1. Estudiante:
Oscar Pulla
PROFESOR:
Ing. Hernán Pesantez
TEORÍA DEL NUMERO
LOS NÚMEROS
NATURALES
Dios hizo los números , el resto es obra
del hombre. LEOPOLD KRONECKER

2. 1. HISTORIA DE LOS
NÚMEROS NATURALES

3. El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó
recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial
descripción acerca de los números enteros en la historia.
Introducción

4. Antes de que surgieran los números naturales
para la representación de cantidades, el ser humano
usó otros métodos para contar, utilizando para ello
objetos como:
Piedras.
Palitos.
Nudos de la cuerda.
O simplemente dedos de la mano.

5. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos
gráficos como:
marcas en una vara
trazos específicos sobre la arena.

6. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los
primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales
en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello
un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme.

7. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos
gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la
Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,
mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron
algunos símbolos.
Antigua RomaGrecia Antigua

8. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que
comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX.
Que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,
resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre.
Richard Dedekind

9. Peano
LOS POSTULADOS DE PEANO
Hasta ahora hemos supuesto las propiedades de los sistemas de números que son necesarias
para proporcionarnos ejemplos y ejercicios en los primeros capítulos. En este capítulo nos
proponemos cons-truir el sistema de los números naturales suponiendo solamente unas
cuantas de sus propiedades más simples. Estas propiedades más simples, conocidas como
postulados (axiomas) de Peano por el mate-mático italiano que los enunció en 1899, se
pueden establecer como sigue:
Sea un conjunto N no vacío, tal Postulado
I: I e N.
Postulado II: Para cada n e N existe un
único n* e N, llamado siguiente de n.
Postulado III: Para cada n e N se tiene
n* ^ 1.
Postulado IV: Si m, n e N y m* = «*,
entonces m = n}
Postulado V: Todo subconjunto K as N
que tenga las propiedades
I es K
k* e K siempre que k e K
es el mismo N.

10. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de
números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente
la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que
buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del
conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y
principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una
modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el
conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann
von NeumannFrege Zermelo

11. 2. Definición, Utilidad y
representación grafica de
los números naturales
• Los números naturales surgieron por la
necesidad de contar objetos.

12. DEFINICIÓN
Es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se
llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya
que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en
el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un
número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

13. PARA QUE UTILIZAMOS LOS NÚMEROS NATURALES.
Para contar objetos o personas. Por ejemplo, podemos contar el número
de papeleras que hay en nuestro Instituto. O los habitantes censados que
hay en nuestro pueblo.
Para estimar cantidades. Por ejemplo, podemos estimar aproximadamente
el número de vehículos que hay en nuestro pueblo (―piensa que
procedimiento utilizarías, para efectuar dicha estimación‖).
Para ordenar objetos o personas. Por ejemplo, cuando vamos a una
consulta médica, somos reconocidos según el numero de orden que llevamos.
También en ocasiones se utilizan como simples letras para expresar claves de
identificación o códigos, que identifican personas, objetos, etc. Como por ejemplo,
los números de D.N.I, las matrículas de los coches, los códigos de barra, etc.

14. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LOS NÚMEROS NATURALES?
Si tenemos que representar gráficamente, los números: 5, 2, 16, 8, 9
Dibujamos una recta, y trazamos marcas igualmente separadas (“será
conveniente utilizar reglas o compás”), tomando una marca como el 0,
contando de izquierda a derecha, se utilizará cada marca como una unidad
52 16980

15. 3. Propiedades
de los
Números Naturales

16. Propiedades de la adición de
Números Naturales

17. Propiedades de la Multiplicación
de Números Naturales

18. Propiedades de la Resta de
Números Naturales

19. Propiedades de la División de
Números Naturales

20. 4. ORDEN Y OPERACIONES
CON NÚMEROS
NATURALES

21. ORDEN DE OPERACIONES.
Cuando tenemos que efectuar una expresión con varias operaciones.
EJEMPLO: 1 + ( 3 + 4 )  7 - 2  5
Es importante que tengamos en cuenta la prioridad con que se deben efectuar las
operaciones, para que el resultado sea correcto.
IMPORTANTE.- Efectuaremos todas las operaciones de izquierda a
derecha, pero teniendo en cuenta las siguientes reglas:
1º Se operan los paréntesis o corchetes.
2º Se operan las multiplicaciones o divisiones.
3º se operan las sumas y restas.

22. ORDEN DE OPERACIONES (EJEMPLO).
1 + ( 3 + 4 )  7 - 2  5 =
= 1 + ( 7 )  7 - 2  5 =
= 1 + 49 - 10 =
= 50 - 10 =
= 40.
IMPORTANTE.- Si tenemos una expresión con varias sumas y restas.
Ejemplo: 45 - 6 + 5 - 3 + 8 -1
Agrupamos por un lado las sumas y por otro las restas, y la expresión se
reduce a resolver una resta de dos expresiones.
Ejemplo: 45 - 6 + 5 - 3 + 8 – 1 = (45+5+8) – (6+3+1) = 58 – 10 = 48

23. SUMA DE NÚMEROS NATURALES
SUMA:
85
+ 36
112 LUEGO: 85 + 36 = 121
Propiedades de la Suma:
CONMUTATIVA.- La suma no varía al cambiar el orden de los
sumandos. Ejemplo:
ASOCIATIVA.- Si tenemos que sumar varios números, el valor de la
suma es independiente de cómo se agrupen los sumandos. Ejemplo:
22 +11 = 33
11 + 22 = 33
( 22 +11 ) + 5 = 33 + 5 = 38
22 + (11 + 5 ) = 22 + 16 = 38

24. PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES
LUEGO: 85  36 = 3060
Propiedades del Producto:
CONMUTATIVA.- El producto no varía al cambiar el orden de los
factores. Ejemplo:
ASOCIATIVA.- Si tenemos que multiplicar varios números, el valor del
producto es independiente de cómo se agrupen los factores. Ejemplo:
2  11 = 22
11  2 = 22
( 2  11 )  3 = 22  3 = 66
2  (11  3 ) = 2  33 = 66
PRODUCTO:
85
x 36
051
525
0603

25. RESTA DE NÚMEROS NATURALES
RESTA:
85
- 36
94 LUEGO: 85 - 36 = 49
Observa, que si efectuamos la resta:
36 – 85 = - 49 Obtendremos un número negativo.
IMPORTANTE.-
Si a cualquier número le sumamos o restamos 0, el número se queda
como está. Ejemplo: 7 + 0 = 7 = 7 – 0
Si cualquier número lo multiplicamos por 1, el número se queda
como está. Ejemplo: 7  1 = 7

26. COCIENTES EXÁCTOS Y COCIENTES INEXACTOS
C. EXACTO:
118 |_36
3- 118
0 LUEGO: 118 : 36 = 3
C. INEXACTO:
3064 |_36
8
LUEGO: 118 : 36 = 85; RESTO = 4
18
5
Es decir: 3064 = 36 x 85 + 4
- 288
4
- 180
4 = REST0

27. 5. Problemas resueltos de
Números Naturales

28. 1. Demostrar la ley asociativa A3: m+(n+p)=(m+n)+p para cualesquiera m,n,p N.
Sean m y n 2 números naturales dados y considerece la proposición
P(p) : m + (n+p)=(m + n ) +p para cualesquiera p  N
Sean m y n dos números naturales dados y considérese la proposición
P (p): m + (n + p) — (m + n) + p para cualesquiera p e N Primero verificamos la
validez de P (): m + (n + 1) = (m + n) + 1. Por (i) y (ii), página 30
En seguida, supóngase que para algún k e N se verifica
P(k) : m + (n + k) = (m + r) + k Hay que demostrar que esto implica que
P(k*) : m + (n + k*) = (m + n) + k*
Es verdad. Por (ii), m + (n + k*) = m + (n + k)* - [m + (n + k)}*
Y (m + n) + k* = {(m + n) + k}*
Entonces, siempre que P (k) sea cierto,
m + (n + k)* = [m+(n + k)]* ~- [(m + n) + k* = (m + n) + k*
y P(k*) es cierto. Así, pues, P (p) es cierto para todo p s N y como m y n son cualesquiera
números naturales, que-
da demostrada A3.

29. 2. Demostrar que P(n): n + 1 — I + n para todo n e N.
Evidentemente, /> (!) = 1 + 1 = 1 + 1 es verdad. Supóngase ahora que para algún kN,
P(k) : k + 1 = 1 + k
Mediante la aplicación sucesiva de la definición de k*, de A3, de la suposición que P(k) es
cierto, y de la defini-ción de k*, se tiene
l + k* = l + (fc + l) = (l + fe) + l = (fc+l) + l = k* + 1 Así que P(k*) es cierto y queda
demostrada P(n).
3. Demostrar la ley conmutativa A2 : m + n = n + m para todo m,n E N. Sea n un número
natural dado, pero arbitrario, y considérese
P(m): m + n = n + m para cualquiera mN
Por el Problema 2, P(l) es cierto. Supóngase que para algún k e N se verifica
P(k) : k + n = n + k Entonces
k* + n = (k+l) + n = k + (1 + n) = Así, pues,
(n+l) = k + n* = (k + n)* = (n + k)* = n + k* k* + n — n + k*

30. 4. (a) Sean a1; a2, a3, a4e Nº defínase a: + a2 + cz3 + a4 = (aL + a2 + «3) + a4- Demostrar
que se pueden intercalar paréntesis a voluntad en at + a2 + a3 + a4.
Utilizando (v), tenemos a ¡ + a2 + a.3 + o4 = (a, + a2 + a3) + a4 = (o, + a2) + a3 + a4 = (al +
a2) + (a3 + o4) = ox + a2 + (a3 + a4) = Oj + (a2 + as + a4), etc.
(5) Para b,a ,(tí,az & N, mostrar que 6 • (ai + a2 + as) = b • ai + b • a2 + b • as.
¿> • (at + o2 + a3) = b • [(a1 + a2) + a3] — b • (a^ + a2) + 6 • a3 = 6 • al + b • a2 + 6 •
o3
5.Demostrar la ley distributiva D2: (n + p) • m = n • m + p • m para cualesquiera m, n, p e
7v*.
Supóngase dados n y p y considérese
P(m) : (n + p) • m = n • m 4- p • m
para todo m & N Mediante A1 y (iii) se ve que es cierto
P(l) : (TI + p) • 1 = n + p n • 1 -t- p • 1 Supóngase que para algún k e N se verifica
Entonces (n + p) • fe* = (n + p) • k + (n + p) = n • k + p • fe + n + p
= (n ' k + n) + (p • k + p) = n • k* + p • k*
Asi pues P(k): ( n+p) * K = n*k * +p*k*
Es cierto queda demostrado D2

31. Bibliografía
• http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/num
enatu.htm
• http://numerosnaturales-
kapavi.blogspot.com/2009/07/historia-de-
los-numeros-naturales.html
• Teoría de conjuntos y temas afines - Serie
Schaum - Symour Lipschutz