Este documento resume un caso sobre la enseñanza de funciones. En el caso, dos estudiantes, Fernando y Arturo, analizan una función mediante métodos algebraicos y gráficos respectivamente. Mientras que Fernando concluye erróneamente que el recorrido es todo R basado en su análisis algebraico, Arturo utiliza una gráfica para demostrar correctamente que el recorrido está restringido a valores mayores o iguales a 2. El caso destaca la importancia de considerar restricciones al elevar términos a poderes y de usar diferentes representaciones

1. Informe de Lectura 1: OPP. Taller estudio de casos
Nombre: Patricio Álvarez Opazo
1. Introducción
El tema de las funciones históricamente ha sido un tanto difícil de enseñar, pues hay muchos conceptos que para los alumnos se les confunden y además no logran articularlos entre ellos, es por ellos que es necesario variar estrategias con el fin de obtener alguna receta para poder enseñarlas. Es eso lo que sucede en el caso, donde nos encontramos con Patricia una profesora que pone a prueba si los conocimiento aprendidos por los alumnos están siendo articulados correctamente o por el caso contrario y como sucede tradicionalmente es de una forma parcelada.
2. Resumen
La situación en la siguiente, Patricia ya ha enseñado los conceptos fundamentales de función por ejemplo de obtención de dominio y recorrido, restricción de dominio para obtener inversas, gráficas, tablas de datos, etc. Y por lo mismo piensa que ya es hora de evaluar si los alumnos han aprendido de forma conjunta o parcelada los conocimientos. Para ello realiza un taller grupal el cual pone a prueba y en contraposición dos miradas de una misma situación, por un lado nos encontramos a Fernando quien aplica solo métodos algebraicos para la obtención de dominio y recorrido, y por otro lado tenemos a Arturo quien visualiza a través de las gráficas la misma situación.
3. Conflictos del caso
La situación pone en una balanza dos posturas para un mismo caso, una postura algebraica versus una postura geométrica.
4. Análisis del caso
4.1. Aspectos Matemáticos
Para el análisis del caso se definen:
La función: ( ) √ ( )
Para determinar el recorrido, se denota ( ) , luego reemplazando en (1) y despejando la raíz: √ ( )

2. a) Tabla de valores:
Fernando claramente en ningún momento trato de utilizar una tabla de valores o al menos evaluar algún elemento del dominio para conocer cómo se comportaba el recorrido, primer error pues claramente si lo hubiera hecho y conociendo el dominio que era [ [ hubiera evaluado con x= -1 obteniendo como valor máximo de ( ) , por lo tanto en ningún caso el recorrido seria todos los reales como en primera instancia señaló Fernando.
Arturo y su grupo como primera tarea hicieron lo mismo que Fernando, sin embargo se dieron cuenta que evaluando con y=0 en la ecuación (2) les quedaría √ , cosa que no tiene sentido, ya que -2 es negativo y la raíz no obtendría valores negativos. Esta situación es la que llevo a Arturo a realizar una gráfica para entender mejor el comportamiento del recorrido.
b) Restricción del Dominio y el Recorrido:
Tanto Fernando como Arturo utilizando un método algebraico, determinan que la función (1) tiene en su dominio una restricción para , buena señal pues prueba que ambos tienen el concepto de que en las funciones es necesario hacer restricciones para que existan, sin embargo utilizando el mismo algoritmo despejan x de la ecuación (2) con el fin de conocer que restricciones tenía el recorrido, llegando a la conclusión que no tenía restricciones. Segundo error pues durante el trabajo algebraico en la ecuación (2), al momento de elevar al cuadrado pasan por alto una restricción directa para , pues necesariamente . Si se hubieran dado cuenta en muy pocos pasos podrían haber obtenido tanto el dominio como el recorrido de la función.
c) Contraejemplo
La postura de Fernando es férrea en cuanto a que el recorrido no tiene restricciones y cree ciegamente en el trabajo algebraico realizado por él, sin embargo Arturo mediante un contraejemplo clave demuestra lo contrario, para ello evalúa ( ) , recordando con ello que el menor valor que tome x, produce entonces el menor valor de las imágenes, derribando así la idea defendida por Fernando.
d) La Gráfica
Arturo al no entender por qué el método algebraico había fallado para la obtención del recorrido, decide realizar la gráfica de la función, obteniendo así una nueva idea solo con mirarla:

3. Observa que el dominio se comporta como lo habían determinado algebraicamente, sin embargo claramente el recorrido no era el esperado pues este solo tenía valores para todos los números mayores o iguales a 2.
4.2. Aspectos Didácticos
a) Representaciones
Mediante el trabajo previo presentado en el caso se observa que Patricia utiliza diferentes maneras para representar funciones, entre ellas la algebraica, por medio de gráficas y finalmente utilizando tablas de valores.
b) Función inversa
Patricia mediante un trabajo lento y guiado utilizando software, hace observar a los alumnos el comportamiento de las funciones por medio de gráficas, entre ellas la función inversa. Además luego en un trabajo práctico para obtener la inversa de ( ) , resulta que doblando papeles sobre la diagonal, y luego calcando la parábola en la otra mitad de la hoja obtienen el grafico de la inversa (reflexión de un brazo de la parábola).
c) Trabajo grupal y exposiciones
Patricia para obtener mejores resultados, realiza trabajos grupales, con el fin de hacer trabajo colaborativo y de análisis, sin embargo lo realmente relevante es que los resultados de los trabajo se presenten en la pizarra, pues como se refleja en el caso se pueden producir situaciones de dialogo entre los alumnos en la que argumenten y defiendan sus ideas, además de aprender mediante el error diferentes situaciones que pueden darse en matemáticas.
4.3. Aspectos evaluativos
Si bien en la clase donde se presentaron los resultados Patricia solo actuó como espectadora y reguladora de la situación, claramente se observa una intencionalidad por parte de ella, primero en la elección del problema, pues pese a ser muy similar a otros ejercicios realizados por los alumnos, este contenía cierta dificultad y un obstáculo que hace del error el centro del aprendizaje. Y en segundo lugar evaluar como los alumnos defienden y hacen propio el conocimiento, claramente Arturo por medio de argumentos logró doblegar la idea de Fernando, haciendo que se planteara así mismo el porqué de su equivocación.

4. 5. Propuesta: ¿Cómo Solucionar la problemática?
Todo nace de realizar el paso algebraico de elevar al cuadrado incorrectamente o al menos sin considerar las restricciones que conlleva en la función √ , ante esta situación y como se observó el caso es posible obtener soluciones invalidas, por ejemplo definiendo el recorrido como todos lo reales siendo que el recorrido partía desde 2.
Analicemos una situación similar:
Resolver: √
(√ ) ( )
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad
Resolviendo y obteniendo x
√
Evaluando x=7 en la ecuación
√
La respuesta x=7 parecía convincente después de un “correcto” trabajo algebraico, sin embargo es una solución inválida pues al sustituirla en la ecuación original se obtiene una contradicción. Es decir en algún paso del procedimiento existe un error.
Explicación:
Sabemos que √ es igual a -2,
Sabemos √ es positivo,
Ningún valor de x resultará en una expresión que sea negativa en este caso -2.
Por lo tanto la solución a la simple ecuación es que “no existen soluciones” o valores para x que nos den como resultado un número negativo.
Como se ha explicado antes el elevar al cuadrado requiere de un cierto análisis para no caer en errores, sin embargo no todo está mal y existe a diferencia de este camino corto, un camino mucho más largo que requiere la articulación tanto algebraica como gráfica de la función, veamos:
Trabajo previo
Durante el desarrollo de clases pasadas la profesora enfatizó dos conceptos claves que dan respuesta a encontrar las restricciones del recorrido:
a) En una actividad acerca de la función ( ) , los alumnos descubrieron que esta función no podía tener inversa ya que cada imagen excepto el cero tenía dos pre-imágenes, si bien la profesora no les explicó directamente el concepto implícito de que la función no era biyectiva, y por lo tanto la función ( ) no tendría inversa. Sin embargo los alumnos si trabajaron y entendieron que restringiendo el dominio y el recorrido, era posible encontrar la inversa y además hicieron el ejercicio práctico de graficar el lado derecho de la parábola,

5. es decir restringiendo el dominio a [ [ . Una vez realizado esto y por medio de doblar una hoja de papel sobre la diagonal , y luego calcando o dibujando la parábola en la otra mitad del papel, es posible obtener la inversa ( ) √ .
b) En otra actividad la profesora logro que los estudiantes descubrieran que el menor valor de , produce también el menor valor de ( ).
Volviendo a la función ( ) √ , y su recorrido encontrado algebraicamente que era ( ) , veamos más gráficamente nuestra función y su supuesta función inversa
( ) √
( )
Realizando el mismo ejercicio de la parábola ( ) , elijamos un brazo de ella es decir restringiendo el conjunto de salida y el conjunto de llegada se tiene que [ ) [ ), obtenido una gráfica así:

6. Ahora veamos los comportamientos de las gráficas de ( ) y su inversa ( ):
Finalmente la función queda determinada de la siguiente manera:
[ [ [ [
6. Conclusión
Existen dos situaciones claves entregadas por el caso:
Primero y provocando un conflicto nos encontramos con el proceso de elevar al cuadrado sin considerar de antemano las restricciones que puede tener. En términos simples si no se consideran restricciones previas el resultado de elevar al cuadrado podría ser obtener soluciones inválidas.
En segundo lugar la necesidad de cambiar de registro de representación (Duval, 2006), pues algunas veces es necesario tener diferentes miradas para una misma situación, cosa que se da de forma sistemática en matemática. Es eso lo que sucede en el caso claramente hay dos posturas defendidas por Fernando en cuanto a lo algebraico y por Arturo en cuanto a lo gráfico. Lo importante de esta postal es que la función como tema principal del caso es un objeto matemático semiótico que posee la propiedad de transformación en diversas representaciones. Sin embargo cambiar la representación de objetos o relaciones matemáticas de un sistema semiótico a otro es siempre un salto cognitivo (Duval, 2006). Es por ello que se tiende a pensar a que son dos posturas distintas, pero que en contraposición de lo que se cree, se debe hacer una aproximación dual de ambas posturas, pues claramente a que por sí solas pueden existir, en conjunto son la herramienta más fuerte para comprender y aprender nuevos aprendizajes.
“Tal vez lo que hizo la profe, en los ejemplos anteriores no se aplican en todos los casos, tal vez no puedo pasar restando en las funciones como se hace en las ecuaciones, o tal vez no es llegar y elevar al cuadrado. Arturo parece que está en lo correcto, es importante hacer la gráfica, y eso que yo tengo mejores notas que él”.
Esta cita demuestra a que pese a cometer un error Fernando busca y establece posibles errores que podrían haber incitado a la equivocación, además hace hincapié a lo importante de realizar gráficas pese a que él y como lo dice el caso es un alumno destacado en el trabajo algebraico.
En conclusión lo que hizo Fernando y que generalmente realizan los alumnos es no articular diferentes posturas para una misma situación. Cosa contraria realizada por Arturo quien como vio que el trabajo algebraico no respondía a sus dudas decidió compararlo con una gráfica, situación clave porque es esta problemática la que da sentido al diálogo entre ellos y al objetivo de la clase buscado por la profesora Patricia.

7. 7. Bibliografía
1) Duval, R. (2006): Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación, La Gaceta de la RSME, 9.1, 143-168.