2. Factor común y
Estrategia por agrupación
Factorización
Factorización de
diferencia de
cuadrados Factorización
y cubos de trinomios
3.
4. Factor
Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión
( a − b )( x − z ) ( a − b) ( x − z)
Son factores
y
a − b( x − z ) b y ( x − z)
Factorización
Operación necesaria para re-escribir una expresión
algebraica como producto de factores simples
2 2
ma − mb = m(a + b)(a − b)
5. Caso I. Factor Común
Aparece en todos los términos de la expresión
algebraica, un término común
2 2
ma − mb • Identificar el máximo
término común
2
3x y − x
2 2 2 4 • Dividir la expresión
24a xy − 36 x y algebraica original
entre el máximo
a ( x + 1) − b( x + 1) término común
6. Caso I. Factor Común
Resolviendo los ejemplos:
Ejemplo Máx. Segundo Factorización
factor factor
común
ma − mb2 2 m 2
a −b 2 m( a 2 − b 2 )
2 3 xy − 1 x(3xy − 1)
3x y − x x
2 2
24a xy − 36 x y 2 4 12xy 2 2
2a − 3 xy 2 12 xy 2 (2a 2 − 3 xy 2 )
a ( x + 1) − b( x + 1) x +1 a −b ( x + 1)(a − b)
7. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Aparece un término común compuesto después
de agrupar términos con factores comunes simples
• Agrupar términos con
ax + a − bx − b factores comunes, usando
la propiedad asociativa
• Factorizar (Caso I) en cada
2 grupo, los factores comunes
3m − 6mn + 4m − 8n
• Identificar el máximo
término común
2am + n − 1 − 2an + 2a − m • Dividir la expresión
algebraica entre el máximo
término común
8. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
ax + a − bx − b (ax + a ) − (bx + b)
(a − b)( x + 1) a ( x + 1) − b( x + 1)
procedimiento
9. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
2
3m − 6mn + 4m − 8n (3m 2 − 6mn) + (4m − 8n)
(3m + 4)(m − 2n) 3m(m − 2n) + 4(m − 2n)
procedimiento
10. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
2am + n − 1 − 2an + 2a − m (2am − 2an + 2a) − (m − n + 1)
(2a − 1)(m − n + 1) 2a (m − n + 1) − (m − n + 1)
procedimiento
11. Caso II. Factorización de
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
• Determinar si es tcp
2 2
a + 2ab + b • Obtener la raíz cuadrada
del primer y tercer
términos
2
x − 2x +1 • Observar el signo del
segundo término
2 2 • Escribir el binomio al
4a x − 12ax + 9 cuadrado
12. Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
a2 = a
¿ es tcp ?
2 2
a + 2ab + b Sí
b2 = b
+ 2ab
2
( a + b)
procedimiento
13. Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
4a 2 x 2 = 2ax
¿ es tcp ?
2 2 9 =3
4a x − 12ax + 9 Sí
− 12ax
2
(2ax − 3)
procedimiento
14. Caso IIb. Factorización de
Trinomios
2
Trinomio de la forma x + cx + d
•Obtener la raíz cuadrada
2
x − 12 x + 20 del primer término
• Determinar dos números
que sumados sean igual a c
2 2
9a x − 39ax + 30 y que multiplicados sean
igual a d
• Escribir el producto de
binomios
15. Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
x2 = x
2
x − 12 x + 20 − 10 − 2 = −12
(−10)(−2) = 20
( x − 10)( x − 2)
procedimiento
16. Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
9a 2 x 2 = 3ax
2 2 − 10 − 3 = −13
9a x − 39ax + 30
(−10)(−3) = 30
(3ax − 3)(3ax − 10)
3(ax − 1)(3ax − 10) procedimiento
17. Caso IIb. Factorización de
Trinomios
2
Trinomio de la forma x + cx + d
2 Método general
x − 12 x + 20
• Completar el tcp
2 2 • Factorizar la diferencia
9a x − 39ax + 30 de cuadrados resultantes
18. ( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2
2
x − 12 x + 20 x2 = x
2ax = − 12 x
12 x
a=− = −6
2x
2
(− 6) = 36
( x − 2)( x − 10)
2
x − 12 x + 36 − 36 + 20
( x − 6 + 4)( x − 6 − 4) 2
( x − 6) − 16
20. Trinomio de la forma
2
x + cx + d
Resultado del siguiente producto notable:
2
( x + a )( x + b) = x + (a + b) x + ab
Donde:
c = a+b y d = ab
21. Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
2 2
a −b
2
a −1 • Identificar la diferencia
de cuadrados
• Obtener la raíz cuadrada
6
9 − 16 x del primer y segundo
términos
• Escribir el producto de
2 2
x + 2x +1− y binomios conjugados
22. Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
9 =3
6
9 − 16 x
16 x 6 = 4 x 3
3 3
(3 + 4 x )(3 − 4 x )
procedimiento
23. Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
( x + 1) 2 = x + 1
2 2
x + 2x +1− y 2
y =y
( x + 1 + y )( x + 1 − y )
procedimiento
24. Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
3 3
a −b
• Identificar si es suma o
3 diferencia de cubos
a −1
• Obtener la raíz cúbica
del primer y segundo
términos
6
27 + 64 x • Escribir el producto del
binomios por trinomio
correspondiente
25. Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
Resolviendo ejemplos:
diferencia
3
a −1 3 3
a =a
3 1 =1
2
(a − 1)(a + a + 1)
procedimiento
26. Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
Resolviendo ejemplos:
suma
6 3 − 27 = −3
− 27 + 64 x
3
64 x 6 = 4 x 2
2 2 4
(−3 + 4 x )(9 + 12 x + 16 x )
procedimiento
28. Suma y Diferencia de Cubos
Resultado del siguiente producto notable:
2 2 3 3
(a + b)(a − ab + b ) = a + b
o bien,
2 2 3 3
(a − b)(a + ab + b ) = a −b
29. Estrategia General
1. Factorizar todos los factores comunes.
2. Observar el número de términos entre
paréntesis (o en la expresión original). Si
hay:
– Cuatro términos: factorizar por agrupación.
– Tres términos: probar si es tcp y factorizar
así; si no es tcp, emplear el caso general.
– Dos términos y cuadrados: buscar la
diferencia de cuadrados y factorizarla.
– Dos términos y cubos: buscar la suma o
diferenica de cubos y factorizar.
3. Asegurarse de que la expresión está
factorizada completamente.
Notas del editor
Durante la presentación, que los alumnos respondan en cada uno de los ejemplos cuál es el término común
El primer ejemplo se hace con todo detalle, explicando de dónde sale el segundo factor y haciendo énfasis en la expresión final. Los siguientes ejemplos son ejercicios que los alumnos resuelven.
Igual que el Caso I, sólo identificar a quiénes agrupar
Que el grupo resuelva cada paso siguiendo el procedimiento y regresar a él cuando es necesario
Igual al anterior
Dar tiempo para que se resuelva individualmente y después comprobar los resultados´o que alguien lo explique
Si es necesario ir a la descripción de un tcp. En los ejemplos preguntar si son tcp y por qué
Llevar paso a paso el procedimiento, el grupo responde si es tcp, las raíces cuadradas ... El signo del doble producto, el resultado. Si es necesario regresar al procedimiento.
Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp. Si cumplen la forma descrita.
Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.
Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp.
Completando el tcp. Explicar cada paso del procedimiento. Pedir que el segundo ejemplo lo resuelvan individualmente
Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia de cuadrados. Evaluar si los ejemplos son diferencia de los cuadrados de quién
Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.
Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia o suma de cubos. Evaluar si los ejemplos son diferencia o suma de los cubos de quién
Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores
Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
Tener listos un par de ejemplos para seguir la estrategia general.