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Calle Mercado # 555 FACTORIZACIÓN
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Caso I: Factor Común Ejemplos
Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos • ax+bx = x(a+b)
los términos. Los números pueden factorizarse en este
caso si existe máximo común divisor (MCD) entre • ax3-bx2 = x2(ax-b)
ellos.
• 2b5-b3 = b3(2b2-1)
Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras
comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y • 24ax+18bx = 6x(4a+3b)
dividir cada término entre el factor común (restando 24 – 18 2⇐
los exponentes). 12 – 9 2
6– 9 2 MCD = 2 . 3 = 6
3 – 9 3⇐
1– 3 3
1
Caso I Especial • 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)
Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto • a(m-2)-m+2
entre paréntesis. a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1)
Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y • x(a-b)+a-b
dividir cada término entre el común x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1)
Caso II: Factor común por agrupación • ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by)
Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son = x(a+b) - y(a+b)
seis u ocho términos = (a+b)(x-y)
Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar • ax2-x+ax-1 = (ax2-x)+(ax-1)
cada grupo como el caso I y luego el resultado = x( ax-1) +(ax-1)
factorizar como el caso I especial.
= (ax-1)(x+1)
Caso III: Trinomio cuadrado perfecto • a2+2ab+b2 = (a+b)2
Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. • x2-2xy+y2 = (x-y)2
El primero y el tercero siempre son positivos y tienen
raíz cuadrada. • 4x2-12xy+9y2 = (2x-3y)2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy
Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero,
2
signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar
• x2 x   x
entre paréntesis y elevar al cuadrado. − 5xy 3 + 25 y 6 =  − 5 y 3  prueba : 2 (5 y 3 ) = 5 xy 3
4  2  2
Caso III Especial (a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2
Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. [(a+1)+(2a-3)]2
El primero y el tercero siempre son positivos y tienen
raíz cuadrada. [ a+1 + 2 a-3 ]2
Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, [3a-2]2
signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar
entre corchetes y elevar al cuadrado.
Caso IV: Diferencia de cuadrados • a2 – b2 = (a – b) (a + b)
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que • 4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)
tienen raíz cuadrada, siempre es una resta
x 2 16  x 4  x 4 
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno • − =  −  + 
con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz 25 y 6  5 y 3  5 y 3 
cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo
en los dos paréntesis.
Caso IV Especial • (a+b)2 – c2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]
Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son • 49(x –1)2 – 9(3 – x)2
conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada,
el signo afuera de los parentesis es menos (-) [7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)]
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno
con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz [7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x]
cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los
dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos [10x – 16] [4x + 2]
semejantes.

2. Combinación Caso III y IV Ejemplos
Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos • a2 +2ab + b2 – c2 = (a2 +2ab + b2) – c2
tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, (a + b)2 – c2
cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada.
[(a +b) –c] [(a +b) +c]
Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos [a + b – c] [a + b + c]
formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis
y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por • a2 - x2 – 2xy – y2 = a2 – (x2 + 2xy + y2)
el caso IV Especial
= a2 – (x+y)2
Cuando son seis términos formar dos trinomios = [a – (x+y)][a + (x+y)]
cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el = [a – x - y] [a + x + y]
resultado factorizar por el caso IV Especial
• a2 +2ab + b2- x2 + 2xy – y2
(a2 +2ab + b2) - (x2 - 2xy + y2)
(a + b)2 – (x – y)2
[(a + b) – (x – y)][ (a + b) + (x – y)]
[ a + b – x + y ][ a + b + x – y ]
CasoV: Trinomio cuadrado por • x4 + x2y2 + y4 =(x2 + y2)2 – x2y2
Adición y Sustracción
Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El + x2y2 =[(x2 + y2) – xy] [(x2 + y2) + xy]
primero y tercero siempre son positivos, tienen raíz
cuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro +2x2y2 =[ x2 + y2 – xy] [ x2 + y2 + xy]
(4, 8, 12, etc)
=[ x2 – xy + y2 ] [ x2 + xy + y2 ]
Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo
que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El
resultado factorizar como el caso IV Especial. • 25x4 + 21x2y2 + 9y4 =(5x2 + 3y2)2 – 9x2y2
+ 9x2y2 =[(5x2 + 3y2) – 3xy] [(5x2 + 3y2) + 3xy]
+ 30x2y2 =[ 5x2 + 3y2 – 3xy] [ 5x2 + 3y2 + 3xy]
=[ 5x2 – 3xy + 3y2 ] [ 5x2 + 3xy + 3y2 ]
Caso V Especial
• x4 + 4y4
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos (x2 + 2y2)2 – 4x2y2
positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes [(x2 + 2y2) – 2xy] [ (x2 + 2y2) + 2xy]
son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc)
[ x2 + 2y2 – 2xy] [ x2 + 2y2 + 2xy]
Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos [ x2 – 2xy + 2y2 ] [ x2 + 2xy + 2y2]
términos, asociar entre paréntesis y elevar al
cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y • 64x4 + y8
el resultado factorizar por el caso IV Especial
(8x2 + y4)2 – 16x2y4
[(8x2 + y4) – 4xy2] [(8x2 + y4) + 4xy2]
[ 8x2 + y4 – 4xy2] [ 8x2 + y4 + 4xy2]
[ 8x2 – 4xy2 + y4 ] [ 8x2 + 4xy2+ y4 ]
Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c • x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Cómo Reconocer: Tiene la forma x2 + bx + c • x2 – 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, • x2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2)
colocar la raíz cuadrada del primero en cada
paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del • x2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4)
segundo término y en el segundo paréntesis poner la
multiplicación de los signos de segundo y tercer
Caso VI Especial
término.
Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos
números que sumados den el segundo y multiplicado • x4y6 – 2x2y3 – 15 = (x2y3 - 5)(x2y3 + 3)
den el tercer término.
• x2 + 7ax + 12a2 = (x + 4a)(x + 3a)
Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar
dos números que restados den el segundo y • (5x)2 + 4(5x) – 12 = (5x + 6)(5x -2)
multiplicados den el tercer término. El número mayor
se anota en el primer paréntesis. • - x2 + 3x + 28 = -(x2 –3x –28)
-(x - 7)(x + 4)
(7 – x)(x + 4)

3. Caso VII: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c Ejemplos
2
Cómo Reconocer: Tiene la forma ax + bx + c • 10 x2 – 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1)
5x -2 = -4x
Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en
dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus 2x -1 = -5x .
resultados, si la suma da el segundo término, entonces -9x
poner cada fila entre paréntesis.
6
Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el • 3x2 +5 x + 2
coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el
1 1
 
denominador. Multiplicar el primer término con el tercero  3 x + 3  3 x + 2 
/ /
y proseguir como el caso VI, luego simplificar el    = ( x + 3)(3 x + 2 )
denominador con los coeficientes de un paréntesis, si
sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con 3/
1 18
el otro paréntesis.
• 6x2 –7x – 3
2 3
 3 1

 6 x − 9  6 x + 2 
/ / / /
   = (2 x − 3)(3x + 1)
6/
21
/
Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio • a + 3 a b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
3 2
Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos • X3 – 3 x2y + 3xy2 – y3 = (x - y)3
positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto
término tienen raíz cúbica. • 8 + 12 a2 + 6 a4 + a6 = (2 + a2)3
3(2)2(a2) = 12a 2
ú
Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner prueba
signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si 3(2)(a 2)2 = 6a4
son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término,
asociar entre paréntesis y elevar al cubo. • 125 a3 –150 a2b + 60 ab2 – 8b3 = (5a – 2b)3
3(5a) 2(2b) = 150a 2b
ú
prueba
3(5a)(2b) 2 = 60ab 2
Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos • x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o • a3 - b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
restados que tienen raíz cúbica
• 8x3 – 125 = (2x – 5)[(2x)2 + (2x)(5) + (5)2]
Cómo Factorizar:
Cuando es una suma (x3 + y3): Abrir dos pares de = (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)
paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del
primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo
paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero Caso IX Especial
por el segundo más (+) el segundo al cuadrado.
Cuando es una resta (x3 - y3): Abrir dos pares de • x3 + (x - 1)3 = [x + (x - 1)][x2 – x(x-1) + (x-1)2]
paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del
primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo = (x + x - 1)(x2 –x2 +x + x2 –2x + 1)
paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por
el segundo más (+) el segundo al cuadrado. =(2x - 1)(x2 – x +1)
• (5x - 1)3 – (2x + 3)3
=[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1)2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3)2]
=[5x -1 - 2x -3][25x2 –10x+1+10x2+15x –2x –3+4x2+12x+9]
=(3x - 4)(39x2 + 15x + 7)
Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales • x5 + y5 = (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o • a7 – b7=(a - b)(a6+a5b+a4b2+a3b3+a2b4+ab5+b6)
restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar.
• x5 – 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en el
primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el • 1 + x7 =(1 + x)(1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6)
segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer
término vaya decreciendo y el segundo término vaya • x5 – 32 =(x - 2)(x4 + x3.2 + x2.22 + x.23 + 24)
creciendo.
=(x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2+ 8x+ 16)
Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y
si es una resta, el polinomio es de signos positivos.