analisis numericos saia luis prado uft

1. LUIS PRADO
C.I. 19.883.669

2. Interpolación Polinómicas
 Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede
suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una
ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa
diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y,
naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También
puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo
suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la
función a partir de otros ya conocidos.
 Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es
la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores
conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si
se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos deinterpolación
polinómica.
 Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se
encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que
estamos haciendo extrapolación.
 Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del
error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica.

3. Tabla De Diferencias
 Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos
valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es
determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de
datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de
puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el
Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el
intervalo en cuestión.
 Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos
puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de
ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta
conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en
forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se
deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de
las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las
diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente
tabla es una tabla típica de diferencias

4. Interpolación Usando Splines
 Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen
la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de
interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es
capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una
función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes.
Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con
las siguientes propiedades:
 s(x) es polinomio cúbico en .
 existen y son continuas en .
 s(x) interpola a la función f en los datos .
 s(x) es continua en el intervalo.
 Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y
4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de
4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo
condiciones de frontera adicionales en s(x).
 Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal
 Para entender las diferentes formas de interpolación

5. Polinomios Interpolantes de
Newton-Gregory y Gauss
 Polinomio Interpolante de Gauss
 Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del
Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias
tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del
Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto
de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.
 En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de
zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia
abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son
tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego
hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se
tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de
Gauss.
 Para entender las diferentes formas de interpolación .

6. Aplicación De Los Métodos Numéricos De
Interpolación En La Resolución De Problemas.
 Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de
técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la
interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-
Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y
debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
 Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en
las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de
onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones
corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale
decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No
entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite
son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas
soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el
caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que
vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y
típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada.
En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales.
Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será
extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios
de Hermite.

7. Polinomio Interpolante De
Lagrange
 Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase
por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn
es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.
 Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se
conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que
determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la
interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y
se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple
terminamos si no, se repite el procedimiento.
 Para entender las diferentes formas de interpolación