TRABAJO DE DISTRIBUCCION DE PROBABILIDAD ESTADISTICA APLICADA

1. UNIVERDIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
TRABAJO
INTEGRANTES:
JORGE MOGOLLON
CI: 21.459.583
SECCION:
SAIA “B”
Cabudare, 05 de Junio del 2015.

2. INTRODUCCIÓN
De acuerdo al estudio de la estadística entre sus objetivos implica
conocer de manera cuantitativa determinada parte de la realidad, por esto se
hace necesario construir un modelo particular del objeto de estudio; en este
sentido la probabilidad se caracteriza en la forma medible de diferentes
valores donde se asigna a cada posible resultado de un experimento
aleatoriodeterminada probabilidad.
Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con la distribución
de frecuencias; debido a que la distribuciones tratan sobre expectativas de
que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y tomar
decisiones de incertidumbre una distribución; por ello la distribución de
frecuencias teórica es una distribución de probabilidades que describe la
forma en que se espera que varíen los resultados.
A continuación se presentará diferentes probabilidades entre ellas, la
continua, gamma, erlang, exponencial, weibull con el objetivo de conocer sus
uso, la grafica que representa y un ejemplo de cada una de ellas.

3. Distribución de Probabilidad Continua
Una distribución de probabilidad es continua, es decir, de variables
cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente
del proceso de medición.
Continuas se refierecuando los resultados posibles del experimento son
obtenidos de variables aleatorias puede asumir un número infinito de valores,
que son resultado de unamedición.
Por ejemplo, el valor de la temperatura media del aire en intervalos
dadosde tiempo. Por supuesto que las variables aleatorias continuas
dependen de la exactituddel instrumento de medición en este caso del
termómetro.
Usos:
La distribución continua de probabilidad más importante en todoel campo
de la estadística es la distribución normal, describe aproximadamente
muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la
investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos
meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a
menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal.
Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan
extremadamente bien mediante una distribución normal.
Grafica: Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continúa,
su gráfica, quese denomina curva normal, es la curva con forma de campana

4. El modelo probabilístico para la distribución de frecuencias de una variable
aleatoria continua implica la selección de una curva, generalmente regular o
aislada, a la que se llama distribución de probabilidad o función de densidad
de probabilidad de una variable aleatoria. Si la ecuación de esta distribución
de probabilidad continua es f(x), entonces la probabilidad de que x esté en el
intervalo a < x < b es el área bajo la curva de distribución para f(x) entre los
dos puntos a y b.
Una vez que conocemos la ecuación f(x) de una distribución de
probabilidad particular se pueden encontrar probabilidades específicas, por
ejemplo, la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x <b, de dos
maneras. Podemos graficar la ecuación y utilizar métodos numéricos para
aproximar el área sobre el intervalo a < x < b. Este cálculo puede realizarse
utilizando métodos muy aproximados o una computadora para obtener
cualquier grado de precisión. O bien, si f(x) tiene una forma particular,
podemos usar el cálculo integral para encontrar P(a <x< b).
Afortunadamente, no hay que utilizar en la práctica, ninguno de estos
métodos, porque se han calculado y tabulado las áreas bajo la mayoría de
las distribuciones de probabilidades continuas más empleadas.

5. Distribución de Probabilidad Gamma
La distribución Gamma es una distribución de probabilidad continua. La
distribución Gamma modela la suma de múltiples variables independientes,
distribuidas exponencialmente. Se puede ver como un caso especial de
distribución exponencial; pero otras distribuciones, como la Chi – Cuadrado,
se basan en ella.
Asimismo para un valor de alfa 1, la distribución Gamma equivale a la
distribución exponencial. Cuando el valor de alfa es un número entero, la
distribución Gamma se convierte en la distribución Erlang. Para un valor de
alfa entero y uno de beta equivalente a 2, la distribución Gamma se convierte
en distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad de alfa.
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se
está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de
Poisson (número de ocurrencias de un evento, llegadas, en un intervalo de
tiempo) de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta
obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a= n´lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Ejemplo, en la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio
de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de
memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad,
mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica
“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Campo de variación:
0 <x < ¥

6. Parámetros:
a: parámetro de escala, a > 0
p: parámetro de forma, p > 0
Usos: Estas distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de
confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y
tiempos de fallas de partes componentes y sistemas eléctricos,
frecuentemente son bien modelados mediante la distribución exponencial.La
velocidad del viento horaria y media diaria no se ajusta a una distribución
normal, se emplean distribuciones de extremos, para ajustar las
distribuciones de velocidades de viento.La precipitación diariano tiene una
distribución normal. Usualmente se emplea una distribución de extremos
Gamma, para ajustar las distribuciones delluvias diarias.
Tiene aplicaciones en tiempos de espera y teoría de la confiabilidad;
define una familia de la que otras distribuciones son casos especiales; la
densidad gamma se puede desarrollar con el proceso de poissont
La fórmula para la distribución Gamma es la siguiente:
Gráfica:

7. Ejemplo
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la
probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta la llegada del
segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre
hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 6,0000
p : Forma 2,0000
Punto X 1,0000
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174
Media 0,3333

8. Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo pacientees 0,98.
Se destaca que con valores iguales a cero no es posible el cálculo del
valor A pues ellogaritmo de cero es infinito. En el caso de que aparezcan
valores nulos hay que crear unafunción mixta compuesta de la probabilidad
del valor nulo y la probabilidad del valor nonulo: “q” y “p” = 1-q.
Ejemplo:
Con los datos de precipitación del mes de Julio se pide calcular los
percentiles 20, 40, 60 y 80 mediante el empleo de la ley de distribución
Gamma.
00
00
9.4
6.0
0.0
10.5
44.8
8.7
10.0
2.8
12.3
3.9
3.2
2.5
8.2
37.1
16.7
4.8
2.8
68.6
71.2
9.7
72.9
13.8
0.0
5.6
4.0
37.9
2.6
Solución.
El número de datos de la serie es de 29. Podemos observar que en algunos
años durante el mesde Julio no hubo precipitación. Como con los valores
iguales a cero no es posible el cálculo delvalor A pues el logaritmo de cero es
infinito. Hay que crear una función mixta compuesta de laprobabilidad del
valor nulo “q” y la del valor no nulo “p = 1-q”.

9. Distribución de Probabilidad Exponencial
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución
geométrica discreta.
Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el
tiempo hasta queocurre determinado evento; en particular, se utiliza para
modelar tiempos de supervivencia.
Un ejemplo es el tiempo que tarda una partícula radiactiva en
desintegrarse. El conocimientode la ley que sigue este evento se utiliza, por
ejemplo, para la datación de fósiles o cualquiermateria orgánica mediante la
técnica del carbono.
Una característica importante de esta distribución es la propiedad
conocida como “falta dememoria”. Esto significa, por ejemplo, que la
probabilidad de que un individuo de edad tsobreviva x años más, hasta la
edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivirhasta la edad
x. Dicho de manera más general, el tiempo transcurrido desde
cualquierinstante dado t0 hasta que ocurre el evento, no depende de lo que
haya ocurrido antes delinstante t0.
La distribución exponencial se puede caracterizar como la distribución del
tiempo entresucesos consecutivos generados por un proceso de Poisson;
por ejemplo, el tiempo quetranscurre entre dos heridas graves sufridas por
una persona. La media de la distribución dePoisson, lambda, que representa
la tasa de ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es elparámetro de la
distribución exponencial, y su inversa es el valor medio de la distribución.
También se puede ver como un caso particular de la distribución
gamma(a,p), con a=lambda yp=1.
El uso
El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos
de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado
no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que

10. pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es
que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo.
Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala
quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas
siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si
hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la
distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran
variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su
cirugía era mucho más simple que la anterior.
Gráfica: Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos.
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial
con parámetro

11. Ejercicio
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos
sigue una distribuciónexponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la
probabilidad de que a una persona a la que sele ha implantado este
marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si elmarcapasos
lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la
probabilidadde que haya que cambiarlo antes de 25 años?
La variable aleatoria “tiempo de vida del marcapasos” sigue una
distribución exponencial deparámetro lambda=1/16=0,0625
Resultados
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Exponencial (lambda)
Lambda : Tasa 0,0625
Punto X 20,0000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7135
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,2865
La probabilidad de que se le tenga que implantar otro marcapasos antes de
los 20 años sesitúa en un entorno a 0,71.

12. Teniendo en cuenta la propiedad de “falta de memoria” de la exponencial, la
probabilidadde tener que cambiar antes de 25 años un marcapasos que lleva
funcionando 5 es igual a laprobabilidad de cambio a los 20 años, es decir,
P(X<25/X>5) = P(X<20) = 0,71.
Distribución de Probabilidad Erlang
La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad continua con
amplia aplicabilidad principalmente debido a su relación con las
distribuciones exponencial y gamma. La distribución de Erlang fue
desarrollado por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas
que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los operadores de las
estaciones de conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico ha
sido ampliado para tener en cuenta los tiempos de espera en los sistemas de
formación de colas en general. La distribución se utiliza ahora en el campo
de los procesos estocásticos y de biomatemáticas.
La distribución es una distribución continua, que tiene un valor positivo
para todos los números reales mayores que cero, y viene dada por dos
parámetros: la forma, que es un entero positivo, y la tasa, que es un número
real positivo. La distribución se define a veces utilizando la inversa de la tasa
parámetro, la escala. Es la distribución de la suma de las variables
exponenciales independientes con media.
Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la distribución se simplifica a
la distribución exponencial. La distribución Erlang es un caso especial de la
distribución Gamma, donde el parámetro de forma es un número entero. En
la distribución Gamma, este parámetro no se limita a los números enteros.

13. UsosSe utiliza en modelos de sistemas de servicio masivo, para describir
el tiempo de espera hasta el suceso, son aleatorias.
Gráfica
La distribución gamma, cuando a es un entero positivo se conoce con el
nombre de Erlang. Existe una asociación entre los modelos de probabilidad
de Poisson y de Erlang. Si el número de eventos aleatorios independientes
que ocurren en un lapso específico es una variable aleatoria de Poisson con
frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/ q, entonces, para una a dada,
el tiempo de espera hasta que ocurre el a-ésimo evento de Poisson sigue
una distribución de Erlang.

14. Cuando a=1, la distribución de Erlang se reduce a una distribución
exponencial negativa. Nótese que la variable aleatoria de una distribución
exponencial negativa puede pensarse como el lapso que transcurre hasta el
primer evento de Poisson. De acuerdo con esto, la variable aleatoria de
Erlang es la suma de variables aleatorias independientes distribuidas
exponencialmente.
Otro caso especial del modelo de probabilidad gamma es la distribución
chi-cuadrado.
Si se hace a= u /2 y q=2 , se obtiene:
Donde u recibe el nombre de grados de libertad.
La media y varianza de la distribución chi-cuadrado se obtienen de los de la
gamma.
E[X]= u y Var[X]=2. u
Weibull
La distribución Weibulles una distribución de probabilidadcontinua; queda
totalmente definida mediante dos parámetros, forma (a) y escala (b). En el
caso particular de que a=1, se tiene la distribución exponencial, y si a = 2 y b
= recibe el nombre de
2 σdistribución de Rayleigh.
Usos:
Esta distribución se utiliza para modelar situaciones del tipo tiempo fallo,
modelar tiempos de vida o en el análisis de supervivencia, aparte de otros
usos como, por ejemplo, caracterizar el comportamiento climático de la lluvia
en un año determinado.Se ha usado para modelar situaciones del tipo

15. tiempo- falla, ó bien puede indicar la vida útil de cierto artículo, planta o
animal, confiabilidad de un componente.
Gráficas Obsérvense a continuación las gráficas de algunas de las formas
que adquiere la distribución.
Ejercicio
Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de
vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de
este modelo viene dada por:
Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es
un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona

16. una gran flexibilidad a este modelo).La función de distribución se obtiene por
la integración de la función de densidad y vale:

17. CONCLUSION
Una vez desarrollado el tema sobre probabilidades se puede llegar a las
siguientes conclusiones:
A través de esas construcciones teóricas, se podrá experimentar sobre
aquello que la realidad no permitía;se usa extensamente en áreas como la
estadística, la física, la matemática, la ciencia para lograr conclusiones sobre
la probabilidad de sucesos potenciales en sistemas complejos.
Debido a la necesidad de modelar lo observable laprobabilidad constituye
un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades
obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango
estadístico; un modeloresulta extremadamente útil, siempre que se
corresponda con la realidad que pretende representar o predecir; por ello es
necesario conocer cada distribución de la probabilidad en el casos
especifico, sus usos y formas de aplicarlas.
Asimismo la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un
resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento
aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones
suficientemente estables; en este sentido se recurre a diferentes
distribuciones de probabilidad como weibull, erlang, exponencial, gamma,
continua según el caso y uso.

18. BIBLIOGRÁFIA
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