estudio de casos

1. I N F O R M E D E L E C T U R A Nº 1
- CASO: Dominio y Recorrido de una función Real
- AUTOR DEL ANALISIS: Robinson Ignacio De La Fuente Loyola
- RAMO: Taller de estudio de casos
I N T R O D U C C I Ó N
La enseñanza de las funciones y todo lo que respecta a ellas siempre ha sido un hito
conflictivo en la educación tanto por los profesores como por los alumnos, por eso en el presente
informe se analizara un caso donde se presentan este tipo problemática, en el cual donde iremos
analizando las fortalezas del docente, sus metodologías de enseñanza-aprendizaje, sus dificultades y
además como los alumnos afrontan la temática de las funciones y cuáles son los errores que
presentan para ir posteriormente analizando a que se deben y como se podrían solucionar dichos
problemas en el aula con la finalidad te terminar con una propuesta genérica para las diversas
problemáticas presentes en el caso.
R E S U M E N
Patricia es una profesora de matemáticas de un colegio particular en el cual ha trabajado
más de 20 años, la cual siempre ha buscado nuevas metodologías de enseñanza ya que ella sabe que
es el estudio de las funciones es un tema complicado para los alumnos por eso ella diseña sus
unidades con antelación para que sus alumnos entiendan realmente el concepto de funciones. Al
comenzar el estudio de la funciones Raíz, la Patricia recordó algunos resultados de la nación
cuadrática (ℎ: 푅 → 푅, 퐷푒푓푖푛푖푑푎 푝표푟 ℎ(푥) = 푥2 y sus gráfica. Y a través de un trabajo muy guiado
en clases lograron hacer el nexo con la función raíz y encontrar sus dominios y recorridos. Patricia
en la clase posterior llega muy entusiasmada por el excelente trabajo realizado por sus alumnos
anteriormente y comienza la clase pidiendo que se reúnan en grupos para trabajar en la búsqueda
del dominio y recorrido de la función 푓(푥) = 2 + √푥 + 1, luego llega el momento de exponer sus
resultados ante el curso metodología que ella había utilizado con éxito desde algún tiempo, el
Primer grupos es el de Fernando en el cual se ha caracterizado por ser un alumnos muy ordenado y
destacado en su exposición muestra a través de métodos algebraicos que el dominio de la función
es [−1, +∞[ y luego utilizando la misma metodología pero despejando la variable “y” obtiene 푥 =
푦2 − 4푦 + 3 de lo cual deduce que el dominio son todos los reales, la profesora se percata de sus
error pero no le dice nada y lo felicita y hace pasar al grupo de Arturo, alumnos reconocido por su
creatividad al exponer sus resultados él llega al mismo Dominio de Fernando pero al momento de
calcular el recorrido el descubre de una forma más grafica que el real recorrido es [2, +∞[ , lo cual
lo lleva un debate con su compañero para ver cual tiene la razón con sus respectivos argumentos .
Luego de un momento Patricia pide los trabajos realizados en clases para ver los argumentos
utilizados por los alumnos en dicha actividad.

2. O B J E T I V O S D E L C A S O
- Discutir los errores de la enseñanza en el aula
- Analizar el trabajo en las diferentes representaciones
- Analizar las problemáticas que se dan en el cálculo del Dominio y el Recorrido y los errores
que se pueden presentar.
- Discutir la metodología de enseñanza
- Discutir la forma de evaluación de los contenidos vistos en clases
-
C O N F L I C T O
El presente caso tiene como conflicto principal la contraposición entre dos postulas lo
Algébrico y los geométrico con sus respectivas representaciones y cuál de estas dos posturas
es la correcta para hacer un cálculo acertado del Dominio y el Recorrido de una función.
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S M A T E M Á T I C O S
Si bien podemos apreciar que la función 푓(푥) = 2 + √푥 + 1 no es una función fácil de
analizar para jóvenes de educación media, iremos viendo cuales fueron los errores matemáticos
cometidos y como realmente debieron afrontarlos vistos de la visión de Fernando y Arturo.
Análisis de la respuesta de Fernando y correcciones
Calculo del Dominio
Como él sabía que lo que está en la raíz debe ser positivo estableció de manera correcta
que:
x + 1 ≥ 0
Sin embargo no argumento que de lo contrario el dominio no pertenecería a los Reales si no a
los imaginarios.
Posteriormente despejo de manera correcta la desigualdad obteniendo como resultado que:
푥 ≥ −1
Luego se dio cuenta que el dominio de la función expuesta en clases comenzaba desde el -1 hacia el
infinito porque en el interior de la raíz era 푥 + 1 y los reales (+) comienzan desde el cero.
[−1, +∞[

3. Calculo del Recorrido
Lo que hace Fernando es tratar de despejar “x” haciendo el uso de la función inversa para
poder determinar si el conjunto de llegada era el mismo que el conjunto inicial.
y = 2 + √x + 1
En este segundo paso que realiza Fernando podemos apreciar con mucha claridad, que el solo está
haciendo un procedimiento netamente mecánico sin analizar que está sucediendo en la función:
Errores:
1- Analiza la función como si fuera una simple ecuación.
2- No restringe el dominio de la función raíz al despejar, argumentando que 푦 − 2 ≥ 0 porque
de lo contrario la raíz puede tomar valores negativos y causar que la raíz tome valores
imaginarios. Y que por lo tanto 푦 ≥ 2 para que la función solo tome valores reales
푦 − 2 = √푥 + 1
Luego Fernando eleva el cuadrado ambos lados de la igualdad para despejar la raíz
(푦 − 2)2 = 푥 + 1
Luego al desarrollar el cuadrado de binomio podría ocasionar perdidas de soluciones al momento de
calcular el Recorrido si no restringe con los pasos adecuados.
푦2 − 4푦 + 4 = 푥 + 1
푥 = 푦2 − 4푦 + 3
Y luego Fernando deduce que el Recorrido son todos los Reales, grave error que fue acarreado
desde el momento que en que no restringió sus pasos adecuadamente lo que ocasionó pérdidas de
soluciones
Soluciones correctas:
- Dominio 퐷표푚(푓): [−1, +∞[
- Recorrido 푅푒푐(푓) ∶ [2, +∞[
Comentario: Fernando si bien es un buen algebrista, ha dejado de lado el trasfondo de lo que es
una función y la trato solamente como si fuera una ecuación despejando variables en función de
otras lo que produjo que olvidara hacer las respectivas restricciones en sus procedimientos y no
analizando con cuidado lo que hacía lo cual le produjo que perdiera algunas soluciones del
recorrido pertinente de la ecuación.

4. Análisis de la respuesta de Arturo y correcciones
Podemos apreciar que Arturo como se exponía en el caso era muy creativo ya que su
respuesta a lo que se preguntaba en clases fue muy interesante porque se puede apreciar que
presenta un dominio del concepto de función y de las representaciones graficas de estas y como
estas se comportan en el plano cartesiano.
Calculo del Dominio
Arturo obtuvo el mismo resultado de Fernando pero analizando solamente la gráfica, dando
a saber que el dominio eran [−1, +∞[, no se dan mayores datos de la forma que el calculó el
dominio.
Calculo del Recorrido
Primero que nada ellos recordaron la gráfica de la función √푥, luego la trasladó una
unidad hacia la izquierda, encontrando a si la gráfica de √푥 + 1 y luego traslado la gráfica dos
unidades hacia arriba obteniendo la gráfica de 2 + √푥 + 1
Esto nos denoto que Arturo y su grupo presentaba un alto dominio delas gráficas y de los conceptos
que utilizaban ya que llego a una respuesta acertada del cálculo del Recorrido dando por respuesta
que era [2, +∞[, pero solo de una forma gráfica y no de una forma más rigurosa, y al momento de
argumentar su proceso más sólido utilizando algebra no supo argumentar su respuesta ya que su
principal manejo era lo gráfico y no lo algébrico siendo que estos dos procesos van netamente
ligados como dice Duval que cada proceso va ligado a sus diferentes representaciones.
Comentario: Arturo presenta un alto dominio de las representaciones graficas sin ser un buen
algebrista si complementara ambas cosas podría llegar a tener un completo dominio de las
funciones y sus conceptos ya que el estudio de la parte grafica es lo que mayor mente le cuesta a los
alumnos de educación media.
Soluciones correctas:
- Dominio 퐷표푚(푓): [−1, +∞[
- Recorrido 푅푒푐(푓) ∶ [2, +∞[
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S D I DÁ C T I C O S
Desde una mirada didáctica podemos destacar que la profesora Patricia es una excelente
profesora ya que ella a pesar de todo el tiempo que lleva en el sistema educacional siempre está en
la búsqueda de nuevas metodologías de enseñanza en los sus contenidos y sabiendo ella a través de
la experiencia que el estudio de las funciones tiene cierto grado de complejidad ella prepara su
unidad con mucho cuidado incorporando ejercicios elementales de manera que sus alumnos logren

5. comprender el concepto ya que ella sabe que con antelación que el estudio del dominio y el
recorrido permite enlazar las habilidades algebraicas numéricas y gráficas.
También podemos destacar desde una mirada didáctica que la profesora Patricia va de poco
a poco familiarizando a sus alumnos con los contenidos dando un pequeño recuerdo con el
contenido pasado el cual fue es estudio de la función cuadrática simple f (x) = ax y llevando con
trabajo guiado logra que sus pasen al contenido nuevo que son las función raíz apoyándose en
gráficas para que los chicos comprendan de lo que se trata.
Un aspecto muy importante que se debe destacar de forma muy categórica es que ella reconoce que
el estudio del dominio y el recorrido de una función permiten enlazar las habilidades algebraicas
numéricas y gráficas(que nos permite pasar de diferentes representaciones), tan como lo plantea
Duval en su teoría de las representaciones semióticas en 1998, que nos permite explicar el nivel de
conceptualización es en base a los cambios entre representaciones, sino porque además los
problemas de oferta y demanda exigen al estudiante la familiaridad con diversas representaciones
de una función, a lo que da a entender que los alumnos en los estudios de funciones deben manejar
de la mano los cambios de representaciones ya sea de forma algebraica a geométrica y viceversa
para una mejor conceptualización de los contenidos .
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S E V A L U A T I V O S
Ahora si nos enfocamos en la forma de evaluar presente en el caso podemos apreciar que la
profesora maneja varias formas de detectar si sus alumnos comprendieron los conceptos tratados en
clases, primero que nada realizando una actividad grupal donde se pueden contraponer varias ideas
entre los integrantes de los grupos pero que al final de la hora llegan a un consenso unitario para
responder a lo que se pregunta similar a lo que se ocupa en el modelo de enseñanza japonés en
que la estrategia consiste en un sistema de trabajo colaborativo, basado en la observación y estudio de
clases entre pares que busca elevar los estándares y objetivos pedagógicos del trabajo en el aula.,
posteriormente un aspecto muy positivo que se puede destacar de la metodología de la profesora es
que ella saca grupos al azar para expongan sus resultados ante el grupo curso para así generar
debates entre las diversas posturas que se pueden dar tal como la vista en el caso que se dio una
contraposición entre una representación algebraica y otra geométrica por lo que se aprecia en el
caso grupos sacados fueron seleccionados de forma intencional para poder ver las dos posturas que
se podían dar para obtener un mejor desarrollo cognitivo de los contenidos vistos y por último
aspecto evaluativo cabe destacar la entrega de informes donde ella evalúa la capacidad de los
alumnos de producir información evaluando los argumentos de los alumnos con los cuales ellos
desarrollaron la actividad propuesta en clases .
P R O P U E S T A
Como propuesta pedagógica me basare en los estudios hechos por Duval que se basa en el
estudio de las diversas representaciones de un objeto matemático en la cual hace énfasis en el paso
de una representación a otra. “Los registros de representación semiótica, esta operación, es
llamada conversión cuando involucra un cambio de registro, es considerada como una actividad
cognitiva necesaria para lograr una aprehensión conceptual de los objetos matemáticos”.(Duval,
1998).

6. Propuesta: La conversión como actividad cognitiva
Por lo tanto la propuesta está basada en la conversión como factor importante en las
actividades esto quiere decir proporcionar actividades en las cuales se pase de un registro a otro, ya
sea de un registro grafico a uno algebraico y viceversa para una mejor adhesión de los conceptos
en el estudio de las funciones esto quiere decir que en la fase de aprendizaje, el conocer varios
registros de representación semiótica para un mismo concepto matemático será fundamental para no
confundir el objeto matemático con sus representaciones y así evitar futuros problemas
conceptuales que conlleven a errores en los cálculos en este caso de los Dominios y Recorridos una
función a si la conversión pasa a jugar un papel fundamental en la aprehensión de concepto un
matemática como son los cálculos de Dominios y Recorridos y enseñanza de funciones en general.
A si utilizando esta metodología podríamos solucionar las disputas entre lo geométrico y lo
algebraico ya que los alumnos pasarían de una representación a otra y podrían argumentar sus
resultados desde ambas posturas y no quedarse faltos de argumentos por no manejar los tipos de
representaciones que se puedan dar y al contrario ellos puedas hacer un contraste entre lo
geométrico y lo algebraico y de ahí sacar las conclusiones para sus respuestas.
C O N C L U S I Ó N
1- Los diversos cambios de representaciones ayudan a los alumnos a tener una mejor adhesión
de los contenidos conceptuales sobre el objeto matemática en el cual se trabaja.
2- Siempre se ha dado una disputa entre los geométrico y lo algebraico en la enseñanza de las
funciones como se presenta en el caso ya que no es algo que solo ocurra de forma ficticia si
no que en nuestro rol de docente estaremos continuamente sometidos a esa clase de
problemas y deberemos poder encontrar la mejor forma de solucionarlo para que nuestros
alumnos puedan tener una vista amplia del concepto en sí y no solo quedarse en la
mecanización o solo la representación gráfica si no que hacer un nexo entre ambas y a si
potenciar una mejor adhesión de conocimientos y compresión de conceptos.
3- El estudio de problemáticas escolares es fundamental en nuestra formación como futuros
docentes ya que nos prepara para futuros problemas que se puedan dar y nos enseña a
afrontarlos de la mejor manera posible.

7. B I B L I O G R A F Í A
Duval, R. (2006). La habilidad para cambiar el registro de representación. Recuperado el 01 de
Septiembre de 2014, de http://www.usc.es/dmle/pdf/GACETARSME_2006_9_1_05.pdf
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matemática en Chile. Recuperado el 2014 de Septiembre de 2014, de
http://asiapacifico.bcn.cl/noticias/modelo-japones-clave-para-mejorar-ensenanza-matematica-
en-chile
Castillo. (2013). CONVERSIÓN DEL REGISTRO GRÁFICO AL ALGEBRÁICO . Recuperado el 01 de
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http://semana.mat.uson.mx/MemoriasXVII/XII/del%20Castillo%20Bojorquez.pdf
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la-uc-compite-en-estados-unidos