Superficies cuadráticas

1. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
Semana No. 4: Superficies cuadráticas (o cuádricas)
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
Agosto 15 de 2017
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2. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
Una superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de la forma
Ax2
+ By2
+ Cz2
+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0,
con A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ∈ R.
Salvo rotación o translación, la ecuación se reduce a una de las siguientes formas
A x2
+ B y2
+ C z2
+ J = 0 o A x2
+ B y2
+ I z + J = 0
En palabras, podemos decir que las superficies cuadráticas son las generelizaciones de
las secciones cónicas.
Una traza de la superficie S es la curva que se obtiene como la intersección de S con 2 / 7

3. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
La esfera
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
(x − h)2
+ (y − k)2
+ (z − k)2
= r2
,
la superficie es una esfera de radio r y centro C(h, k, l).
En este caso, las trazas son circunferencias.
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4. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
El elipsoide
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
+
(z − k)2
c2
= 1,
la superficie es un elipsoide de centro C(h, k, l).
En este caso, las trazas son elipses y/o circunferencias.
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5. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
El hiperboloide
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
−
(z − k)2
c2
= 1,
la superficie es un hiperboloide de una hoja de centro C(h, k, l).
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
−
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
+
(z − k)2
c2
= 1,
la superficie es un hiperboloide de dos hojas de centro C(h, k, l).
En este caso, las trazas horizontales (con planos z = u) son elipses y las verticales son
hipérbolas (con planos x = v o y = w). 5 / 7

6. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
El paraboloide
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
z
c
=
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
,
la superficie es un paraboloide elíptico de vértice V (h, k, l).
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
z
c
=
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
,
la superficie es un paraboloide hipérbolico de centro C(h, k, l).
En ambos casos, las trazas horizontales (con planos z = u) son elipses y las verticales
son elipses e hipérbolas, respectivamente. 6 / 7

7. Forma general de la ecuación de una superficie cuadráticas
La esfera
El elipsoide
El hiperboloide
El paraboloide
El cono
El cono
Si la ecuación de la superficie se puede llevar a la forma estándar
(z − k)2
c2
=
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
,
la superficie es un cono de vértice V (h, k, l).
En este caso, las trazas horizontales son elipses o circunferencias y las verticales son
rectas secantes.
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