Derivadas parciales

1. Cálculo III
Jhon
Willington
Bernal V.
13.3 Derivadas
parciales
13.4
Diferenciales
Cálculo III
Derivadas parciales
Jhon Willington Bernal V.
3 de febrero de 2016

2. Cálculo III
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Derivadas parciales
Denición:
Si z = f(x, y), las primeras derivadas parciales f con
respecto a x y a y son las funciones fx y fy denidas
por
fx(x, y) = l´ım
∆x→0
f (x + ∆x, y) − f(x, y)
∆x
fy(x, y) = l´ım
∆y→0
f (x, y + ∆y) − f(x, y)
∆y

3. Cálculo III
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Dada f(x, y) = xex2y
, hallar fxy fy, y
evaluar cada una en el punto (1, ln 2)

4. Cálculo III
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Diferenciales
Derivadas parciales
Ejemplo:
Dada f(x, y) = xex2y
, hallar fxy fy, y
evaluar cada una en el punto (1, ln 2)
∂
∂x
f(x, y) = fx(x, y) = zx =
∂z
∂x

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Diferenciales
Derivadas parciales
Ejemplo:
Dada f(x, y) = xex2y
, hallar fxy fy, y
evaluar cada una en el punto (1, ln 2)
∂
∂x
f(x, y) = fx(x, y) = zx =
∂z
∂x
∂z
∂x
|(a,b)= fx (a, b)

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Derivadas parciales
Ejemplo:
Hallar las pendientes en las direcciones
de x y de y de la supercie dada por
f(x, y) = −
x2
2
− y2
+
25
8
en el punto 1
2
, 1, 2

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Derivadas parciales
Ejemplo:
Hallar las derivadas parciales de
f(x, y, z) = z sin (xy2
+ 2z) con respecto
a x, y y z.

8. Cálculo III
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Hallar las derivadas parciales de segundo
orden de f(x, y) = 3xy2
− 2y + 5x2
y2
, y
determinar el valor de fxy(−1, 2)

9. Cálculo III
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Derivadas parciales
Ejercicio 64:
Calcular las derivadas parciales de
primer orden con respecto a x, y y z.
G (x, y, z) =
1
1 − x2 − y2 − z2

10. Cálculo III
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Diferenciales
Derivadas parciales
Ejercicio 64:
Calcular las derivadas parciales de
primer orden con respecto a x, y y z.
G (x, y, z) =
1
1 − x2 − y2 − z2
∂
∂x
G (x, y, z) =
x
(−x2 − y2 − z2 + 1)3/2

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Derivadas parciales
Ejercicio 106:
Mostrar que la función satisface la
ecuación del calor
∂z
∂t
= c2 ∂2
z
∂x2
z = e−t
sin
x
c

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Diferenciales
Denición:
Si z = f(x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos en x y
en y, entonces las diferenciales de las variables
independientes x y y son
dx = ∆x y dy = ∆y
y la diferencial total de la variable independiente z
es
dz =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy

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Ejemplo:
Hallar la diferencial total de cada función
z = 2x sin y − 3x2
y2
w = x2
+ y2
+ z2

14. Cálculo III
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Denición de diferenciabilidad:
Una función f dada por z = f(x, y) es diferenciable
en (x0, y0) si ∆z puede expresarse en la forma
∆z = fx (x0, y0) ∆x + fy (x0, y0) ∆y + ε1∆x + ε2∆y
donde ε1y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0) . La
función f es diferenciable en una región R si es
diferenciable en todo punto de R

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Diferenciales
Ejemplo:
Mostrar que la función dada por
f(x, y) = x2
+ 3y es diferenciable en todo
el punto del plano.
Incremento de z es
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)

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Diferenciales
Diferenciales
Uso de la diferencial como una aproximación:
Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en
z = 4 − x2 − y2 cuando (x, y) se desplaza en el
punto (1, 1) al punto (1,01, 0,97). Comparar esta
aproximación con el cambio exacto en z.
∆z ≈ dz = 0,0141
∆z = 0,0137

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Diferenciales
Teorema
Si una función de x y y es diferenciable en (x0, y0) ,
entonces es continua en (x0, y0)

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Diferenciales
Diferenciales
Teorema
Si una función de x y y es diferenciable en (x0, y0) ,
entonces es continua en (x0, y0)
Ejemplo:
Mostrar que fx(0, 0) y fy(0, 0) existen, pero f no es
diferenciable en (0, 0) donde f esta denida como:
f(x, y) =



−3xy
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)