Este documento trata sobre el cambio de variable en integrales dobles y el uso de jacobianos. Explica cómo una transformación de coordenadas puede convertir una región plana D en otra región D*, y cómo el jacobiano de la transformación permite calcular la integral doble sobre D* en términos de la integral sobre D. Además, incluye ejemplos de aplicación del cambio de variable y el cálculo de jacobianos para resolver integrales dobles.
3. Contenido general
Cambio de Variable en integrales dobles
Jacobiano de una Función de dos Variables
Teorema del cambio de variable
4. Logro de la Sesión
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante
conoce y aplica el cambio de variable en la integral
doble de una función
𝑧 = 𝑓 (𝑥; 𝑦) , para así modelar problemas de las
Ciencias Básicas en el calculo de áreas y
volúmenes.
5. Utilidad
Las integrales dobles nos permiten calcular el área
de una región plana o el volumen de un sólido en
coordenadas cartesianas, aplicando sus diferentes
propiedades.
6. Cambio de Variable en integrales
dobles
Imagen extraída de https://goo.gl/images/LmwShr
Sea la transformación 𝑇: ℝ2 → ℝ2, la cual transforma o convierte una región
plana 𝐷 en otra región plana 𝐷∗, esta transformación puede describirse por
dos ecuaciones (funciones reales de dos variables) de la forma
𝑥 = 𝑔(𝑢; 𝑣)
𝑦 = ℎ(𝑢; 𝑣)
7. Jacobiano de una Función de dos
Variables
𝑇 descrita por las
El Jacobiano de la transformación diferenciable
ecuaciones:
𝑥 = 𝑔(𝑢; 𝑣)
𝑦 = ℎ(𝑢; 𝑣)
8. 𝐶1
Supongamos que 𝑇 sea una transformación inyectiva de clase cuyo
Jacobiano es no nulo y que transforma una región 𝐷∗ del plano 𝑢𝑣 sobre
una región 𝐷 del plano 𝑥𝑦. Si además 𝑓 es continua en 𝐷 ∗, entonces se
cumple:
Teorema del cambio de variable
𝐽 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝐴 =
D
𝑓(𝑔 𝑢; 𝑣 ; ℎ(𝑢; 𝑣))
D*
9. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la region triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
1) Describe: D Y D*
2) Halle T(u;v), además del JACOBIANO.
3) Cambio de integral:
4) Calcular la integral
10. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
1) Describe: D Y D*
11. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
2) Halle T(u;v), además del JACOBIANO.
12. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
3) Cambio de integral:
13. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
4) Calcular la integral
14. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución
1) Describe: D Y D*
2) Halle T(u; v), además del JACOBIANO.
3) Cambio de integral:
4) Calcular la integral
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D
15. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 1) Describe: D Y D*
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D
16. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 2) Halle T(u; v), además del JACOBIANO.
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D
17. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 3) Cambio de integral:
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D
18. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 4) Calcular la integral
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D
19. Ejercicio Explicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−2𝑦
Donde 𝐷 es la región acotada por 2𝑥 + 𝑦 = 1; 2𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑥 − 2𝑦 = −1
y 𝑥 − 2𝑦 = 1.
Solución
2𝑥 + 𝑦 −3 𝑒2𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
21. Solución
Ejercicio Reto
Use En la figura adjunta se muestra la región 𝐷 del primer cuadrante
limitada por las gráficas de
3 5
𝑥
+ 𝑥
+
3 5
𝑦
= 1 ; 𝑦
= 2 ; 3𝑦 = 5𝑥 y 3𝑦 =
𝑦2
𝑑𝐴
20𝑥. Calcule el valor de la integral.
𝑒𝑥/𝑦
D
22. CONCLUSIONES
1. Muchas integrales dobles con respecto a sus variables
iniciales son muy complejas o casi-imposibles de resolver.
2. El jacobina de la transformación muchas veces aporta para
que la nueva integral doble sea mas manejable.