1. Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente Matemáticas I
7 Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en un punto genérico. ¿Qué condiciones debe verificar este punto?
, , Condiciones
,
2 2
0
,
3 2 10 10
0
, 1 1 0
, 0 0
, 2 2 2
1
2 2
1
0
,
0 0
,
⁄
1 ⁄
1⁄
1 ⁄
0
1⁄
1 ⁄
⁄
1 ⁄
0 0 0
,
2 2
0
,
4 4
0
, , , , , ,
Condiciones
, ,
cos 0
| |
2
2
, ,
, ,
, , cos cos cos sen
, ,
Página 1

2. Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente. Matemáticas I
8 Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto
que se indica:
, 1,1
,
1
,
1
,
1
1 1,1
1
1
, 1,0
,
1
2
,
1
2
,
1
2
1
2
1,0
1
2
1
2
, 0,1
,
,
1
,
1
0,1
0
, 0,
, cos
, cos
,
cos
cos
, 0,
1
1
, , 1,1,1
, ,
, ,
, ,
, , 1,1,1
2
0
0
Página 2

3. Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente. Matemáticas I
, , 2 1,1,1
, , 2 2
, , 2 2
, , 2 2
1
, ,
2 2
2 2
2 2
1,1,1
√2 2
4
√2 2
4
√2 2
2
, , 1,1,1
, ,
2
, ,
2
, ,
2
, ,
2
2
2
1,1,1
1
2
1
2
1
2
, , , 1,1,1,1
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , , 1,1,1,1
1
0
0
1
Página 3

4. Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
9. Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible,
en el punto P que se indica:
, 1,1
Derivadas de primer orden:
,
3 2 4
,
3 2 4
,
4
4
1,1
1
1
Derivadas de segundo orden:
,
4
,
4 8 2 2 4 4 12
,
12 5 2 2 4
9 9
,
4
,
5 12 2 2 4 9 9
,
8 4 2 2 4 12 4
,
4 12 9 9
9 9 12 4
1,1
1 0
0 1
Página 4

5. Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, 1,0
Derivadas de primer orden:
,
,
, , 1,0
0
1
Derivadas de segundo orden:
,
,
, 1
,
, 1
,
,
,
1
1
1,0
0 1
1 1
, 2 0,
2
Derivadas de primer orden:
, 2
,
2
2
0 ,
2
0,
2 0
1
0
Derivadas de segundo orden:
, 2
, 0
,
2
2
1
,
,
1
,
,
0
1
1
0,
2
0
2
2
0
Página 5

6. Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, 1,
2
Derivadas de primer orden:
, 2
,
,
,
2
1,
2
2 2 2
2
2
2 2
2
1
Derivadas de segundo orden:
, 2
, 2 2 2
, 2 2
,
, 2 2
,
,
,
4 2 2 2
2 2
1,
2
1
1 1
Página 6

7. Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, , 0,1, 1
Derivadas de primer orden:
, ,
1
, ,
, ,
1
, ,
1
0,1, 1
1 2⁄
1 4⁄
1 4⁄
Derivadas de segundo orden:
, ,
1
, , 0
, ,
1
, ,
1
, ,
, ,
1
, ,
2 2
, ,
2 2
, ,
, ,
1
, ,
2
, ,
2 2
2
, ,
0
1 1
1 2 2
1 2 2
0,1, 1
0
1
4
1
4
1
4
1
4
0
1
4
0
1
4
Página 7

8. Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, , 1,1,2
Derivadas de primer orden:
, ,
1 1
, ,
1 1 ,
, ,
1
, ,
1
1
1
1,1,2
1 2⁄
1 2⁄
1 2⁄
Derivadas de segundo orden:
, ,
1
, ,
1
, ,
1
, , 0
, ,
1
, ,
1
, ,
1 ,
, , 0
, ,
1
, , 0
, , 0
, ,
1
, ,
1 1
0
1 1
0
0 0
1
1,1,2
1
4
1
4
0
1
4
1
4
0
0 0
1
4
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