1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Álgebra
Factorización
Preparado por
Dra. Casilda Canino, Enero 1994
Prof. Norma Rivera, Enero 1994
Revisado por
Prof. René Rivera, Diciembre 2011

2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de
Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo
no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela
de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.
Escuela de Educación Continua de UMET, enero 2012

3. Álgebra
IX Factorización
A. Factor común
Ejemplos 1) 5x + 15 = 5(x + 3)
Cuando el factor común es una variable, se obtienen el exponente menor de
entre las variables que se repiten.
Ejemplo:
2) x3 + 3x2 y – x2 = x2 ( x + 3y –1) El exponente
menor de x es el dos(2)
El factor común puede ser un número, una variable o una suma de términos.
Ejemplo:
3) (x + y) z – (x + y)w = (x + y) (z – w) El factor común
es (x + y ).
B. Factorización por grupo
Ejemplos 1) ax - ay + bx – by = (ax – ay) + (bx – by)
= a(x – y) + b(x – y) se repite (x - y)
= (a + b) (x – y) sobra (a + b)
Cuando el polinomio no factoriza, se puede re-ordenar los términos del
Polinomio:
2) mx - 1 + m – x = mx – x + m -1 = (mx – x) + (m - 1)
= x(m – 1) + 1 (m - 1) se repite (m - 1)
= (m – 1) (x +1) sobra (x + 1)
Si luego de agrupar los termino, el signo del medio es negativo (-) buscas el opuesto
al último término.
Ejemplo:
3) 3x 3+ x2–2x – 2 = (3x 3+ x2) – (18x + 6)
= x2(3x - 1) - 6(3x + 1)
= (3x -1)(x2 - 6)

4. C. Diferencia de Cuadrados
Cuando multiplicamos (a + b)(a - b) obtenemos una diferencia de cuadrados (a2 – b2) ,
Lo que significa que al factorizar ( a2 – b2 ) el resultado es (a + b) (a - b)
Ejemplos: 1) x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) (x + 2) Algunos cuadrados:
1x1=1 7x7=49
2) x2 - 25 = x2 – 52 = (x + 5) ( x - 5) 2x2=4 8x8=64
3) x2 – 81y2 = x2 – 32 y2 = (x – 9y)(x + 9y) 3x3=9 9x9=81
4x4=16 10x10=100
5x5=25 11x11=121
6x6=36 12x12=144
D. Diferencias de cubos
Cuando multiplicamos ( a - b ) (a2 + ab + b2) obtenemos una diferencia de diferencia de (a3
- b3 ) lo que significa que al factorizar (a3 - b3 ) el resultado es
( a - b ) (a2 + ab + b2) Algunos
Cubos:
Ejemplos 1x1x1=1
2x2x2=8
1) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2 ) ( x2 + 2x + 22) = ( x – 2) ( x2 + 2x + 4) 3x3x3=27
4x4x4=64
2) a3 – 1 = a3 – 13 = (a – 1) (a2 + 2a + 1) 5x5x5=125
6x6x6=216
3) 27 x3 – 1 = 33 x3 – 1 = (3x – 1) ( 32 x2 + 3 x + 12) = ( 3x –1 ) ( 9x2 + 3x + 1) 7x7x7=343
8x8x8=512
E. Suma de cubos
La Suma de Cubos se factoriza de la misma forma, sólo cambias el signo a suma en
el primer factor y a resta el signo el medio del segundo factor.
Ejemplos:
1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + b 2)
2) x3 + 8 = x3 + 23 = ( x + 2) ( x2 - 2x + 4)
3) 27 x3 + 1 = 33 x3 + 1 = ( 3x +1 ) ( 9x2 - 3x + 1)

5. F. Factorización de trinomios
Tienes que buscar dos factores de 6 que
1. Trinomios del tipo x2 + bx + c multiplicados dé -6 y sumados dé +5
Los signos tienen que ser diferentes
Ejemplos Observa que -6 = -3 x 2, pero
-3 + 2 = -1 ó 3+-2=1
a) x 2+ 5x – 6 = (x + 6) ( x – 1)
La combinación debe ser 6x-1=-6 ,
b) y2 - 5y – 6 = ( y –6) ( y + 1) 6 +-1 =-5 y la contestación es (x+6)(x-1)
c) x2 –3x + 2 = ( x – 1) ( x – 2)
2. Trinomios del tipo ax2 + bx + c
Ejemplos
a) 2x2 + 6x – 20 = Obsérvese, primeramente, que podemos extraer de cada término
el factor común 2. Luego, 2x2 + 6x – 20 = 2(x2 + 3x – 10) =
2(x + 5) (x – 2).
Comenzamos determinando factores de 6(-2) = -12 que
b) 6x2 + x –2 sumen 1. Es evidente que estos factores son 4 y –3.
Luego formamos cuatro términos sustituyendo a x por 4x – 3x y tenemos que
6x2 + x –2 = 6x2 + 4x –3x – 2
= (6x2 + 4x) –(3x+2)
= 2x ( 3x+2) - 1(3x +2) recuerda se
cambia el último signo
= (3x+ 2) ( 2x - 1)
Determinamos factores de 14(-3) = -42 que sumen -1.
c) 14x2 - x – 3 Es evidente que estos factores son -7 y 6 .
Luego formamos cuatro términos sustituyendo a x por -7x +6x y tenemos que
14x2 - x – 3 = 14x2 -7x + 6x – 3 = (14x2 -7x) +( 6x – 3)
= 7x ( 2x- 1) + 3(2x-1)
= (2x -1) (7x+3)

6. 3. Trinomio cuadrado perfecto
Cuando multiplicamos ( a + b ) (a + b) = a2 +2ab + b2 o sea obtenemos un trinomio
cuadrado perfecto. Lo que significa que al factorizar (a2 +2ab + b2 ) el resultado es (
a + b ) (a +b)= ( a + b)2
Ejemplos a) a2 + 2ab + b2 = ( a + b) ( a + b) = ( a + b ) 2
b) x2 + 10x + 25 = ( x + 5) ( x + 5) = ( x + 5)2
c) y2 – 10y + 25 = ( y – 5) ( y – 5) = (y – 5) 2
Práctica: Factorización
1. Un factor de 9x2 + 81 es:
A. x + 3 C. 9
B. 9x D. 3x + 9
2. Un factor de 5ax + 10ay + 2bx + 4by es:
A. 5a - 2b C. x + 2y
B. x – 2y D. No factoriza
3. Un factor de 25x2 – 9y2 es:
A. No factoriza C. 5x + 3y
B. 25x + 9y D. -5x + 3y
4. Un factor de 4x2 – 36y2 es:
A. 2x + 6y C.2 x – 3y
B. x – 6y D. No factoriza
5. 4x2 – 12x + 9 =
A. (2x + 3)(2x + 3) C. (2x + 3)(2x – 3)
B. (2x – 3)(2x – 3) D. (4x + 3)(4x + 3)
6. ¿Cuál es el valor de c para que el trinomio x2 + 8x + c sea factorizable?
A. 64 C. 8
B. 16 D. 4
7. La factorización prima de x2 - 4x – 12 es :
A. (x + 6)(x – 2) C. (x – 6)(x + 2)
B. (x – 3) (x + 4) D. No factoriza

7. 8. x2 + 2x – 80 =
A. (x + 10)(x – 8) C. (x – 10)(x +8)
B. (x – 20)(x + 4) D. No factoriza
9. Un factor de 2x2 + 8x + 5 es Respuestas
A. x – 5 C. x + 1 1. D
2. C
B. 2x + 1 D. No factoriza
3. C
4. A
10. Un factor de x3 + 27 es:
5. B
A. x + 9 C. x + 3
6. B
B. x – 3 D. No factoriza
7. C
8. A
11. Al factorizar x2 – x – 30 el resultado es:
9. D
(A) (x – 2) (X + 3) 10. C
(B) (x – 5) (x + 6) 11. C
(C) (x – 6) (x +5) 12. B
(D) (x – 3) (x + 10) 13. 5ab2(a + 2b)
(E) (x – 15) (x + 2) 14. (x + d) (a + 1)(a - 1)
15. (t + 3s) (t - 3s)
12. Al factorizar 2a – a – 15 , el resultado es: 16. (d + 7) (d – 7)
17. 2z (3x + 4y) (3x - 4y)
(A) (2a - 1) (a + 2) 18. (2a + b) (4a2 – 2ab + b2)
(B) (2a + 5) (a - 3) 19. (2t - 5) (4t2 + 10t + 25)
(C) (3a + 1) (a + 3) 20. (x + 4) (x + 2)
(D) (5a - 1) (a + 2) 21. (p – 7q) (p + q)
(E) (3a – 5) (a + 5) 22. (m - 3) (m - 4)
23. (a - 6)2
24. (5x-1) (3x-1)
13. 5a2b2 + 10ab3 =
25. (2x + 3) (x + 4)
14. a2x + a2d –x – d =
15. t2 – 9s2 =
16. d2 – 49 =
17. 18x2z – 32 y2z =
18. 8a3 + b3 =
19. 8t3 - 125 =
20. x2 + 6x + 8 =
21. p2 –6pq –7q2 =
22. m2 –7m + 12 =
23. a2 –12a + 36=
24. 15x2 – 8x +1 =
25. 2x2 + 11x + 12 =