Este documento describe la distribución de Poisson, la cual expresa la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos durante un periodo de tiempo, basándose en una frecuencia media de ocurrencia. Explica que la distribución de Poisson se aplica a fenómenos donde los eventos ocurren de forma independiente en intervalos de tiempo o espacio, y donde la probabilidad de que ocurra un evento depende de la longitud del intervalo. Finalmente, resume las características clave de esta distribución, incluyendo que la media y la varianza son iguales.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA
INGENIERIA INDUSTRIAL
MATERIA: CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD
TEMA: DISTRIBUCIÓN DE POISSON
PROFESOR: DR. HECTOR TRUJILLO
ALUMNOS:
NAVARRO GALLEGOS JOSE GABRIEL 11211380
NIÑO MERINO OSCAR JOAQUIN 11211603
PARRA FLORES JOSE 1121
FECHA DE ENTREGA: 13/11/13

2. INTRODUCCIÓN
En esta clase describiremos el uso de la distribución de Poisson para obtener la
probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca
frecuencia) cuyo resultado lo representa una variable discreta.
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoría
de
probabilidad y estadística,
la distribución
de
Poisson es
una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia
de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de
eventos durante cierto periodo de tiempo.
Esta distribución debe su nombre al matemático francés Simón Poisson (17811840), quien estableció su modelo.
Existen fenómenos o experimentos en los que los eventos ocurren en intervalos
continuos de tiempo o espacio (áreas y volúmenes), donde sólo importa la
ocurrencia del fenómeno, ya que la no ocurrencia no tiene sentido. Por ejemplo, si
en cierta región ocurren en promedio 2 terremotos por año, la variable aleatoria
será el número de terremotos por año y es claro que no tiene sentido hablar del
número de no terremotos por año. Lo mismo sucede para otros fenómenos, como
el número de errores en una página, derrumbes anuales en una región
montañosa, accidentes de tráfico diarios en cierto crucero, personas atendidas en
un banco en un período de 10 minutos, partículas de polvo en cierto volumen de
aire, nacimientos de niños en un periodo de tiempo, rayos que caen en una
tormenta, llamadas que llegan a un conmutados telefónico en un minuto, insectos
por planta en un cultivo, etc. También es de importancia mencionar que cada
ocurrencia puede considerarse como un evento en un intervalo de tiempo
determinado.
SI CONSIDERAMOS QUE:
1. La esperanza de ocurrencia de un evento en un intervalo es la misma que la
esperanza de ocurrencia del evento en otro intervalo cualesquiera, sin importar
donde empiece el intervalo
2. Que las ocurrencias de los eventos son independientes, sin importar donde
ocurran
3. Que la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo depende
de la longitud del intervalo

3. 4. Que las condiciones del experimento no varían, y
5. Que nos interesa analizar el número promedio de ocurrencias en el intervalo
Entonces se puede afirmar, que la variable aleatoria mencionada en los
fenómenos descritos es una variable de Poisson.
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Un modelo de probabilidad de Poisson tiene las siguientes características:
1. El espacio muestral se genera por un número muy grande (puede
considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de
probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por esta
razón, a la distribución de Poisson suele llamársele de eventos raros. Las
repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos
de un intervalo de tiempo o espacio.
2. El número de éxitos en el intervalo li es ajeno al número de éxitos en el
intervalo lk, por lo que li Ç lk = f
3. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del
intervalo es cero.
4. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante l, que no
cambia de intervalo a intervalo.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
La deducción de la función de probabilidad de una variable aleatoria cuyo modelo
de probabilidad es de Poisson queda fuera del alcance de este curso, por lo que
enseguida se presenta una definición de esta función.
Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función de
probabilidades está dada por:

4. Donde e es la base de los logaritmos naturales y l el promedio de la distribución, la
cual debe ser mayor que cero.
MEDIA Y VARIANZA
La distribución de Poisson tiene la característica de que la esperanza y
la varianza son iguales, esto es:
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con parámetro l,
entonces:
La función de distribución acumulada correspondiente es:
En muchos casos el cálculo de probabilidades de variables aleatorias que se
apegan a una distribución de Poisson es largo y tedioso. En donde sea posible, al
igual que en la distribución Binomial, se puede hacer uso de las tablas que vienen
en el apéndice, las cuales se basan en la función de distribución acumulada y tan
sólo hay que aplicar las propiedades ya vistas para esta función para simplificar
los cálculos.
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Uni
dad%202/2.9.htm#item0