Este documento presenta el análisis de un caso de modelización de funciones lineales y afines realizado por una profesora. La profesora implementó el modelado de situaciones contextualizadas para que sus alumnos comprendieran mejor los conceptos. Los alumnos debatieron cual modelo se ajustaba mejor a los datos provistos sobre cigarrillos y muertes. Varias propuestas de funciones lineales se presentaron, analizando sus aspectos matemáticos, didácticos y de evaluación.

1. I N F O R M E D E L E C T U R A Nº 2
- CASO: Modelación de Funciones
- AUTOR DEL ANALISIS: Robinson Ignacio De La Fuente Loyola
- RAMO: Taller de estudio de casos
I N T R O D U C C I Ó N
El modelamiento de situaciones en contexto es fundamental en el estudio de las funciones
matemáticas y ha tenido un gran auge en este último tiempo por los beneficios que trae a los
alumnos en la comprensión de los conceptos y de una mejor retroalimentación de tales, además de
ser una forma de llevar la matemática a nuestra cotidianidad. En el siguiente informe se presentara
el análisis de un caso en un curso en el cual la profesora introduce el modelamiento de situaciones
en contexto para es el estudio de funciones lineales y afines y donde se dará diversas situaciones
que fomentaran el debate entre compañeros fomentándose un clima de aprendizaje.
R E S U M E N
Carolina es profesora de un liceo municipal, la cual siempre se ha entusiasmado por que
sus alumnos entiendan la matemática, siempre preocupada enseñanza por lo que siempre procura
tener nuevos métodos y estrategias de enseñanza para que sus alumnos entiendan de mejor manera
los diversos conceptos matemáticos tratados en clases, por lo cual siempre se ha preocupado de
hacer diversos perfeccionamientos en la región. En uno de estos perfeccionamientos se presentaron
problemas de modelización lo cual a ella le pareció una buena estrategia para la enseñanza la cual
implementaría en el aula, por lo cual le pide ayuda a su profesor para que le recomiende artículos
los cuales aborden el tema, el profesor le facilita algunos artículos donde muestra la potencialidad
de los procesos de modelación además en dichos artículo se muestra que para introducir la
modelización es necesario tener una metodología diferente donde el trabajo de los problemas debe
ser a partir de los alumnos, y se propone como estrategia que sean los alumnos quienes realicen el
trabajo y ella solo los guiara con resúmenes del trabajo en clases.
La idea fascino a carolina por lo cual implemento dicha tema de modelización de funciones
para que sus alumnos puedan apreciar la utilización de la matemática en situaciones
contextualizadas en la realidad. Carolina comienza su clase muy entusiasmada y explicándoles a
sus alumnos que trabajaran diferentes problemas matemáticos para introducir las funciones lineales
y afines. Anteriormente habían trabajado el concepto de pendiente y la ecuación de la recta. Ella
presenta el tema “Cuidado con el consumo de cigarrillos, te deteriora tu calidad de vida” ocasión
que ocupa para entregar una elementos transversales en la educación de sus alumnos, les presenta
una tabla con los datos del consumo de cigarrillos y las muertes ocasionados por estos extraídos de
una revista, dándole a sus alumnos diversas actividades para que ellos lograsen encontrar un modelo
que ajuste con mayor precisión dicho fenómeno, al terminar dicha actividad Carolina selecciona a
algunos alumnos para que expongan sus resultados generándose un clima de debates por dichos
alumnos cual tiene la mejor modelo que aproxime la situación dando a conocer sus ideas y sus

2. porqués, surgiendo diversas ideas las cuales fomentan un clima de aprendizaje y retroalimentación
de conceptos y diversas visiones de lo que es un modelo matemática de una situación en contexto.
O B J E T I V O S D E L C A S O
- Discutir la metodología de enseñanza
- Discutir la forma de evaluación de los contenidos vistos en clases
- Analizar las estrategias utilizadas por los alumnos para buscar modelo que se ajuste de una
mejor forma al problema propuesto
- Dar una resolución del problema
C O N F L I C T O
El presente caso tiene como conflicto principal la contraposición entre los diversos
modelos propuestos para modelar el problema propuesto y cual se ajusta mejor al fenómeno
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S M A T E M Á T I C O S
En el presente caso existen 3 posiciones con respecto al tema del modelamiento del fenómeno
propuesto y cual se ajusta mejor a los datos, dos de ellos con fuertes argumentos matemáticos
expuestos por Arturo y Julio, y por otra parte la propuesta de mariana que si bien no presenta
fuertes argumentos matemáticos se visualiza una impresión del problema muy amplia.
Analizaremos los aspectos matemáticos de cada alumno, para ir desglosando sus ideas de una
forma clara.
- Análisis de la propuesta de Julio
Julio partió graficando los datos para tener una mejor representación visual de lo que
modelaría y dándose cuanta de la semejanza que tienen estos puntos a una función lineal por lo
que recordó la forma de dicha ecuación “y=ax+b”, se puede destacar que supo diferenciar entre una
función lineal y una afín lo cual nos indica un dominio en estos conceptos de funciones.

3. Posteriormente se dio dos puntos, (0,30) y (5,132) , para poder calcular la pendiente y la ecuación
de la recta que pasa por esos puntos , no siendo una mala estrategia ya que con esos puntos logra
formular un delo de la situación llegando a la formula f(x)=20,4x+30.
Aspectos favorables a destacar
- Dominio del concepto de funciones lineal y afín
- Manejo del cálculo de la pendiente de una recta
- Dominio en el cálculo de la ecuación de la recta
- Dominio de los conceptos que involucran las funciones lineales como coeficientes de posición
Aspectos Negativos a destacar
- No comprobación si el modelo de ajustaba de forma correcta al fenómeno propuesto
- No verificar si existe error en la mediación de su modelo
- No comparación de los datos con su modelo en una representación grafica
Representación gráfica del modelo propuesto por Julio v/s el fenómeno descrito
- Análisis de la propuesta de Gerardo
Gerardo posterior a la presentación de Julio astutamente decide comprobar el margen de error que
podría presentar Julio para analizar si realmente su modelo se ajustaba de forma correcta al
fenómeno dándose cuenta que presentaba un gran error

4. Modelo de julio f(x)=20,4x+30, reemplazando en x=15 obtiene que:
푓(15) = 24,4 ∗ 15 + 24 = 336
Dándose cuenta que existe una gran diferencia entre el modelo real y el propuesto por su compañero
de alrededor 80 caso, lo cual lo lleva a cambiar los puntos para calcular su modelo y ver que se
ajustara mejor al fenómeno.
Luego Arturo se dio dos puntos para obtener su nuevo modelo los cuales eran (30,447) y (5,132),
calculado la pendiente y la ecuación de la recta llega al presente modelo:
푓(푥) = 12,6푥 + 30
el cual dice que próxima mejor el fenómeno porque reviso los datos y los comparo con los reales
como lo muestra la siguiente tabla:
x y Error
0 30 0
5 93 39
10 156
15 219 37
20 282
25 345
30 408 39
35 471
40 534
45 597 9
50 660
60 786
Luego de comprar los resultados con los de julio logro deducir que su modelo era mejor que el de
julio y que se ajustaba de mejor manera a los datos, lo cual demuestra un buen dominio de las
representaciones gráficas y del cambio y de pasar de una forma a otra lo que implica una buena
asimilación de los conceptos lo cual lo lleva una respuesta mejor que la de su compañero.
Aspectos favorables a destacar
- Dominio del concepto de funciones lineal y afín
- Manejo del cálculo de la pendiente de una recta
- Dominio en el cálculo de la ecuación de la recta
- Dominio de los conceptos que involucran las funciones lineales como coeficientes de posición
- Manejo en el cambio de representaciones graficas (lo que hace denotar su manejo en los
conceptos)
- Análisis de la propuesta de Mariana
Mariana llego al mismo resultado de Arturo pero se dio cuenta que si cambiaba el coeficiente
de posición de la función propuesta por Arturo logaría una mejor aproximación del fenómeno pero
no sabe por qué sucede eso por que como dice ella busco “b” “al ojo”, sin una propuesta más
matemáticamente argumentada llegando a la siguiente función que describe el modelo

5. 푓(푥) = 12,6푥 + 50
Luego para verificar que su modelo era mejor que el de Gerardo hizo una tabla para comprar
dichos resultados con el fenómeno
x y Error
0 50 20
5 113 19
15 239 17
30 428 19
45 617 11
50 680
60 806
Pero sin embargo mariana se dio cuenta que si unía todos los puntos tendría un modelo que se
ajusta mayormente a la situación
Aspectos favorables a destacar
- Dominio del concepto de funciones lineal y afín
- Manejo del cálculo de la pendiente de una recta
- Dominio en el cálculo de la ecuación de la recta
- Manejo en el concepto de coeficiente de posición
- Dominio de los conceptos que involucran las funciones lineales como coeficientes de posición

6. Aspectos Negativos a destacar
- No representación de su modelo en forma grafica
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S D I DÁ C T I C O S
Desde una mirada didáctica podemos destacar que la profesora Carolina es una excelente
profesora ya que ella siempre está profundizando en sus estudios y buscando nuevos métodos y
estrategias para que sus alumnos entiendan mejor los conceptos que ella trata de enseñar.
Podemos apreciar que ella se preocupa por sus alumnos por no llega e implementa el
modelar si no que pide asesoría a su profesor de especialización pidiéndole ayuda recomendándole
artículos que tratasen del tema.
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S E V A L U A T I V O S
Ahora si nos enfocamos en la forma de evaluar presente en el caso podemos apreciar que la
profesora maneja varias formas de detectar si sus alumnos comprendieron los conceptos tratados en
clases, primero que nada realizando una actividad grupal donde se pueden contraponer varias ideas
entre los integrantes de los grupos pero que al final de la hora llegan a un consenso unitario para
responder a lo que se pregunta similar a lo que se ocupa en el modelo de enseñanza japonés en
que la estrategia consiste en un sistema de trabajo colaborativo, basado en la observación y estudio de
clases entre pares que busca elevar los estándares y objetivos pedagógicos del trabajo en el aula.,
posteriormente un aspecto muy positivo que se puede destacar de la metodología de la profesora es
que ella saca grupos al azar para expongan sus resultados ante el grupo curso para así generar
debates entre las diversas posturas que se pueden dar tal como la vista en el caso que se dio una
contraposición las diversos modelos que lograron obtener una mejor aproximación de fenómeno
que están tratando.
P R O P U E S T A M A T E M Á T I C A
Cuando interpolamos buscamos una función que pase o contenga a cada uno de los datos, pero
muchas veces esto no es posible, de este modo se determina un modelo matemático que se
aproxime a los datos. Este modelo lineal recibe el nombre de recta de ajuste para los datos.
Como la recta de ajuste busca aproximar los datos, es normal que existen diferencias entre los datos
reales y estimados con la recta de ajuste.
El error de la recta de ajuste para un dato es calculado de la siguiente manera: La diferencia en
valor absoluto del valor estimado y el valor real de 푦
∗|
|푦푘 − 푦푘
Luego buscamos todas las combinaciones que se den con los puntos dados en la tabla:
Cigarrillos/día Muertes/100000
0 30
5 132
15 256
30 447

7. 45 606
Y calculamos las ecuaciones de las rectas y vemos sus errores para analizar cuál es el mejor modelo
que se ajusta a estos datos de mejor manera.
Ecuación 1, Puntos (0,30)(5,132)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 30 0 123,4
5 132 132 0
15 256 336 80
30 447 642 195
45 606 948 342
F(x) = (102/5)x + 30
Ecuación 2, Puntos (0,30)(15,256)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 30 0 32,73333333
5 132 105,3333333 26,6666667
15 256 256 0
30 447 482 35
45 606 708 102
F(x) = (226/15)x + 30
Ecuación 3 , Puntos (0,30)(30,447)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 30 0 19,9
5 132 99,5 32,5
15 256 238,5 17,5
30 447 447 0
45 606 655,5 49,5
F(x) = (139/10)x + 30

8. Ecuación 4, Puntos (0,30)(45,606)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 30 0 21
5 132 94 38
15 256 222 34
30 447 414 33
45 606 606 0
F(x) = (64/5)x + 30
Ecuación 5, Puntos (5,132) (15,256)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 70 40 13,4
5 132 132 0
15 256 256 0
30 447 442 5
45 606 628 22
F(x) = (62/5)x + 70
Ecuación 6, Puntos (5,132)(30,447)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 69 39 14,2
5 132 132 0
15 256 258 2
30 447 447 0
45 606 636 30
F(x) = (63/5)x + 69
Ecuación 7, Puntos (5,132)(45,606)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 72,75 42,75 13,4
5 132 132 0
15 256 250,5 5,5
30 447 428,25 18,75
45 606 606 0

9. F(x) = (237 /20)x + 291/4
Ecuación 8, Puntos (15,256)(30,447)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 65 35 14,06666667
5 132 128,6666667 3,33333333
15 256 256 0
30 447 447 0
45 606 638 32
F(x)=(191/15)x+65
Ecuación 9, Puntos (15,256)(45,606)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 81 51 14,86666667
5 132 139,3333333 7,33333333
15 256 256 0
30 447 431 16
45 606 606 0
F(x)=(35/3)x+81
Ecuación 10, Puntos (30,447)(45,606)
x y resultado aproximación error Error Promedio
0 30 129 99 36,2
5 132 182 50
15 256 288 32
30 447 447 0
45 606 606 0
f(x)=(53/5)*x+129
Luego concluimos que las ecuaciones mejor aproximan el fenómeno son la ecuación número 5
F(x) = (62/5)x + 70 y la ecuación número 7 F(x) = (237/20)x + 291/4 ya que son las
ecuaciones que presenta un error promedio más pequeño con respecto a los datos originales y que
por lo tanto aproximan mejor el fenómeno y con respectos a las otras ecuaciones

10. C O N C L U S I Ó N
1- Los diversos cambios de representaciones ayudan a los alumnos a tener una mejor adhesión
de los contenidos conceptuales sobre el objeto matemática en el cual se trabaja.
2- La modelización es parte fundamental del proceso de aprendizaje de la unidad de funciones,
ya que permite acercar la matemática a situaciones reales a los alumnos, y lograr una mayor
comprensión de los conceptos vistos en clases.
3- El estudio de problemáticas escolares es fundamental en nuestra formación como futuros
docentes ya que nos prepara para futuros problemas que se puedan dar y nos enseña a
afrontarlos de la mejor manera posible.
B I B L I O G R A F Í A
Biblioteca del Congreso Nacional de Chile. (2007). Modelo japonés clave para mejorar enseñanza
matemática en Chile. Recuperado el 2014 de Septiembre de 2014, de
http://asiapacifico.bcn.cl/noticias/modelo-japones-clave-para-mejorar-ensenanza-matematica-
en-chile
Pontificia Universidad católica de Chile. (2011). Modelo Japonés . Recuperado el 01 de Septiembre
de 2014, de http://www.uc.cl/es/la-universidad/noticias/4052-emprendimiento-nacido-en-
la-uc-compite-en-estados-unidos