1. Universidad Católica del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Pedagogía en Matemáticas y Computación
OPP- Taller de estudio de casos.
DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN REAL
Nombre: Natalia Sepúlveda Norambuena
Profesora: Dra. María Aravena Díaz
Talca, 24 de septiembre de 2013.

2. INTRODUCCIÓN
Este estudio de casos, se centra en el conflicto que se crea al momento
de determinar el dominio y recorrido de una función real.
La profesora Patricia, se encuentra tratando la unidad de funciones, la
cual para ella siempre le ha parecido un tema complicado de aprender por los
alumnos, es por esto que luego de haber realizado la unidad, decide
implementar un trabajo en grupos, para poder captar y saber el conocimiento
que han obtenido los alumnos del curso de tercero medio. Este trabajo consiste
en determinar el dominio y recorrido de una función real, utilizando las distintas
herramientas entregadas y los conocimientos que poseen los alumnos, para
luego debatir sus respuestas con todos los estudiantes.
RESUMEN DEL CASO
El caso en estudio trataba de la profesora Patricia, la cual lleva 20 años
trabajando y siempre le ha costado la enseñanza de la unidad de funciones,
por lo que se replantea poder explicarla de una forma más didáctica. Ella
primero pasa la materia abordando el tema de dominio y recorrido de una
forma algebraica y posteriormente, lo explica de una forma geométrica. Luego,
les hace realizar un ejercicio a sus alumnos y al final de la clase hace que cada
uno exponga sus ideas. Fernando, el primero en exponer, realiza el ejercicio de
una forma netamente algebraica en donde plantea que el recorrido no tiene
restricciones por lo que son todos los números reales. Por otro lado, Arturo,
otro de sus alumnos, realiza el ejercicio enfocándose solo en la parte
geométrica, rebatiendo la postura de Fernando. El plantea que el recorrido no
son todos los reales, más bien este parte desde el 2 hacia el infinito positivo. Es
aquí donde se forma la discusión y el estudio de caso.

3. OBJETIVOS DEL CASO
· Determinar la forma correcta de enseñar funciones.
· Discutir los errores que se pueden generar en el aula con respecto a
estos temas.
· Trabajar diferentes representaciones del tema.
CONFLICTOS DEL CASO
El conflicto matemático que se produce es en el cálculo y análisis del
recorrido de una función real en donde se genera la contraposición que se da
entre los distintos registros de representaciones, tanto la representación
algebraica que da a conocer el grupo de Fernando como la representación
gráfica que da a conocer el grupo de Arturo.
El problema que la profesora les entrego para ser calculado y analizado
es, encontrar el dominio y recorrido de la siguiente función:
El conflicto del caso parte cuando la profesora decide que expongan sus
respuestas, es ahí cuando Fernando y Arturo dan sus conclusiones las cuales
son las siguientes: Fernando dice que lo primero que realizaron, fue calcular el
dominio de la función, expresando que la raíz debe ser positivo, por lo cual les
queda que . Luego para calcular el recorrido lo realizaron utilizando la
representación algebraica, despejando la variable y obteniendo que no haya
restricciones para , entonces el recorrido sería el conjunto de todos los reales.
Arturo, y por parte de su grupo, por medio de los cálculos respectivos

4. obtuvieron el mismo dominio, pero distinto recorrido ya que este grupo analizó
el recorrido por medio de la representación gráfica de la función obteniendo
algo distinto a lo del grupo de Fernando. Según el trabajo empleado por este
grupo, la gráfica muestra que el recorrido es el conjunto de todos los números
mayores o iguales a 2.
Es aquí donde se comienza a desarrollar el conflicto del caso y donde el
debate de ambos grupo comienza. Si bien la profesora no dice cuál de los dos
grupos esta en lo correcto, los invita a pensar y a decidir cuál de los dos grupos
está correcto, debido a que el recorrido es uno sólo, y por ende, en alguna
parte se cometió un error.
ASPECTOS MATEMATICOS INVOLUCRADOS
Los aspectos matemáticos que están involucrados en el caso son:
· Funciones: f una función real f: IR IR, cuyo dominio y recorrido están
contenidos en los IR.
· Gráfica de una función: es un tipo de registro de representaciones, y que
en este estudio de caso en particular, es usado por el grupo de Arturo
para determinar el recorrido de la función.
· Dominio de una función: que son los valores que puede alcanzar la
función y que toma la variable “x” para que no se indefina.
· Recorrido de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son
valores que toma la variable “y” para que no se indefina.
· Variables dependientes e independientes: las variables utilizadas son
dependientes e independientes. En este caso la variable dependiente es
“y” y la variable independiente es “x”.

5. · Valor mínimo de una función: es el menor valor que alcanza la función
de acuerdo al dominio de ésta. En este estudio de caso en particular el
mínimo valor que alcanza la variable “x” es -1, por lo que el menor valor
que alcanza la función es 2.
· Conjunto numérico: se ocupan valores pertencientes a los reales. En el
caso del dominio la variable “x” comienza de [-1, ∞ [. En el caso del
recorrido la variable “y” toma los valores [ .
· Restricciones de una función: Para determinar el dominio y recorrido de
una función cuando esta se encuentra escrita en su registro algebraico
debemos restringir la función, es decir, sacar aquellos valores donde la
función se indetermina.
DISTINGUIR ERROR MATEMÁTICO
Los errores que comete el grupo de Fernando, son los siguientes:
Al calcular el recorrido de la función, el grupo de Fernando desarrolla un
trabajo algebraico y sigue los pasos tal y como lo habían desarrollado en un
ejercicio anterior, por lo que no se dan cuenta que debían aplicar restricciones.
En su resolución al momento de despejar la variable x, la ecuación no tiene
solución.
La ecuación que no es consistente, es la siguiente:
Cuando sacaron el dominio de la función, ya se habían dado cuenta que la
debe ser mayor o igual que 0. Por lo tanto para que se cumpla la

6. igualdad de la ecuación anterior también debe ser mayor o igual que 0,
de lo que se desprende que y debe ser mayor o igual que 2.
Además el grupo de Fernando no tuvo la capacidad de relacionar el
dominio de la función, con el recorrido, estableciendo el menor valor que puede
tomar la variable .
El grupo de Arturo por su parte, realiza un trabajo minucioso con el
análisis de la gráfica y el menor valor que puede tomar la variable x. Ellos
llegan a la siguiente expresión:
Dándose cuenta que existe una irregularidad, pero aun así cometen el error de
evaluar y argumentar con esta inconsistencia. Al momento de elevar al
cuadrado, la raíz puede tomar valores negativos y valores positivos, es por esto
que se comete otro error cuando solo se utiliza los terminos positivos. Se debe
en este caso restringir (si es necesario), la ecuación para que tenga solución.
Este error lo comente el grupo de Fernando en la representación algebraica.
METODOLOGÍA ADECUADA
La estrategia metodológica que se uso fue exponer los casos. Esta
estrategia genera discusión, dialogo y permite encontrar errores y al mismo
tiempo solucionarlos. Mediante la discusión permite al profesor detectar cuanto
saben sus alumnos y los errores que estos poseen. Además la profesora al
final de la clase pide que los alumnos entreguen un informe acerca de este
ejercicio, lo que permite que estos desarrollen la parte cognitiva.
PROPUESTA PARA RESOLVER EL PROBLEMA
Al momento de desarrollar la unidad de funciones, a mi juicio se debería
realizar de la siguiente manera: definir el concepto de función, cuales son la

7. variables que se utilizarán, tanto la variable dependiente como la
independiente, luego tratar el contenido de funciones en sí, es decir, con todas
su propiedades, para poder así implementar el concepto de dominio y
recorrido. Si bien se comportan como conceptos diferentes, la idea es que se
relacionen como un solo concepto, es decir, que de una puedo obtener el otro
(como sucede en el estudio de caso en particular), realizando esto mediante
diversas funciones que permitan comprender estos conceptos como tal. Luego
implementar material tecnológico como software, para hacer de alguna u otra
forma, más didáctico el contenido y poder asociarlos a la diversa tecnología
que existe hoy en día.
En particular, en este estudio de caso como propuesta se debería
realizar lo siguiente:
Lo primero a realizar, es determinar el dominio de la función dada, en este caso
mediante la visualización de la raíz cuadrada y ver para que valores de la
función existe, esto se ve reflejado de la siguiente manera:
Luego en la ecuación, y al momento de despejar la variable , podemos
determinar que el mínimo valor que puede alcanzar la variable, es -1.
A continuación, deberían graficar la función para poder ver claramente el
comportamiento de la ésta y relacionarla con el dominio. Como en el dominio
encontramos que el menor valor que puede alcanzar la variable es -1,
relacionamos este valor con el recorrido de la función, lo cual indica que el
menor valor que alcanza la variable es 2, por lo cual el recorrido de la función
comienza en este valor. Lo podemos ver analizando la gráfica de la función.
Esto servirá para no realizar un trabajo estructurado y memorístico, y permitirá

8. que el alumno observe y desarrolle la representación gráfica una función y
poder obtener el dominio y recorrido de esta forma.
Según mi punto de vista, el error que comete el grupo de Fernando, es
un error muy común en los estudiantes que hoy en día participan en la
educación, debido a que se sigue manteniendo una educación (en el área de la
matemática), basada en la mecanización y en el desarrollo algorítmico de los
diversos problemas.
Si bien la profesora que presenta el problema, en este estudio de caso,
trata de que no sea así, los alumnos siguen manteniendo esta forma
(algorítmica) para resolver los diversos problemas que la matemática le
presenta.
Este problema relacionado con el análisis del dominio y recorrido de una
función real que se presenta, representa claramente lo dicho anteriormente,
debido a que el grupo de Fernando emplea los distintos pasos algebraicos para
desarrollar el problema. Sin embargo, no relaciona el dominio de la función, con
el recorrido de ésta por medio del valor mínimo que alcanza la variable , los
cual es necesario para el análisis de una función real. Otra de las cosas que
permite que el otro grupo, liderado por Arturo tenga la razón, es el hecho de
graficar la función, lo cual le permite analizar no sólo algebraicamente el
recorrido, si no también gráficamente y poder apreciar el comportamiento de
ésta.
Al finalizar la tarea entregada por la profesora, y cuando los alumnos se
dirigen a sus hogares, Fernando reflexiona y se comienza a dar cuenta de que
no siempre se desarrollan los problemas matemáticos de la misma forma, que
todos problemas debe ser analizado de tal manera que se pueda relacionar los
conceptos anteriormente vistos y que están involucrados en dicha
problemática. Quizás una de las reflexiones más significativas que obtiene
Fernando, es que las notas no reflejan el conocimiento de cada estudiante,
puesto que Arturo tenía peores calificaciones que Fernando.