1. Aplicación de una E.D.H<br />APLICACION A LA QUIMICA<br />Problemas de mezclas químicas:<br />Las ecuaciones diferenciales también tienen aplicación dentro de los problemas de mezclas. En estos problemas aparecen involucradas sustancias, las cuales se mezclan dentro de un recipiente de volumen dado Vo . Supongamos que inicialmente teníamos una cantidad de kilogramos de una sustancia diluida en una concentración de , y que introducimos otra solución que contiene una concentración de dicha sustancia la cual es introducida en el recipiente a una velocidad de . <br />Además sacamos parte de la solución que se produce dentro del recipiente a una velocidad de . Si demostramos por la cantidad de sustancia en cuestión dentro del recipiente por unidad de tiempo, tenemos que la variación de dicha cantidad viene dada por:<br />Donde y son velocidades de entrada y salida de dicha sustancia respectivamente. Como y donde es el volumen de disolución en el recipiente por unidad de tiempo, el problema de condiciones iníciales:<br /> <br /> <br />Modeliza la cantidad de sustancia que hay en el recipiente por unidad de tiempo. <br />Ejemplo:<br />Supongamos una tanque que contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Vertemos en el tanque agua que contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minuto, y se deja que la mezcla salga del recipiente a la misma rapidez. Vamos a determinar la cantidad de sal que habrá en el recipiente al cabo de 20 minutos. Para ello, teniendo en cuenta que el volumen se mantiene constante, planteamos el problema de condiciones iníciales:<br /> <br />Solución:<br /> La ecuación diferencial implicada es lineal. La ecuación homogénea tiene por solución , donde K es la constante procedente de la integración. Por el método de variación de constantes calculamos la solución de la ecuación no homogénea imponiendo que sea solución de la misma. Entonces.<br />Con lo que:<br /> <br /> <br />Así la solución de la ecuación diferencial será: <br /> <br /> <br />Además, como y(0) = 0, tenemos que: <br /> <br /> <br />con lo que C = 160, y la solución del problema de condiciones iníciales es: <br /> <br />A los 20 minutos, la cantidad de sal que hay dentro del tanque es: <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />