Este documento presenta una sesión sobre funciones reales de varias variables reales. Introduce conceptos como funciones de varias variables, dominio y rango, gráficas, derivadas parciales, plano tangente y recta normal. Explica cómo calcular estas propiedades para funciones como z = f(x, y). El objetivo es que los estudiantes aprendan a determinar el dominio de funciones de varias variables y calcular derivadas parciales para aplicarlos al plano tangente y recta normal.

1. Departamento de Ciencias
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
SESIÓN 01: FUNCIONES REALES DE VARIAS
VARIABLES REALES, PLANO TANGENTE Y RECTA
NORMAL

2. ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN REAL DE VARIAS
VARIABLES REALES?
Dado el sólido con dimensiones:
• Largo: 𝒙
• Ancho: 𝒚
• Alto: 𝒛
Existen muchas situaciones prácticas en las que una cantidad de
interés depende de los valores de dos o más variables.
área de la base (𝑨) volumen del sólido (𝑽)
𝑨 = 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑽 = 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
➢ Variable dependiente: 𝑨
➢ Variables independiente: 𝒙, 𝒚
➢ Variable dependiente: 𝑽
➢ Variables independiente: 𝒙, 𝒚; 𝐳

3. SABERES PREVIOS
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4. PROBLEMATIZACIÓN
Suponga que la función 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐)𝒆𝟏−𝒙𝟐
−𝒚𝟐
, gráficamente representa a la superficie
de una montaña, donde las líneas curvas paralelas en la superficie son las marcas en tierra
dejadas por el agua en una inundación:
¿Cómo se le
llama al conjunto
de curvas
proyectadas
sobre el plano de
la base?
¿Cómo se le
llama a las
curvas que
deja el nivel
del agua en la
superficie de la
montaña?
Curvas de Nivel Mapa de contorno
cc

5. Al término de la sesión, el estudiante determina
el dominio de una función de varias variables,
Además calcula las derivadas parciales de
diferentes funciones, utilizándolas para
encontrar las ecuaciones del plano tangente y
recta normal, aplicando las definiciones y
teoremas, realizando los procedimientos de
manera ordenada y coherente.
LOGRO DE SESIÓN

6. CONTENIDOS DE LA SESIÓN
➢ Funciones reales de varias variables reales.
➢ Gráfica de funciones reales de dos variables reales.
➢ Dominio y rango de una función real de varias variables reales.
➢ Álgebra de funciones reales de dos variables reales.
➢ Curvas de Nivel.
➢ Trazas sobre los planos coordenados.
➢ Modelación matemática.
➢ Derivas parciales.
➢ Plano tangente y recta normal

7. ➢Una función 𝒇 de dos variables es una regla que asigna a cada par
ordenado de números reales (𝑥, 𝑦) de un conjunto 𝑫, un número real
único denotado por 𝑓(𝑥, 𝑦).
➢El conjunto 𝑫 es el Conjunto de Partida de 𝑓 y su imagen es el conjunto
de valores que toma 𝑓.
FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES
Entrada
1
x
𝑧
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
1
salida
PROCESO
y
Entrada
2
D
Al conjunto de entradas se llama dominio de 𝒇 y se
denota por 𝑫𝒐𝒎 𝒇 . Al conjunto de números de salida
se llama rango o imagen de 𝒇 y se denota por 𝑰𝒎(𝒇).

8. ➢Función real de una variable real:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ
𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
➢Función real de dos variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2
→ ℝ
(𝑥 , 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
➢Función real de 3 variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ
(𝑥 , 𝑦, 𝑧) ⟼ 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
➢Función real de 𝑛 variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ⟼ 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑛 ≥ 2.
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES

9. ➢La gráfica de la función de dos variables 𝑓, se entiende como el
conjunto de puntos de la forma (𝑥, 𝑦, 𝑧) , donde 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y
(𝑥, 𝑦) pertenece al dominio de 𝑓. Es decir,
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
Dicha gráfica se interpreta
geométricamente como una
superficie en el espacio, y se
dice que 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) es la
ecuación en forma explícita
de dicha superficie.

10. ➢Función real de dos variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ
(𝑥 , 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
➢Análogamente se define el dominio y rango para funciones de 𝑛
variables.
DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
REALES
Dominio Rango o imagen
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/ ∃𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐷 Im( 𝑓) = 𝑓(𝑥, 𝑦)/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷

11. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIÓN 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝑰𝒎(𝒇)
(𝒙, 𝒚)

12. Técnicas para hallar dominio de una función z=f(x,y)
Dominio de f: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
: ∃𝑧 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Rango de f: Rang(𝑓) = 𝑓 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
1. Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es un polinomio en “x” e “y” entonces el D𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅2
2. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑃(𝑥, 𝑦) entonces D𝑜𝑚(𝑓) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2: 𝑃(𝑥, 𝑦) ≥ 0
3. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑃(𝑥;𝑦)
𝑄(𝑥,𝑦)
entonces D𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
: 𝑄 𝑥, 𝑦 ≠ 0
= 𝑅2
− {𝑄 𝑥, 𝑦 = 0}
4. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑃(𝑥, 𝑦) entonces D𝑜𝑚(𝑓) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
: 𝑃 𝑥, 𝑦 > 0
5. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑃 𝑥, 𝑦 en dominio es
𝑅2
si p 𝑥, 𝑦 es un polinomio.
6. Si 𝑧 = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑃 𝑥, 𝑦 ; D𝑜𝑚(𝑓) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
: 𝑃 𝑥, 𝑦 ≤ 1
7. Si 𝑧 = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑃 𝑥, 𝑦 ; D𝑜𝑚(𝑓) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
: 𝑃 𝑥, 𝑦 ≤ 1
8. Si 𝑧 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 𝑃 𝑥, 𝑦 ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ⟺ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2

13. ➢Halle el dominio de la función
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 + 1 −
(𝑥 − 2)2
4
−
(𝑦 − 3)2
9
EJEMPLOS
Solución
La función está bien definida si:
1 −
(𝑥 − 2)2
4
−
(𝑦 − 3)2
9
≥ 0
Entonces el domino de la función es:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
/
(𝑥 − 2)2
4
+
(𝑦 − 3)2
9
≤ 1
Gráficamente:
𝑧 = 3 + 1 −
(𝑥 − 2)2
4
−
(𝑦 − 3)2
9
(𝑥 − 2)2
4
+
(𝑦 − 3)2
9
≤ 1

14. ÁLGEBRA DE FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES REALES
Si 𝒇 y 𝒈 son funciones de dos variables con dominio 𝐷 ⊂ ℝ2 , entonces:
• Suma o diferencia: 𝑓 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦
• Producto: 𝑓. 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑔(𝑥, 𝑦)
• Cociente:
𝑓
𝑔
𝑥, 𝑦 =
𝑓 𝑥,𝑦
𝑔 𝑥,𝑦
, 𝑔(𝑥, 𝑦) ≠ 0
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables.
Sin embargo, si 𝒉 es una función de varias variables y 𝒈 en una función de
una sola variable, puede formarse la función compuesta 𝑔 ∘ ℎ (𝑥, 𝑦) como
sigue:
Composición: 𝑔 ∘ ℎ (𝑥, 𝑦) = 𝑔 ℎ(𝑥, 𝑦)
𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∘ ℎ = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 ℎ : ℎ(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)

15. CURVAS DE NIVEL
Las curvas de nivel se obtienen cortando la
gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con planos horizontales
situados a distintas alturas, cuyas intersecciones
son curvas que al proyectarlo sobre el plano 𝑋𝑌
tienen por ecuación 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, a estas curvas
se le llaman curvas de nivel de la función 𝑓 en 𝑘
y al conjunto de curvas de nivel se llama
mapeo de contorno.
Definición. Las curvas de nivel de una función 𝑓 de dos variables son
las curvas cuyas ecuaciones son 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑘 , donde 𝑘 es una
constante (en el rango de 𝑓 ).

16. ➢Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2 + 𝑦2, las curvas de nivel y la gráfica
de esta superficie son:
Curvas de nivel
Solución

17. ➢De forma similar para el caso de una función de tres variables
se obtiene que 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 son llamadas superficies de nivel.
• Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
, las superficies de nivel son:
SUPERFICIES DE NIVEL

18. ➢Las trazas sobre los planos coordenados son las curvas de intersección
de la superficie𝑺con cada uno de los planos coordenados (𝑋𝑌,𝑋𝑍;𝑌𝑍).
➢Sea la superficie S con ecuación:
𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑜 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 … (∗)
TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS
Traza sobre: En la ecuación (∗)
El plano 𝑋𝑌 (𝑧 = 0) Reemplazar 𝑧 = 0
El plano 𝑋𝑍 (𝑦 = 0) Reemplazar 𝑦 = 0
El plano 𝑌𝑍 (𝑥 = 0) Reemplazar 𝑥 = 0

19. ➢Ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2:
a) Use las trazas sobre los planos coordenados y grafique la función 𝑓.
b) Halle el dominio de 𝑓.
c) Halle el rango de 𝑓.
TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS
Solución
a)

20. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS
a)
b) c)
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑧 ∈ 0,4
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2:
𝑥2
4
+
𝑦2
16
≤ 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2

21. ➢Una empresa petroquímica está diseñando un tanque cilíndrico con
extremos semiesféricos para utilizarlo en el transporte de sus productos.
a) ¿Qué variables intervienen en el problema?
b) ¿Cómo se podrá expresar el volumen del tanque en función de las
variables mencionadas?
c) ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes?
MODELACIÓN MATEMÁTICA
Solución
➢ 𝑟: radio de la tapa semiesférica
➢ ℎ: altura de la parte cilíndrica
➢ 𝑉: volumen del tanque
a)
ℎ
𝑟
Variables que intervienen en el problema
b) El volumen del tanque:
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ +
4
3
𝜋𝑟3
= 𝑓(𝑟, ℎ)
➢ 𝑟 ; ℎ: variables independientes
➢ 𝑉: variable dependiente
c)

22. ➢Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , las primeras derivadas parciales de 𝑓 con respecto a 𝑥 e 𝑦
son las funciones 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 definidas por:
DERIVADAS PARCIAES DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS
VARIABLES REALES
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
Δ𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Δ𝑦
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Δ𝑥
Siempre y cuando el límite exista y sea finito.
NOTACIÓN: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces sus derivadas parciales respecto a 𝑥 y 𝑦
se expresan, respectivamente, en las formas siguientes:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑥[𝑓(𝑥, 𝑦)]
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑦[𝑓(𝑥, 𝑦)]

23. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL
Consideremos:
1) La superficie 𝑺 con ecuación es 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 .
2) El plano 𝒚 = 𝒚𝟎
𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 =
𝜕𝑓 𝑥0, 𝑦0
𝜕𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Δ𝑥
𝒚 = 𝒚0
x0
y0
𝑷(𝒙0, 𝒚0, 𝒛0)
Respecto a 𝒙
La Curva: 𝑪𝟏 =Plano  𝑺
La pendiente de la Recta Tangente a 𝑪𝟏 en el punto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒇 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)) es dado por:

24. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL
Consideremos:
1) La superficie 𝑺 con ecuación es 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 .
2) El plano 𝒙 = 𝒙𝟎
𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) =
𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑦
= lim
Δ𝑦→0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Δ𝑦
Respecto a 𝒚
La Curva: 𝑪𝟐 =Plano  𝑺
La pendiente de la Recta Tangente a 𝑪𝟐 en el punto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒇 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)) es dado por:
𝒙 = 𝒙0
𝒙0
𝒚0
𝑷(𝒙0, 𝒚0, 𝒛0)

25. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL

26. ➢Para determinar 𝑓𝑥, conservar a 𝑦 constante y derivar de manera
ordinaria 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥.
➢Para determinar 𝑓𝑦, conservar a 𝑥 constante y derivar de manera
ordinaria 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑦.
REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Ejemplo 1. Dada la función 𝑧 definida por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
+ 𝑥 − 5𝑦.
Hallar 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦.
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 4𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 1
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 2𝑥2
+ 2𝑥𝑦 − 5
Solución:

27. ➢Se llama derivada parcial de segundo orden de una función 𝑓
a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer
orden.
➢Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función de dos variables hay 4 derivadas
parciales de segundo orden:
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
• 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
• 𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
• 𝑓𝑦 𝑥
= 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
• 𝑓𝑦 𝑦
= 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2

28. Ejemplo
➢ Calcule las segundas derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦2
+ 𝑦3
Solución: Las primeras derivadas parciales son
𝑓
𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
+ 2𝑥𝑦2 𝑓
𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2
𝑦 + 3𝑦2
de donde obtenemos que:
𝑓
𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 + 2𝑦2
𝑓
𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑥2
𝑦 + 3𝑦2
) = 4𝑥𝑦
𝑓
𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑦
(3𝑥2
+ 2𝑥𝑦2
) = 4𝑥𝑦 𝑓
𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2
+ 6𝑦
Teorema: Igualdad de las Derivadas Parciales mixtas
Si 𝑓 es una función de 𝑥 y 𝑦 tal que 𝑓𝑥𝑦 y 𝑓𝑦𝑥 son continuas en un disco abierto 𝑫,
entonces, para todo (𝑥, 𝑦) en 𝑫,
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦

29. ➢Dada la superficie 𝑺, con ecuación 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), cuyas derivadas parciales son
continuas.
➢Si 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) es un punto sobre 𝑆, el plano tangente a 𝑺 en 𝑷 está formado por todas
las rectas tangentes en 𝑷 a las curvas que están sobre 𝑺 y que pasan por 𝑷.
PLANO TANGENTE
La ecuación del plano tangente es:
𝑧 – 𝑧0 = 𝑓𝑥(𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦(𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 )
𝐹𝑥(𝑃)(𝑥 − 𝑥𝑜 ) + 𝐹𝑦(𝑃)(𝑦 − 𝑦𝑜 ) + 𝐹𝑧(𝑃)(𝑧 − 𝑧𝑜 ) = 0
➢ Si 𝑺 tiene ecuación explícita 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 :
➢ Si 𝑺 tiene ecuación implícita 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0:

30. (x0,y0)
LN
x0
y0
Recta normal
𝐿𝑁: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), −1 ; 𝑡 ∈ ℝ
Vectorial
Simétrica
𝑥 − 𝑥0
𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)
=
𝑦 − 𝑦0
𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)
=
𝑧 − 𝑧0
−1
Si 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐿𝑁, la ecuación de 𝐿𝑁 es:
Se llama recta normal (𝑳𝑵) a una superficie 𝑆
con ecuación 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , a la recta que pasa
por el punto𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y es perpendicular al
plano tangente.

31. ➢Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal al paraboloide 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4– 𝑥2 – 𝑦2 en el punto 𝑃(0,1,3).
Ejemplo
Solución:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = −2𝑥
Identificando:
𝑧 + 2𝑦 − 5 = 0
Luego:
x0 = 0, y0 =1, z0 =3
z – z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
Calculando las primeras derivadas parciales:
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = −2𝑦
𝑓𝑥 x0 , y0 = 𝑓𝑥 0, 1 = −2 0 = 0 𝑓𝑦 x0 , y0 = 𝑓𝑦 0, 1 = −2 1 = −2
• Ecuación del plano tangente:
• Ecuación de la recta normal:
𝐿𝑁: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), −1 ; 𝑡 ∈ ℝ
𝐿𝑁: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,3) + 𝑡 0, −2, −1 ; 𝑡 ∈ ℝ

32. Una compañía que fabrica computadoras ha determinado que su función de
producción está dada por:
𝑃(𝑥, 𝑦) = 500𝑥 + 800𝑦 + 3𝑥2
𝑦 − 𝑥3
−
𝑦4
4
,
donde 𝑥 es el tamaño de la fuerza de trabajo (en horas de trabajo por semana)
y 𝑦 es la cantidad de capital (en unidades de S/. 1000) invertido.
• Calcule 𝑃𝑥 𝑥, 𝑦 y 𝑃𝑦 𝑥, 𝑦 cuando 𝑥 = 50 y 𝑦 = 20 e interprete los resultados.
Problematización (Solución)
Solución:
La producción disminuye en aproximadamente 1000 unidades cuando las horas
de trabajo aumentan en una hora por semana (50 a 51 horas).
La producción aumenta aproximadamente en 300 unidades cuando el capital
aumenta (en s/. 1000) (20 a 21mil soles) por semana.

33. TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Desarrolle los ejercicios
indicados por el docente

34. TRABAJO EN EQUIPO
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades
las dificultades encontradas?
¿Qué tipos de problemas se
pueden resolver mediante
funciones de varias variables?
METACOGNICIÓN

35. TRABAJO EN EQUIPO
▪ Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas.
McGraw-Hill Interamericana.
▪ Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables: Trascendentes
tempranas. Cengage Learning.
▪ Larson, R. (2010). Cálculo 2. McGraw Hill.
REFERENCIAS

36. Estimado estudiante, en este espacio encontrarán las actividades Taller de Resolución de Problemas, correspondiente
a la T1, actividad sincrónica que le permitirá desarrollar sus habilidades de análisis para plantear estrategias de
solución a partir de un contexto realístico problemático y aplicar de manera pertinente sus conocimientos adquiridos
en el curso. En este sentido tenga en cuenta lo siguiente:
1. La actividad es sincrónica y se realiza en la sesión de clase.
2. La actividad tiene una duración de 80 minutos.
3. La actividad se realiza en grupos de 4 o 5 integrantes de acuerdo al registro en la sección de inscripción de grupos.
4. Consignar en la carátula SOLO los estudiantes que han participado en el desarrollo de la actividad.
5. Solo el líder del equipo sube el desarrollo del Taller de Resolución de Problemas.
6. El nombre del archivo debe tener el formato: CAL_VAR_VAR_3315_TRP1_N° de Equipo. Por Ejemplo, si mi equipo
es el número 4, el nombre del documento será: CAL_VAR_VAR _3315_TRP1_4 La asignación de la actividad es
según los archivos mostrados en la parte inferior.
Docente Mentor
INSTRUCCIONES PARA EL TALLER DE RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS

37. GRACIAS