A partir del problema planteado se manifiesta lo siguiente: ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales podemos aplicar para calcular el tiempo que se tarda en vaciar el contenido líquido de un tanque?

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TEMA:
APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
ELABORADO POR:
DOCENTE: ING. JOSÉ GUANOLUISA

2. Planteamiento del problema
Encontramos las ecuaciones
diferenciales en la mayoría de las
áreas de la Ingeniería Civil, abarca
desde la Resistencia de Materiales
hasta la Hidráulica. No obstante,
debemos recordar que además
tienen como propósito servir como
mecanismo para estudiar los
cambios que se presentan en el
mundo físico.
Son por estas razones que se
plantean aplicaciones como la del
problema de braquistócrona, las
leyes de Kepler, el oscilador
armónico, la teoría potencial,
entre otras, debido a que el
tratamiento matemático de estos
problemas es un gran logro para
la sociedad.
La base de la enorme cantidad de aplicaciones
corresponde a que la derivada se puede interpretar
como el índice de cambio de una variable respecto
de la otra, y las variables que explican los fenómenos
que se relacionan entre sí por sus índices de cambio.
Cuando se manifiestan estas relaciones a través de
símbolos matemáticos se obtiene una gran cantidad
de ecuaciones diferenciales.
En el presente documento se trata de coordinar, de
una manera adecuada, el conocimiento teórico con
las distintas aplicaciones, específicamente con el
problema del vaciado de tanques, para lograr una
comprensión clara sobre los conceptos y sistemas de
que se necesitan para resolver la problemática en
estudio

3. *
A partir del problema planteado se manifiesta lo
siguiente: ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales podemos
aplicar para calcular el tiempo que se tarda en vaciar el
contenido líquido de un tanque?

4. *
El incentivo principal del presente documento investigativo es promover una percepción general
del uso de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el vaciado de tanques, con la finalidad
de ofrecer una fuente de conocimiento en el campo del análisis matemático a los estudiantes y
personas en general que se han planteado preguntas con relación al tema objeto de esta
investigación.
Se pretende resolver preguntas como: ¿Por qué ciertos tanques se vacían más rápido que otros si
tienen tamaño similar e igual contenido?, ¿Por qué no es proporcional la salida del líquido con el
tiempo?, a través de la aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden para calcular y
determinar el tiempo que se requiere en vaciar un tanque por gravedad, debido a que existen
variaciones de presión en los tanques con respecto al nivel del líquido, identificando a la vez en
qué momento se vuelve más lento el flujo de salida, demostrando finalmente que a menor
cantidad de líquido dentro de un tanque será menor el caudal y la velocidad de salida.

5. GENERAL ESPECÍFICOS
Aplicar ecuaciones
diferenciales
ordinarias para
calcular el tiempo que
se tarda en vaciar el
contenido líquido de
un tanque.
Definir las ecuaciones diferenciales
ordinarias, así como su orden, grado y
tipo de solución.
Calcular el tiempo que tarda el vaciado
de tanques mediante la resolución de
ejemplos de problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Comparar el tiempo de salida del
líquido calculado por las ecuaciones
diferenciales y el tiempo medido por
un cronómetro y determinar posibles
factores que afectan este fenómeno a
través de métodos numéricos.
OBJETIVOS
Presentar los resultados calculados
numéricamente.

6. Marco Teórico,
conceptual y
referencial

7. Marco
teórico
En las ciencias Matemáticas el
Análisis se ha convertido en una
de las ramas que ha tenido
relevancia durante trescientos
años, el Análisis centra su estudio
en las ecuaciones diferenciales, ya
que además es una de los mejores
métodos para comprender las
ciencias físicas y las distintas
técnicas que se utilizan en ella.
Las ecuaciones diferenciales
aparecen en modelos matemáticos
que tratan de describir situaciones
de la vida real. Así, muchas leyes
naturales pueden ser traducidas al
lenguaje matemático mediante
ecuaciones que envuelven
derivadas, como en física, donde la
velocidad y la aceleración aparecen
como derivadas; en biología, la
derivada se utiliza como una razón
de crecimiento de poblaciones; en
química, como rapidez de
reacciones, entre otros más.
Una ecuación
diferencial es una
relación entre una
función y una o varias
de sus derivadas
sucesivas. La incógnita
en estas ecuaciones en
la función que se está
derivando.

8. Una ecuación que establece una relación entre la variable
independiente x, la función buscada 𝑦 = 𝑦 𝑥 y sus derivadas y,
y’, y’’,…, yn se llama ecuación diferencial.
Ecuación diferencial
aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable
independiente.
Ecuaciones
diferenciales
ordinarias:
aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ecuaciones en
derivadas parciales:
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se
denomina orden de la ecuación.
Orden de una
ecuación diferencial.
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la
ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma
polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Grado de una
ecuación diferencial
Marco conceptual

9. Una función que
verifica la ecuación,
pero que no se obtiene
particularizando la
solución general.
Si fijando cualquier punto P=(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la
ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface
la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto
P=(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución
general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico
una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de
curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante
corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita,
etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de
las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer
el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0 más una solución particular de la
ecuación completa.
Solución de
una Ecuación
Deferencial.
Solución
particular:
Solución
general:
Solución
singular:

10. Marco referencial
TEOREMA DE
TORRICELLI
𝑉𝑡 = 2 ∗ 𝑔 ℎ +
𝑣0
2
2 ∗ 𝑔
El teorema de Torricelli es una aplicación del
principio de Bernoulli y estudia el flujo de un
líquido contenido en un recipiente, a través de un
pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A
partir del teorema de Torricelli se puede calcular
el caudal de salida de un líquido por un orificio.
"La velocidad de un líquido en una vasija abierta,
por un orificio, es la que tendría un cuerpo
cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde
el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del
orificio":
𝑉𝑟 = 𝐶 𝑣 2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
Para velocidades de
aproximación bajas, la
mayoría de los casos, la
expresión anterior se
transforma en:
Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de
pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros
factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de
velocidad.

11. El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en
régimen no estacionario dado que tenemos una
salida de masa del sistema a una velocidad variable
que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al
no haber ingreso de masa sal tanque, esta descarga
provocará un cambio en el contenido inicial del
equipo, de modo que podemos plantear el balance
general de masas y energía del sistema de la
siguiente forma:
VACIADO DE TANQUES
1
2
𝑚𝑣2
= 𝑚𝑔ℎ → 𝑣 = 2𝑔ℎ
𝑣 = 2𝑔ℎ

12. Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques
Sea h (t) la altura del líquido en el tanque en cualquier
instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese
instante. La velocidad v del agua a través del orificio es
𝑣 = 2𝑔ℎ
Donde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la
velocidad que una gota de agua adquirirá al caer
libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En
condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción
que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se
obtendrá
𝑣 = 𝑐 2𝑔ℎ
Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0
y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de
descarga no se indica, se asume que c=1.
Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el área de la sección
transversal constante, y a es el área de un orificio de sección transversal por el que fluye el agua, el
cual está ubicado en la base del tanque.
Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At
(nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo
que este demora en vaciarse.
La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se
escapa por el orificio.

13. Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condición
de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite obtener la variación de la altura del
líquido en el tanque en función del tiempo.
Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el
agua sale pro el agujero (variación dl volumen de
líquido en el tanque respecto al tiempo) se puede
expresar como el área del orificio de salida por la
velocidad v del agua. Esto es
Sustituyendo en la ecuación:
Si A(h) denota el área de la sección transversal
horizontal del tanque a la altura h, aplicando el
método del volumen por secciones transversales se
obtiene
𝑣 =
0
ℎ
𝐴 ℎ 𝑑ℎ
Derivando respecto a t y aplicando el teorema
fundamental del cálculo
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑎𝑣
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑎𝑐 2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴(ℎ)
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Comparando las ecuaciones
𝐴 ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −𝑎𝑐 2𝑔ℎ

14. Algunos Tipos De Tanques
Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio
circular de diámetro d.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0.6𝜋
𝐷
2
2
2 9.81 ℎ = −0.664𝜋𝐷2
ℎ
𝑑𝑉 = 𝜋𝑅2
𝑑ℎ →
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋𝑅2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝜋𝑅2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −0.664𝜋𝐷2
ℎ
Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la
constante C, así:
2 𝐻0 = −
0.664𝐷2
𝑅2
0 + 𝐶
𝐶 − 2 𝐻0
Entonces de la ecuación se despeja el tiempo
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 − 2 𝐻0
𝑡 =
( 𝐻0 − ℎ)𝑅2
0.332𝐷2
Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque
cilíndrico vertical.
y separando variables,
𝑑ℎ
ℎ
= −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑑𝑡
Integrando
ℎ−1/2
𝑑ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑑𝑡
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 + 𝐶

15. Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el
fondo.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ = −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
𝑑𝑉 = 2 ∗ 𝐻0 𝑑ℎ
𝑥2
+ (ℎ − 𝑟)2
= 𝑟2
𝑥 = 2ℎ𝑟 − ℎ2
Entonces 𝑑𝑉 = 2 2ℎ𝑟 − ℎ2 𝐻0 𝑑ℎ
Reemplazando en (*)
2 2ℎ𝑟 − ℎ2 𝐻0
𝑑𝑡
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
2𝑟 − ℎ𝑑ℎ =
𝑘𝜋𝐷2
2𝑔
8𝐻0
𝑑𝑡
Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integración.
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0

16. Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto verticalmente
con orificio circular en el fondo de diámetro d.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ = −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
𝑅
𝑟
=
𝐻0
ℎ
→ 𝑟 =
𝑅ℎ
𝐻0
𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑑𝑉 = 𝜋𝑟2
𝑑ℎ → 𝑑𝑉
=
𝜋𝑅2
ℎ2
𝐻0
2 𝑑ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ →
𝜋𝑅2
ℎ
3
2
𝐻0
2 𝑑ℎ
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔𝑑𝑡
ℎ3/2
𝑑ℎ = −𝑘
𝐷2
𝐻0
2
2𝑔
4𝑅2
𝑑𝑡
Por semejanza de triángulos se conoce que
Condiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se
produce cuando h=0

17. El diseño de tanque más difundido es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical con fondo
plano. Considerando este y otros diseños, ya detallados, como base se puede calcular el tiempo
de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación
diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se
dan en cada caso.
Tiempo De Descarga En Tanques Y
Recipientes
Influencia De La Geometría
Del Recipiente
Que el área transversal del recipiente
sea constante en toda su altura, o
Que el área transversal varíe en
distintos niveles.
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la
geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a
través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma
geométrica del recipiente determina el comportamiento
físico del agua. A medida que se produce la descarga del
líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden
presentarse dos situaciones:

19. CASO 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio
circular de diámetro d.
H
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0.6ᴨ
𝐷
2
2
2 ∗ 9.81 ∗ ℎ = −0.664ᴨ𝐷² ℎ
𝑑𝑉 = ᴨ𝑅²𝑑ℎ →
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= ᴨ𝑅²
𝑑ℎ
𝑑𝑡
ᴨ𝑅²
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −0.664ᴨ𝐷² ℎ
y separando variables,
𝑑ℎ
ℎ
= −
0.664 𝐷²
𝑅²
𝑑𝑡
Integrando
ℎ−
1
2 𝑑ℎ = −
0.664𝐷²
𝑅²
𝑑𝑡
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 + 𝐶
Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la
constante C así:
2 𝐻 = −
0.664𝐷2
𝑅2
0 + 𝐶
𝐶 = 2 𝐻
Entonces de la ecuación se despeja el tiempo
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 + 2 𝐻
𝑡 =
𝐻 − ℎ 𝑅²
0.332𝐷²

20. CASO 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ = −𝑘
ᴨ𝐷2
4
2𝑔ℎ … … ∗
𝑑𝑉 = 2𝑥𝐻 𝑑ℎ
𝑥² + ℎ − 𝑟 ² = 𝑟²
𝑥 = 2ℎ𝑟 − ℎ²
Entonces 𝑑𝑉 = 2 2ℎ𝑟 − ℎ² 𝐻 𝑑ℎ
Reemplazando en (*)
2 2ℎ𝑟 − ℎ² 𝐻
𝑑𝑡
= −𝑘
ᴨ𝐷2
4
2𝑔ℎ
2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ =
𝑘ᴨ𝐷² 2𝑔
8𝐻
𝑑𝑡
Con las condiciones iniciales, t0= 0 y h=2r, se halla la constante
de integración. El tiempo de vaciado t(v) se produce cuando
h=0.
Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de
altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el
fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciará el tanque?
𝐴 ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −𝑎𝑐 2𝑔ℎ
𝑎 = ᴨ
1
24
2
=
ᴨ
576
𝑝𝑖𝑒²
100 ᴨ 𝑑ℎ = −
ᴨ
576
64 ℎ 𝑑𝑡 = −
8ᴨ
576
ℎ ∗
1/ᴨ
100 𝑑ℎ = −
1
72
ℎ 𝑑𝑡
Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para
t=0, y h=20 pies
100 𝑑ℎ = −
1
72
ℎ 𝑑𝑡 ∗ −
72
ℎ
= −
7200
ℎ
𝑑ℎ = 𝑑𝑡
Luego se integra
−7200
1
ℎ
𝑑ℎ = 𝑑𝑡
1
ℎ
𝑑ℎ = ℎ−1/2
𝑑ℎ = 2ℎ1/2
= 2 ℎ + 𝐶1
𝒀 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶2
Se sustituyen los resultados en la ecuación
−144000 ℎ = 𝑡 + 𝐶
Sustituyendo los valores iniciales del problema
−14400 ℎ = 𝑡 − 14400 20 ∗ −
1
14400
ℎ 𝑡 = −
𝑡
14400
+ 20
2
𝑡 = 14400 20 = 64398,75
𝐶 = −14400 20

21. Descriptiva
Bibliográfica
El estudio y la recolección de información acerca del
problema planteado llevan a describir y brindar
información sobre el vaciado de tanques, los
resultados se interpretan objetivamente.
La información en el proyecto se basa en fuentes
bibliográficas, libros adicionalmente también de
fuentes informáticas.
Métodos de investigación
El proyecto se adecuó a los propósitos de la investigación no experimental. Exponiendo
los objetivos en el presente estudio, brindamos análisis sobre las ecuaciones diferenciales
en los vaciados de tanques.
Metodología
Tipo de investigación
Con respecto al tema objeto de estudio referente a la aplicación de ecuaciones
diferenciales ordinarias a problemas de vaciado de tanques, la investigación se
enmarco dentro de la siguiente metodología: Descriptiva y bibliográfica.

22. *CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
En la comparación del tiempo del cálculo del drenado del
líquido de un tanque empleando el uso de las ecuaciones
diferenciales ordinarias con el tiempo medido por un
cronometro se pudo determinar un pequeño marguen de error
y esto se pueda dar por los factores que afectan para un cálculo
exacto
Se pudo mediante el uso de las
ecuaciones diferenciales
ordinarias calcular el tiempo
en que tarda el drenaje de
taques en los problemas que
planteamos
Se concluye que es necesario poder
definir a las ecuaciones diferenciales
ordinarias, en su orden, grado y tipo de
solución darle la aplicación correcta a
cada una ellas y poder llegar al
resultado deseado.

23. •Se invita al uso de las
ecuaciones diferenciales
ordinarias aplicadas en
problemas de vaciado de
tanque para calcular el
tiempo que tarda drenarse el
líquido porque nos permite
determinar las incógnitas
que buscamos.
•Para obtener un resultado
lo más exacto posible en el
cálculo del tiempo del
drenado de un taque hay
que tener en cuenta los
factores que puedan dar a
un pequeño marguen de
error, pero igual es algo
mínimo por lo que no afecta
mucho aquello por lo que
calculamos el tiempo.
Recomendaciones
 Se recomienda saber las
definiciones de las ecuaciones
diferenciales ordinarias en su
orden, grado y tipo para así de
esta manera tener un mejor
manejo de ellas en las diversas
áreas y problemas que este tipo
de ecuaciones son usadas.