Factorización       Consuelo Díaz       Raquel Valdés             &reeditado por Moisés Aranda
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  1. 1. Factorización Consuelo Díaz Raquel Valdés &reeditado por Moisés Aranda
  2. 2. Factor común y Estrategia por agrupación FactorizaciónFactorización de diferencia de cuadrados Factorización y cubos de trinomios
  3. 3. FactorExpresión algebraica que multiplica a una segunda expresión ( a − b )( x − z ) ( a − b) ( x − z) Son factores y a − b( x − z ) b y ( x − z) Factorización Operación necesaria para re-escribir una expresión algebraica como producto de factores simples 2 2 ma − mb = m(a + b)(a − b)
  4. 4. Caso I. Factor Común Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común 2 2ma − mb • Identificar el máximo término común 23x y − x 2 2 2 4 • Dividir la expresión24a xy − 36 x y algebraica original entre el máximoa ( x + 1) − b( x + 1) término común
  5. 5. Caso I. Factor ComúnResolviendo los ejemplos:Ejemplo Máx. Segundo Factorización factor factor común ma − mb2 2 m 2 a −b 2 m( a 2 − b 2 ) 2 3 xy − 1 x(3xy − 1) 3x y − x x 2 224a xy − 36 x y 2 4 12xy 2 2 2a − 3 xy 2 12 xy 2 (2a 2 − 3 xy 2 )a ( x + 1) − b( x + 1) x +1 a −b ( x + 1)(a − b)
  6. 6. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples • Agrupar términos con ax + a − bx − b factores comunes, usando la propiedad asociativa • Factorizar (Caso I) en cada 2 grupo, los factores comunes3m − 6mn + 4m − 8n • Identificar el máximo término común2am + n − 1 − 2an + 2a − m • Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común
  7. 7. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de TérminosResolviendo los ejemplos:ax + a − bx − b (ax + a ) − (bx + b) (a − b)( x + 1) a ( x + 1) − b( x + 1) procedimiento
  8. 8. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 23m − 6mn + 4m − 8n (3m 2 − 6mn) + (4m − 8n) (3m + 4)(m − 2n) 3m(m − 2n) + 4(m − 2n) procedimiento
  9. 9. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos:2am + n − 1 − 2an + 2a − m (2am − 2an + 2a) − (m − n + 1) (2a − 1)(m − n + 1) 2a (m − n + 1) − (m − n + 1) procedimiento
  10. 10. Caso II. Factorización de Trinomios Trinomio Cuadrado Perfecto • Determinar si es tcp 2 2 a + 2ab + b • Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer términos 2 x − 2x +1 • Observar el signo del segundo término 2 2 • Escribir el binomio al4a x − 12ax + 9 cuadrado
  11. 11. Caso II. Factorización de TrinomiosResolviendo ejemplos: a2 = a ¿ es tcp ? 2 2a + 2ab + b Sí b2 = b + 2ab 2 ( a + b) procedimiento
  12. 12. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: 4a 2 x 2 = 2ax ¿ es tcp ? 2 2 9 =34a x − 12ax + 9 Sí − 12ax 2 (2ax − 3) procedimiento
  13. 13. Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x + cx + d •Obtener la raíz cuadrada 2 x − 12 x + 20 del primer término • Determinar dos números que sumados sean igual a c 2 29a x − 39ax + 30 y que multiplicados sean igual a d • Escribir el producto de binomios
  14. 14. Caso IIb. Factorización de TrinomiosResolviendo ejemplos: x2 = x 2x − 12 x + 20 − 10 − 2 = −12 (−10)(−2) = 20 ( x − 10)( x − 2) procedimiento
  15. 15. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: 9a 2 x 2 = 3ax 2 2 − 10 − 3 = −139a x − 39ax + 30 (−10)(−3) = 30 (3ax − 3)(3ax − 10) 3(ax − 1)(3ax − 10) procedimiento
  16. 16. Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x + cx + d 2 Método general x − 12 x + 20 • Completar el tcp 2 2 • Factorizar la diferencia9a x − 39ax + 30 de cuadrados resultantes
  17. 17. ( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 2x − 12 x + 20 x2 = x 2ax = − 12 x 12 x a=− = −6 2x 2 (− 6) = 36 ( x − 2)( x − 10) 2 x − 12 x + 36 − 36 + 20( x − 6 + 4)( x − 6 − 4) 2 ( x − 6) − 16
  18. 18. Trinomio Cuadrado PerfectoResultado del siguiente producto notable: 2 2 2 ( a + b) = a + 2ab + b o, 2 ( a − b) 2 = a − 2ab + b 2
  19. 19. Trinomio de la forma 2 x + cx + d Resultado del siguiente producto notable: 2( x + a )( x + b) = x + (a + b) x + ab Donde: c = a+b y d = ab
  20. 20. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados 2 2 a −b 2 a −1 • Identificar la diferencia de cuadrados • Obtener la raíz cuadrada 6 9 − 16 x del primer y segundo términos • Escribir el producto de 2 2x + 2x +1− y binomios conjugados
  21. 21. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos: 9 =3 6 9 − 16 x 16 x 6 = 4 x 3 3 3(3 + 4 x )(3 − 4 x ) procedimiento
  22. 22. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos: ( x + 1) 2 = x + 1 2 2x + 2x +1− y 2 y =y( x + 1 + y )( x + 1 − y ) procedimiento
  23. 23. Caso IV. Factorización de laSuma o Diferencia de Cubos 3 3 a −b • Identificar si es suma o 3 diferencia de cubos a −1 • Obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos 6 27 + 64 x • Escribir el producto del binomios por trinomio correspondiente
  24. 24. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de CubosResolviendo ejemplos: diferencia 3 a −1 3 3 a =a 3 1 =1 2(a − 1)(a + a + 1) procedimiento
  25. 25. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos: suma 6 3 − 27 = −3 − 27 + 64 x 3 64 x 6 = 4 x 2 2 2 4(−3 + 4 x )(9 + 12 x + 16 x ) procedimiento
  26. 26. Diferencia de CuadradosResultado del siguiente producto notable:(a + b)(a − b) = a − b 2 2
  27. 27. Suma y Diferencia de CubosResultado del siguiente producto notable: 2 2 3 3(a + b)(a − ab + b ) = a + bo bien, 2 2 3 3(a − b)(a + ab + b ) = a −b
  28. 28. Estrategia General1. Factorizar todos los factores comunes.2. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay: – Cuatro términos: factorizar por agrupación. – Tres términos: probar si es tcp y factorizar así; si no es tcp, emplear el caso general. – Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. – Dos términos y cubos: buscar la suma o diferenica de cubos y factorizar.3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.

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