Articulo17

MITOS EN EL ANÁLISIS DE CIMENTACIONES
Pablo Caiza Sánchez (1)
, Myr. Alex Vinueza (1)
(1)
Ingeniería Civil, Escuela Politécnica del Ejército
pcaiza@espe.edu.ec
avinueza@espe.edu.ec
RESUMEN
Se pone en duda un procedimiento tradicional para calcular las cargas en zapatas de
cimentación aisladas, se usa un modelo sencillo para exponer las ecuaciones que
controlan el comportamiento estructural y posteriormente se modela el giro de la zapata.
Se usan diferentes modelos, empezando con los que suponen empotramiento a nivel de
suelo y de zapata, con y sin elementos rígidos. Se continúa con otros que incluyen a la
zapata y al suelo y se finaliza con modelos simplificados que usan resortes. Estos últimos
permiten captar el comportamiento de las zapatas de mejor forma que la tradicional. Se
incluye una aplicación real.
Palabras clave: análisis de zapatas, punto de empotramiento, resortes lineales y de
rotación, mecanismo de colapso.
1. INTRODUCCIÓN
Este artículo trata de las dificultades de modelar adecuadamente las zapatas de
cimentación, para lo que se empieza describiendo las características usuales que un
ingeniero calculista utiliza para su análisis, las que son explicadas matemáticamente. Lo
anterior conduce a una serie de interrogantes las que son resueltas por medio de una
serie de modelos adicionales.
El análisis de zapatas es un procedimiento muy bien establecido del cual se dispone de
innumerables fuentes bibliográficas de gran valor(1),(4),(5)
. Sin embargo en él se hace
énfasis en el dimensionamiento de la zapata por lo que las cargas aplicadas se
consideran datos iniciales. No existen por tanto indicaciones sobre los modelos de los
que se obtuvieron estas cargas, más allá de que se supone que éstos deben representar
adecuadamente la realidad. Una de las características básicas que usualmente tienen es
la de restricciones equivalentes al empotramiento a nivel del suelo. Dado que
efectivamente la estructura se extiende hasta la zapata y que además hay cadenas,
usualmente se realiza la siguiente distribución de momentos por rigideces para calcular el
momento en cabeza de zapata. Obsérvese además la Figura 1 a continuación:

XIX JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL
Figura 1 Nomenclatura para la distribución de momentos por rigideces
Para empezar se determina un factor de distribución fd de acuerdo a la ecuación (1):
)1(
∑
=
k
Mp
fd
donde Mp es el momento en pie de columna, Σk es la sumatoria de rigideces I/L de cada
uno de los elementos que convergen en el nudo (cadenas y extensión de la columna
hasta la zapata), I es inercia y L la longitud del elemento estructural.
El momento M se obtiene de la ecuación (2):
)2(*kcifdM =
donde kci es la rigidez I/L de la columna desde el nivel del suelo hasta la zapata.
El momento en la cabeza de la zapata M’ se calcula usando la ecuación (3):
)3(
2
`
M
M =
Puesto que la rigidez de las cadenas es normalmente baja, casi todo el momento de pie
de columna se transmite a la parte inferior del nudo y por tanto el que llega a la cabeza de
la zapata es aproximadamente la mitad de éste. Diseñarlas con este momento da lugar a
dimensiones moderadas y a que toda la superficie de la zapata esté comprimida. Pero,
¿es real esta distribución de momentos? Este artículo se propone mostrar las ecuaciones
que la controlan y demostrar que el procedimiento anterior es inadecuado. Sin embargo
las estructuras con zapatas diseñadas de esta forma errada, han mostrado un
comportamiento estable, pues sencillamente aún están de pie. Se podría argüir que no
han sido sometidas a una carga crítica significativa tal como la de un sismo. Pero se
podría buscar otros motivos tal como que los momentos reales son menores a los
calculados en los modelos tradicionales. En efecto, hay dos suposiciones básicas en
ellos: primero, el punto de unión de la zapata con la superestructura es un empotramiento
y segundo, la zapata produce sobre el suelo esfuerzos lineales. Ambas son incorrectas
puesto que la zapata, sometida a un momento, gira, pero además, de acuerdo al tipo de
suelo y a la rigidez de la zapata, los esfuerzos están distribuidos de manera no lineal(5)
.
Observe la Figura 2 a continuación donde se muestran los esfuerzos debajo de zapatas
rígidas en suelos arenosos y arcillosos.
Figura 2 Esfuerzos en suelos arenosos y arcillosos bajo zapatas rígidas

ING. M.SC. PABLO CAIZA Y MAYR. ALEX VINUEZA
Para determinar de manera más certera su comportamiento parece necesario recurrir a
modelos más complejos. En un primer momento se tratará de modelar el giro de la
zapata. Para ello se usarán por ejemplo resortes elásticos para representar el suelo. Es
decir aún se supone un comportamiento lineal del mismo. Dado que el giro de la zapata
disminuirá el momento que soporta, ya que hay mayor flexibilidad, también se provocará
una redistribución de momentos en la superestructura.
A continuación se desarrolla esta idea y se supone que en un caso extremo el pie de las
columnas, debido a la rotación de la zapata, permitirá libremente giro, y por tanto el
momento será cero. Lo anterior deberá producir una redistribución muy marcada de
momentos en la superestructura formada por columnas y vigas. Continuando con este
planteamiento: la columna, por su rigidez menor, resistirá menores momentos y, por
equilibrio, los extremos de las vigas también resistirá momentos reducidos. De aquí el
momento al centro de la luz de la viga será mucho mayor, lo que probablemente producirá
la formación de una rótula plástica. Si este es el caso, habrá una nueva redistribución de
momentos, que puesto que las bases de las columnas en determinado instante volverán a
estabilizarse, vale recordar que los factores de seguridad que se usan en suelos son del
orden de 3, se concentran allí. Por tanto éste es el probable lugar de formación de las
próximas rótulas plásticas lo que finalmente conduce a la estructura a su colapso. Este
mecanismo concentra daño tan sólo en la planta baja de una edificación, desperdiciando
la capacidad del resto de elementos estructurales.
Adicionalmente cabe razonar que ante cargas sísmicas los elementos dentro del suelo no
se deformarían, pues se moverían formando parte de éste. Se obtendría por tanto una
deformada que es similar a la de suponer empotramiento a nivel de piso. Sin embargo se
sabe que el suelo sí se deforma.
Adicionalmente debe recordarse que las cargas que se usan en estos análisis son
estáticas, aún las que representan sismo, no se considera su variabilidad en el tiempo.
Pero para hacer un análisis en el tiempo y que incluya la interacción suelo-estructura se
recomienda en primer lugar determinar su necesidad. En este artículo se hará énfasis
únicamente en la rigidez rotacional del suelo y la estructura.
La relación i de la rigidez rotacional del suelo a la de la estructura se calcula con la
ecuación (4)(7)
:
)4(
L
EI
K
i θ=
Donde
θ
K es la rigidez rotacional del suelo, E es el módulo elástico de la columna de
primer piso de la estructura, incluyendo la distancia hasta la cabeza de la zapata, I su
inercia y L su longitud.
De acuerdo al valor de i se decide el tipo de análisis a realizar como se observa en la
Tabla 1:
Tabla 1 Tipos de análisis a realizar de acuerdo al parámetro i(7)
No apto para cimentar Considerar efecto de
interacción
Analizar con base
empotrada
i < 5 5 < i < 50 i > 50
Vale la pena recordar los parámetros a considerar en el caso de interacción suelo-
estructura, los que se resumen en la Tabla 2(10)
:

Tabla 2 Valores para los resortes que representan el suelo
Dirección Rigidez Amortiguamiento Masa
Vertical
μ−
=
1
4Gr
k 379.1 rkρ
3
50.1 rρ
Horizontal
( )22
21
2.18
μ
μ
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
Gr
308.1 rkρ
328.0 rρ
Rotación (Kθ) 37.2 Gr 347.0 rkρ
549.0 rρ
Torsión 33.5 Gr 511.1 rkρ
570.0 rρ
r=radio de una zapata circular, G=módulo de corte, μ=coeficiente de Poisson, ρ= densidad
del suelo= γ/g=peso específico/aceleración de la gravedad.
Para el caso de zapatas rectangulares(9)
:
( )
( )
)6(
13
75.0
4
8
)5(
1
5.0
4
μ
π
θ
μ
π
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
=
zap
I
G
K
AG
k
Donde A es el área de la zapata e Izap la inercia de la zapata.
Para calcular G se usa la ecuación (7)(3)
:
)7(2ρ
s
vG =
Donde vs es la velocidad de las ondas de corte.
El CEC2000 incluye los siguientes valores, ver Tabla 3(2)
:
Tabla 3 Valores del CEC2000 para la velocidad de las ondas de corte
Suelos cohesivos Velocidad de ondas de corte (m/seg)
Blandos < 200
Semiblandos 200 – 400
Duros 400 – 750
Muy duros > 750
Suelos granulares Velocidad de ondas de corte (m/seg)
Sueltos < 200
Semidensos 200 – 750
Densos > 750

Para los valores del coeficiente de Poisson se pueden usar los de la Tabla 4(3)
:
Tabla 4 Valores representativos del coeficiente de Poisson
Tipo de suelo μ
Arcilla 0.5
Arena 0.3-0.35
Roca 0.15-0.25
Para el peso específico de los suelos se puede usar como referencia la Tabla 5(1)
:
Tabla 5 Peso específico de los suelos
Clase de suelo Peso específico (Kg/m3
)
Roca dura 2800 a 3000
Esquistos o roca blanda 1800 a 2000
Grava con arena compacta 2000
Arena fina seca 1700
Arena arcillosa mediana y densa 1900
Arcilla blanda 1700
Limos 1700
Fango, lodo o turba inorgánica 900
Nótese que la preocupación sobre el comportamiento de las zapatas surge ante cargas
sísmicas las cuales son de ocurrencia en intervalos grandes de tiempo, ante cargas
verticales las dimensiones de las zapatas deberían ser suficientes. Lo anterior lleva
finalmente a plantearse la pregunta de si efectivamente los diseños tradicionales de
zapatas son satisfactorios sobre todo si ocurre un sismo y además si es necesaria la
modelación de las zapatas junto a la estructura. Finalmente el modelo debería ser lo
suficientemente sencillo para ser utilizado en la práctica diaria.
2. Métodos y Materiales
Para determinar la distribución de momentos en pórticos de hormigón armado
considerando o no la zapata de cimentación se usará como modelo inicial un pórtico con
las características indicadas en la Figura 3.
Figura 3 Características del modelo inicial

El modelo 2 supondrá en cambio empotramiento a nivel de zapata.
Figura 4 Modelo con empotramiento a nivel de zapata
Los modelos 3 y 4 permitirán definir si el vástago de columna se deforma o no dentro del
suelo, diferenciándose en que el primero supone que la indeformabilidad es propia del
vástago de columna al suponer que su inercia es 10 veces mayor y el segundo que es
debida al confinamiento que da el suelo, representado por medio de resortes.
o
Figura 5 Modelos con diferentes formas de representar la “indeformabilidad” de la
estructura bajo el nivel de superficie del suelo
El modelo 5 incluirá la zapata con elementos shell y el suelo por medio de resortes
verticales.
Figura 6 Modelo con zapata y resortes verticales
Finalmente los modelos 6 y 7 representarán el giro de la zapata por medio de resortes, en
el primer caso tanto vertical como a giro, y en el segundo solo a giro.

Figura 7 Modelos con resortes
Se establece la siguiente secuencia de verificaciones:
1. Momentos en base de columna debido a carga vertical, modelo empotrado a nivel de
suelo (1).
2. Momentos en cabeza de zapata debido a carga vertical, modelo empotrado a nivel de
zapata (2).
3. Momentos en cabeza de zapata debido a carga lateral, modelo empotrado a nivel de
zapata (2).
4. Deformaciones en otros modelos suponiendo que no existe deformación de los
elementos estructurales dentro del suelo (modelos 3 y 4).
5. Redistribución de momentos debido a giro en zapata, modelo en zapata modelada con
elementos shell y suelo con resortes elásticos (5).
6. Redistribución de momentos debido a giro en zapata, modelo con zapata modelada
con elementos resorte.
Los resortes verticales y de giro se modelan usando el coeficiente de balasto Sz de
acuerdo a referencia (9).
)9(*
)8(*
IoSK
ASzk
θθ =
=
donde k es resorte vertical, Kθ resorte para giro, A es el área de la cimentación, Io es la
inercia en planta de la zapata. Además Sθ es un coeficiente que se calcula con la
siguiente ecuación(9)
:
)10(2SzS =θ
Se observa que este tipo de coeficiente sólo toma en cuenta el tipo de suelo y no la
geometría de la cimentación, por ejemplo el beneficioso efecto confinante por profundidad
de cimentación.
Los valores recomendados en referencia (9) para el coeficiente de balasto, redondeados,
son los siguientes:
Tabla 6 Valores recomendados para el módulo de balasto
Tipo de suelo Esfuerzos estáticos
admisibles σ (T/m2)
Sz (T/m3) Sz=f(σ) (T/m3)
Blando -15 -3000 200* σ
Medio 15-35 3000-5000 100* σ +1500
Duro 35-50 5000-10000 333* σ +6667
Roca 50- 10000

Vale la pena recordar que un valor comunmente usado para el módulo de balasto es 120
veces el esfuerzo estático admisible σ, donde σ está en T/m2.
Finalmente se indica que el programa usado para los modelos es SAP2000 v11.0.0
3. Resultados
El modelo 1 da un momento de 0.86 T-m en pie de columna a nivel del suelo por carga
vertical y 0.58 T-m por carga lateral. Usando la distribución de momento por rigideces se
tiene el siguiente valor de M´, en cabeza de zapata:
CARGA Mp fd M M´
Vertical 0.86 1458 0.82 0.41
Horizontal 0.58 983 0.55 0.28
Ahora con el modelo 2, que supone empotramiento a nivel de zapata y adicionalmente
impidiendo el desplazamiento horizontal a nivel de cadena, en el caso de cargas
verticales, se obtiene M´= 0.26 T-m. Si se permiten los desplazamientos horizontales
M´=0.13 T-m. Se podría concluir que el procedimiento simplificado tradicional da inclusive
resultados conservadores.
La situación cambia en el caso de cargas sísmicas, pues en el modelo 2, M´=0.68T-m,
más del doble del valor obtenido por el procedimiento tradicional (0.28 T-m).
Vale la pena recordar que los momentos M pueden también calcularse usando la
siguiente ecuación de la elástica(6)
:
)11(` MfbakM +Δ++= θθ
Donde k=4EI/L, a=2EI/L, b=6EI/L2
, θ es el giro en el extremo en que se calcula el
momento, θ´ giro en el extremo opuesto, Δ desplazamiento transversal y Mf momento de
empotramiento perfecto.
El uso de esta ecuación, gracias a los desplazamientos y giros calculados en el modelo,
muestra que la diferencia en el comportamiento por cargas verticales y laterales se debe
al término b Δ.
Si se supone que la columna embebida en el suelo tiene 10 veces la rigidez usual, modelo
3, y además con carga lateral, el momento en cabeza de columna será 0.68 T-m, y, si se
supone restringido a desplazamiento lateral por medio de resortes elásticos, modelo 4,
0.26 T-m, que es el mismo valor obtenido en el modelo 2. Considerando tan sólo estos
valores se observa que el más acertado es el que considera el suelo por medio de
resortes. Sin embargo el valor de rigidez que se usó es 100 veces el recomendado por la
teoría elástica, es decir que el suelo en realidad no ejerce una restricción significativa a la
deformada de la columna.
A continuación se observa que en el modelo 5, que usa zapatas cuadradas de 1.2 m de
lado y 0.35 m de espesor, con resortes verticales de 3000 (T/m2)/m, obtenido a partir de
la ecuación (4) con esfuerzo admisible del suelo de 15 T/m2, el momento en cabeza de
zapata es 0.40 T-m, una reducción del 41% respecto a 0.68 T-m. Otros valores se
observan en la Tabla No.5.
En el modelo 6 el resorte vertical tiene un valor de 4320 T/m y el rotacional 1036.8 T-
m/rad, el mismo valor usado para el modelo 7. Los resultados de momentos,
hundimientos y giros en cabeza de zapata también se muestran en la Tabla 7:
Kvi Kvd Kci Sum k
0 0.00003 0.00056 0.00059

Tabla 7 Valores en cabeza de zapata
MODELO M (T-m) θ Δz % de
momento
2 (empotrado a nivel de
zapata)
0.68 0 0 +17
5 (incluye zapata) 0.40 0.00076
7
±0.00010
4
-31
6 (resortes vertical+rotación) 0.51 0.00048
7
±0.00009
2
-12
7 (sólo resorte rotación) 0.49 0.00047
6
0 -16
La última columna de la Tabla 7 es el porcentaje de diferencia respecto al momento en pie
de columna del modelo 1, empotrado a nivel de la superficie del terreno. Los porcentajes
son significativos.
Interesa en este punto conocer la distribución de momentos para los diferentes modelos
para lo que se presenta la Figura 8:
Figura 8 Momentos en Modelos 1, 2, 5 y 7 ante cargas laterales
Se observa que si bien los modelos más completos muestran que sí hay una reducción de
momento en la cabeza de zapata, también es evidente que esos momentos se han
redistribuido, aumentando los de la viga. Si se supone que la cabeza de la zapata está
articulada la nueva distribución es aún más evidente.
A continuación se probará la siguiente estructura (ver Figura 9) suponiendo
empotramiento a nivel de superficie del suelo y luego modelando las zapatas pero
únicamente con resortes de rotación alrededor de los ejes horizontales X y Y.
Figura 9 Modelo para una estructura de tres pisos

Para determinar la rigidez de los resortes a rotación se consideran los siguientes
parámetros: σadm=20 T/m2, las zapatas son de 1.10x1.10 metros en las esquinas
exteriores, 1.20x1.20 metros en el perímetro y 1.40x1.40 metros al interior de la
estructura. Las rigideces rotacionales son 1033,1742 y 4392, respectivamente. A
continuación en la Tabla 8 se muestran los momentos en pie de columna a nivel del suelo
y a nivel de cabeza de zapata para los dos modelos para sismo en X.
Tabla 8 Momentos My en nudos de base por sismo en x (T-m)
UBICACIÓN Empotrado en superficie del
suelo
Con resorte rotacional
Esquina interior 9.88 5.84
Esquina exterior 7.92 3.55
Perimetral 8.05 9.42
Interior 9.82 9.66
Se observa una disminución de los momentos para el modelo con resortes en las
esquinas, no significativa en el interior y un aumento para un punto perimetral.
En la Tabla 9 se muestran los momentos en vigas exteriores e interiores de la primera
planta así mismo para los dos modelos.
Tabla 9 Momentos My para vigas en primera planta por sismo en x (T-m)
TIPO DE VIGA 1 2 3 4
EXT (modelo empotrado) 7.23/6.63 6.69/6.60 7.51/8.18
EXT (modelo con resorte
rotacional)
9.58/8.71 8.73/8.59 9.81/10.75
INT (modelo empotrado) 6.98/6.41 6.50/6.44 6.82/6.85 6.42/7.08
EXT (modelo con resorte
rotacional)
9.50/8.64 8.69/8.61 9.11/9.13 8.64/9.58
Se observa un aumento en los momentos que deben resistir las vigas.
Finalmente es importante determinar si es necesario un análisis en el tiempo incluyendo
interacción suelo estructura.
Partiendo de los siguientes parámetros: μ=0.3, vs=100 m/s, γ=1700 Kg/m3, se obtiene la
relación “i” entre la rigidez rotacional del suelo y la de la columna . Se observa que los
valores están ligeramente por arriba de 5, lo que indica la necesidad de considerar
interacción suelo-estructura.
4. Conclusiones
Se ha realizado una serie de modelos con el fin de determinar la necesidad de considerar
dentro del modelo estructural la zapata. Se empezó con un modelo con empotramiento a
nivel de superficie del suelo. Posteriormente se estudió otro con empotramiento en
cabeza de zapata. A continuación se verificó la “indeformabilidad” de la estructura por
debajo del nivel de suelo mediante otros dos modelos. Posteriormente se usó uno más
que incluía la zapata modelada con elementos finitos sobre resortes elásticos. Para
concluir, la zapata se modeló con un resorte vertical y otro rotacional y, finalmente,
únicamente con uno rotacional.
Los resultados alcanzados permiten entregar las siguientes conclusiones:

1. El método tradicional de distribución de momentos por rigideces es útil únicamente en
el caso de cargas verticales. Si se consideran las cargas sísmicas, no es capaz de
realizar una distribución de momentos adecuada.
2. En los modelos estructurales es necesario incluir un resorte rotacional a nivel de
cabeza de zapata, con el fin de representar la rotación de la zapata.
3. Lo anterior produce una redistribución de momentos: reduciéndolos en cabeza de
zapata pero aumentándolos en las vigas, sobre todo del primer piso.
4. Para determinar la importancia de la interacción suelo-estructura es posible realizar
chequeos básicos de parámetros tales como la relación de inercia rotacional del suelo
respecto a la de la estructura.
5. El uso de valores basados en coeficientes de balasto, si bien aproximados, ayudan a
determinar las características de comportamiento del suelo.
6. En los estudios de suelos hay que solicitar valores como el coeficiente de Poisson,
velocidad de las ondas de corte, peso específico del suelo, módulo de corte, con el fin
de determinar los resortes que representan el suelo de mejor forma.
7. Los procedimientos tradicionales son necesarios para el cálculo de cargas verticales
pero no suficientes para cargas sísmicas en el cálculo de zapatas.
8. Las estructuras actuales deben ser modeladas incluyendo las zapatas y el suelo
representado con un resorte rotacional.
Referencias
1. Fratelli, María Graciela, “Suelos, Fundaciones y Muros”, México, 2003.
2. Instituto Ecuatoriano de Normalización, “Código de Práctica Ecuatoriano CPE INEN
5:2001”, Parte 1. Capítulo 12, Quito, 2001.
3. Prakash, Shamsher, “Soil Dynamics”, McGraw Hill, 1981.
4. Peck, Hanson, Thornburn, “Ingeniería de Cimentaciones”, 2. Edición, Editorial Limusa,
México, 1983.
5. Coduto, Donald, “Foundation Design, principles and practices”, Prentice Hall, 1994.
6. Aguiar, Roberto, “Análisis matricial”, Ediespe, 1994.
7. Robalino, Carolina, “Capacidad sísmica de estructuras considerando la interacción
suelo-estructura”, Tesis de Grado, ESPE, 2006.
8. Nilson, Arthur, “Diseño de estructuras de concreto”, 12. Edición, Mc Graw Hill, 1999.
9. Das, Braja, “Fundamentals of soil dynamics”, Elsevier, 1983.
10. Wilson, Edward, “Static & Dynamic Analysis of Structures”, 4. Edición, CSI, 2004.

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