe contener el 25% de pistachos,
por lo menos y un 50% de castañas, cuando más y se vende a 350 unidades monetarias la libra. El
tercer tipo no tiene especificaciones y se vende a 250 unidades monetarias la libra.
Sin embargo, están restringidas las cantidades de materias primas que puede conseguir el industrial;
las máximas por período son: 100 libras de pistacho, 60 libras de avellanas y 100 libras de castañas.
Cada libra de pistachos le cuesta 650 unidades monetarias, la de avellanas 350 unidades monetarias y
136

14. y la de castañas 250 unidades monetarias. Se trata de determinar cuántas libras se deben preparar de
cada mezcla, de manera que se obtengan las máximas utilidades.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
DEFINICIÓN DE VARIABLES:
X..: Cantidad de libras de mezcla tipo i (i = 1, 2, 3) a asociar con las materias primas j (j = P:
pistachos, A: avellanas y C: castañas)
Z : Función de utilidad
Modelo (primal):
MAX Z = 500 (X|p + X1A + X1C) + 350 (X2p + X2A + X2C) + 250 (X3p + X3A + X3C) -
- 650 (X|p + X2p + X3p) - 350 (X,A + X2A + X3A) - 250 (X,c + X2C + X3C)
Sujeta a:
1
1. x1P - (X1P + X]A + X1C)
2
- X,c ^ ( X
, p + X
,A + X
,C)
3. X2p 2 (X2p + X2A + X2C)
> •1 .ip j&m* o'
4
- X
2C 2 ( X
- + +
>S m í i
• *
> BIBLIOTECA
5. Xlp + X; p +X3 p < 100
6- X1A + X2A + X3A < 60
7. X,„ + X,„ + X,„ < 100
Resumiendo:
MAX Z = - 150 Xlp + 150 X1A + 250 X,c - 300 X2p + 100 X2C - 400 X3p - 100 X
Sujeta a:
137

15. I l i
2
x
, p - 2
x
, a " 2 x
' c
-
I l i2
- 4 X
I P • 4 X
I A " 4
X
i c *
i l i
3
- 4 x
2 P • 4 x
2 A " 4 x
2 C
4
" ^X
2P +
^X
2A " fX
2C > 0
5. Xlp + x2p + X3P < 100
6
- x
, A + x
2 A + x
3 A * 6 0
7. X,c + X2C + X3C < 100
xi p , xIA, xi c , x2P, x2A, x2C, X3P, x3A, X3C < 0
1 0 0 . Una empresa observa que las demandas de sus productos varían cada dos meses en el
año según se ilustra en la siguiente tabla:
Período
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Demanda 100 230 100 235 100 200
En cuanto a sus productos iniciales, dispone de dos suministradores con diferentes precios: el
suministrador Aproduce en cada período 70 unidades y vende cada unidad a 300000 unidades monetarias,
mientras que el suministrador B produce en cada período 100 unidades y las vende a 330000 unidades
monetarias por unidad. Obviamente le conviene comprar en cada período tanto como sea posible al
más barato y lo menos al más caro, pero la exigencia de satisfacer las demandas obliga a la empresa el
tener que disponer siempre del número de productos demandados, teniendo presente que el costo de
conservar en su almacén un producto que llega en un período y sale en el siguiente es de 15000
unidades monetarias por unidad; esta última situación puede aparecer, ya que algunos períodos la
demanda supera la oferta de los suministradores. Plantear un modelo matemático para el problema de
planificar la compra a los suministradores y el almacenamiento, de manera que se minimicen los costos
totales de un año específico (es decir, no hay nada almacenado antes de enero, ni hay nada que guardar
después de diciembre).
138

16. VARIABLES DE DECISIÓN:
X: Número de unidades procedentes del suministrador A al inicio del período i - ésimo
i e {1,2,3,4,5,6}
Y. : Cantidad de unidades procedentes del suministrador B al inicio del período i - ésimo
i e {1,2,3,4,5,6}
U. : Número de unidades almacenadas durante el período i - ésimo
i e {1,2,3,4,5,6}
W : Función de costos
Se observa que U, = 0 y que si U7 representa las unidades que deben estar almacenadas después
del período sexto, entonces U7 = 0.
Modelo (primal):
MIN W = 300000 (X, + X2 + X3 + X4 + X5 + X6) + 330000 (Y, + Y2 + Y3 + Y4 + Ys + Y6)
+ 15000 (U2 + U3 + U4 + U5 + U6)
Sujeta a:
1. X . + Y . - U , = . 100
2. x2 + Y2 + U, -U3
' = 230
3. X
3 + Y
3 + U
2 -U4
= 100
4. x4 + Y4 + U3 -U5
= 235
5. X
5 + Y
S +
U4 -U6
= 100
6. X
6
+
Y6 + U5 200
0 < X1
< 70
0 < Y1
< 100
u > 0
139

17. B I B L I O G R A F Í A
ACKOFF Russell L., SASIENI Maurice W. Fundamentos de investigación de operaciones. Limusa.
México: 1965.
ANDERSON David R., et al. Métodos cuantitativos para los negocios. Thomson. México: 2005.
ARBONES Malisani Eduardo A. Optimización industrial (I): Distribución de los recursos.
Marcombo. Barcelona: 1989.
ARREOLA R. J. S., ARREOLA R. A. Programación lineal. Thomson. México: 2003.
BARBOLLA Rosa, et al. Optimización. Prentice Hall. Madrid: 2001.
BARSOV A.S. ¿Qué es programación lineal? Limusa Wiley. México: 1972.
BAZARAA S., et al. Programación lineal y flujo en redes. Limusa. México: 1998.
BAZARAA S. Mokhtar, et al. Nonlinear programming. John Wiley & Sons, Inc. Singapore 1993.
BERGREN Stephen. Algunas técnicas de la investigación de operaciones. Mimeografiado
Universidad Tecnológica de Pereira: 1976.
BIERMAN Harold Jr., et al. Análisis cuantitativo para los negocios. Me Graw-Hill Irwin. Bogotá: 1999.
BOIZÁN Jústiz Meinardo Alberto. Optimización. Editorial Pueblo y Educación. La Habana: 1988.
BRONSON Richard. Investigación de operaciones. Me Graw-Hill (Colección Schaum). México: 1982.
BUFFA Elwood S. Dirección de operaciones. Limusa. México: 1973.
BUFFA S. Elwood, DYER S. James. Ciencias de la administración e investigación de operaciones.
Limusa. México: 1982.
BUFFA S. Elwood, SARIN Rakesh K. Administración de la producción y de las operaciones.
Limusa. México: 1992.
CAMACHO Quiroz Arturo. Principios de investigación de operaciones. Ecafsa. México: 1997.
CHASE R. B., AQUILANO N. J. Dirección y administración de la producción y de las
operaciones. Me Graw-Hill Irwin. México: 1997.
CHEDIAK F. A. Investigación de operaciones (Volumen I). Corporación Universitaria de Ibagué.
Ibagué: 2001.
CHURCHMAN West C., et al. Introducción a la investigación de operaciones. Aguilar. Madrid: 1971.
DACCARETT Enrique. Investigación de operaciones. Universidad Industrial de Santander.
Bucaramanga: 1994.
DANTZIG George Bernard. Linear programming and extensions. Princeton University Press. New
Yersey: 1963.
141

18. DAVIS Roscoe K., MCKEOWN Patrick G. Modelos cuantitativos para administración. Grupo
Editorial Iberoamérica. México: 1986.
EDGAR T.F.,HIMMELBLAU D. M. Optimization of chemicalprocesses. Me Graw-Hill. Singapore: 1988.
DE LA FUENTE O'Connor José Luis. Tecnologías computacionales para sistemas de ecuaciones,
optimización lineal entera. Editorial Reverté S.A. Barcelona: 1993.
DOMINGUEZ Machuca José Antonio, et al. Dirección de operaciones. Aspectos estratégicos y
metodológicos en la producción y los servicios. Me Graw-Hill. Madrid: 1995
DOMINGUEZ Machuca José Antonio, et al. Dirección de operaciones. Aspectos tácticos y
operativos en la producción y los servicios. Me Graw-Hill. Madrid: 1995.
DORAN Jody L., HERNÁNDEZ Eugenio. Las matemáticas en la vida cotidiana. Addison-Wesley/
Universidad Autónoma de Madrid. Madrid: 1999.
DORFMAN Robert, et al. Programación lineal y análisis económico. Aguilar. Madrid: 1972.
EPPEN G. D., et al. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. Pearson. México 1999.
ESPINOSA Berriel Héctor M. Programación lineal. Editorial Pax. México: 1975.
FOGARTY Donald W., et al. Administración de la producción e inventarios. CECSA. México: 1993.
GALLAGHER Charles A., WATSON Hugh J. Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
en administración. Me Graw-Hill. México: 1982.
GARCIA Cabañes Jaime, et al. Técnicas de investigación operativa. Editorial Paraninfo S.A. 1989.
GASS Saúl I. Linear programming. Me Graw-Hill. Singapore: 1994.
GEREZ Víctor, CZITROM Verónica. Introducción al análisis de sistemas e investigación de
operaciones. Representaciones y Servicios de Ingeniería S. A. México: 1978.
GOBERNA Torrent Miguel Angel, et al. Optimización lineal. Teoría, métodos y modelos. Me Graw
Hill. Madrid: 2004.
GONZALEZ Ariza Angel León. Manual práctico de investigación de operaciones I. Ediciones
Uninorte. Barranquilla: 1998.
GROSSMAN Stanley I. Aplicaciones de algebra lineal. Me Graw - Hill. México: 1992.
GUERRERO Casas Flor María. Curso de optimización. Ariel Economía. Barcelona: 1994.
HANSEN Gregory A. Automatización. Prentice Hall. México: 1997.
HEIN Leonard W. El análisis cuantitativo en las decisiones administrativas. Diana. México: 1967.
HIERCHE HENRI. Técnicas modernas de gestión de empresas. Aguilar. Madrid: 1970.
HILLIER Frederick S., LIEBERMAN Gerald J. Introducción a la Investigación de Operaciones.
Me Graw-Hill. México: 2001.
HILLIER Frederick S., et al. Métodos cuantitativos para administración. Me Graw-Hill. México: 2001.
HOPEMAN Richard J. Administración de producción y operaciones. Cecsa. México: 1993.
HOROWITZ Ira. Introducción al análisis cuantitativo de los negocios. Ediciones del Castillo.
Madrid: 1968.
142

19. INFANTE Villarreal Arturo. Notas sobre investigación operacional. Universidad de los Andes
(Mimeografiado). Santafé de Bogotá D.C.: 1976.
JAUFFRED M. Francisco J., et al. Métodos de optimización. Representaciones y Servicios de
Ingeniería S. A. México: 1980.
JIMÉNEZ Lozano Guillermo. Investigación operativa I. Universidad Nacional de Colombia Sede
Manizales Departamento de Administración y Sistemas. Manizales: 2001.
JIMENEZ Lozano Guillermo. Investigación operativa II. Universidad Nacional de Colombia Sede
Manizales Departamento de Administración y Sistemas. Manizales: 2002.
KALENATIC Dusko. Técnicas de la investigación operacional. Universidad Piloto de Colombia.
Santafé de Bogotá D.C.: 1992.
KAUFMANN A. Métodos y modelos de la investigación de operaciones (Tomo I). Cecsa. México: 1965.
KAUFMANN A. Métodos y modelos de la investigación de operaciones (Tomo H). Cecsa. México: 1966.
KAUFMANN A., Henry-Labordére A. Métodos y modelos de la investigación de operaciones
(Tomo III). Cecsa. España: 1976.
LAWRENCE A. John, PASTERNACK A. Bany Ciencias administrativas aplicadas. CECSA. México: 2004.
LEVIN Richard I., KIRKPATRICK Charles A. Enfoques cuantitativos a la administración. Cecsa.
México: 1983.
LUENBERGER David E. Programación lineal y no lineal. Addison - Wesley Iberoamericana.
E.U.A.: 1989.
MAROTO Alvarez Concepción. Formulación de modelos de programación lineal, solución y
análisis de sensibilidad. Universidad Politécnica de Valencia. Valencia: 1997.
MATHUR Kamlesh, Solow Daniel. Investigación de operaciones Prentice-Hall Hispanoamericana
S.A.México: 1996.
MICHA Elias. Matemáticas discretas: Limusa. México: 1998.
MILLER M. David, SCHMIDT J. W. Ingeniería industrial e investigación de operaciones. Noriega.
México: 1992.
MITAL K.V. Métodos de optimización. Limusa. México: 1984.
MONKS Joseph G. Administración de operaciones. Me Graw-Hill. México: 1987.
MONTANO Agustín. Iniciación al método del camino crítico. Trillas. México: 1972.
MORA Escobar Héctor Manuel. Programación lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá
D.C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá: 2004.
MORA Escobar Héctor Manuel. Optimización no lineal y dinámica. Universidad Nacional de Colombia
Sede Bogotá D.C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá: 2001.
MORA José Luis. Investigación de operaciones e informática. Trillas. México; 1986.
MORENO Osorio Luis G. Teoría de la decisión. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de
Bogotá D.C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá: 1995.
143

20. MOSKOWITZ Herbert, WRIGHT Gordon C. Investigación de operaciones. Prentice Hall Carvajal.
Cali: 1982.
MURO Sáenz Javier. Práctica de ¡a investigación operativa empresarial. Editorial Labor S.
A. Barcelona: 1975.
NAMAKFOROOSH Mohammad. Investigación de operaciones. Limusa. México: 1984.
NARASIMHAN Sim, et al. Planeación de la producción y control de inventarios. Prentice-Hall
Hispanoamericana, S.A. México: 1996.
NASH Stephen G, Sofer Ariela. Linear and nonlinearprogramming. Me Graw Hill. Singapore: 1996.
NOBLE Ben, Daniel James W. Algebra lineal aplicada. Prentice Hall. México: 2000.
PENAFIEL Millán Luis. Programación lineal. Trillas. México: 1979.
PEREZ S. Eduardo, CEBALLOS C. Fabio. Álgebra y programación lineal. Universidad Pontificia
Bolivariana. Medellín: 2002.
PIKE Ralph W., Guerra Lautaro G. Optimización en ingeniería. Alfaomega. México: 1991.
PRAWDA Witenberg Juan. Métodos y modelos de investigación de operaciones (Tomo 1). Limusa.
México 1982.
PRAWDA Witenberg Juan. Métodos y modelos de investigación de operaciones (Tomo 2). Limusa.
México: 1982.
QUESADA Ibargüen Víctor Manuel. Programación lineal y entera. Gráficas El Cheque. Cartagena: 1997.
RENDER Barry, STAIR Ralph M. Quantitative analysis for management. Render Allyn and Bacon.
Massachusetts: 1988.
RENDON Castaño Hernán Darío, DÍAZ Serna Francisco Javier. Introducción a la investigación
de operaciones. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Medellín: 2002.
RINCON Abril Luis Alberto. Investigación de operaciones para ingenierías y administración de
empresas. Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira. Palmira: 2001.
RÍOS Insua Sixto, et al. Programación lineal y aplicaciones. Rama. Alfaomega. Santafé de Bogotá:
D.C.1998.
RÍOS Insua Sixto. Investigación operativa. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A. Madrid: 1996.
RÍOS García Sixto. Modelización. Alianza Universidad. Madrid 1995.
SAATY L. Thomas. Elementos de la teoría de colas. Aguilar. Madrid: 1967.
SABOGAL Sánchez Carlos Arturo, ARDILA Romero Esperanza. Algebra y programación lineal.
Universidad Externado de Colombia. Bogotá: 2003.
SASIENI M., et al. Investigación de operaciones. Limusa. México: 1982.
SCHNEIDER Kenneth C., RANDALL Byers C. Métodos cuantitativos en administración. Limusa.
México: 1982.
SERRA de la Figuera Daniel. Métodos cuantitativos para la toma de decisiones. Gestión 2000.
Barcelona: 2004.
144

21. SHAMBLIN James E.,STEVENS G. T. Investigación de operaciones. Me Graw-Hill. México: 1975.
SINGLETON Robert R., TYNDALL William F. Introducción a la teoría de juegos y a la
programación lineal. Editorial Labor. Barcelona: 1977.
SOLER Fajardo Francisco et al. Algebra lineal y programación lineal. Ecoe Ediciones. Bogotá: 2003.
TAHA Hamdy A. Investigación de operaciones. Pearson Prentice Hall. México: 2004.
THIERAUF Robert J., GROSSE Richard A. Toma de decisiones por medio de investigación de
operaciones. Limusa. México: 1982.
TURNER J. C. Matemática moderna aplicada: probabilidades, estadística e investigación
operativa. Alianza Universidad. Madrid: 1995.
ULLMAN John E. Métodos cuantitativos en administración. Me Graw-Hill (Colección Schaum).
México: 1979.
URIBE Alvaro. Programación lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá
D.C. :1976.
VAN DEN BERGHE Edgar. Simulación de decisiones gerenciales. Universidad Nacional de Colombia
Sede Santafé de Bogotá D.C. 1997.
VARELA Jaime Enrique. Investigación de operaciones. Fondo Educativo Interamericano. Santafé
de Bogotá D.C.: 1982.
VARGAS Morales Germán. Modelos lineales en investigación de operaciones. Universidad Distrital
Francisco José de Caldas. Santafé de Bogotá D.C.: 1990.
VARGAS Morales Germán. Métodos cuantitativos en producción. Universidad Distrital Francisco
José de Caldas. Santafé de Bogotá D.C.: 1996.
VENTSEL S. Elena. Investigación de operaciones. Editorial Mir. Moscú: 1992.
WAINRIGHT Martín E. Jr. Programación lineal. Editorial Ateneo. Buenos Aires: 1978.
WINSTON Wayne L. Investigación de operaciones. Thomson. México: 2004.
WHITAKER David. Investigación operativa con el computador. Editorial Paraninfo S.A.
Madrid: 1988.
145