Este documento presenta un manual y video tutorial sobre números complejos. Primero introduce los números complejos, incluyendo su forma estándar y representación geométrica. Luego describe operaciones básicas como suma, resta, producto y división de números complejos en forma estándar y trigonométrica. Finalmente, explica soluciones de ecuaciones cuadráticas complejas y el teorema de De Moivre para potencias de números complejos. El objetivo es conocer y resolver operaciones con números complejos en diferentes formas.
1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS
“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS”
AUTORES:
JAIRO JOSUÉ LUCIN CORTEZ.
MICHAEL BRYAN VEGA CELI.
RONNY FABIÁN PANCHANA VILLÓN.
CARRERA:
INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE:
ING. CARLOS MALAVÉ CARRERA.
SANTA ELENA
AGOSTO 2015
2. 2
INDICE
INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................3
OBJETIVOS ..................................................................................................................3
NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................4
FORMA ESTÁNDAR DE UN NÚMERO COMPLEJO..................................................4
Igualdad de números complejos...............................................................................4
Conjugado .................................................................................................................5
Complejos Opuestos.................................................................................................5
Representación Geométrica de Números Complejos..............................................6
OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS FORMA ESTÁNDAR .......................7
Suma y Resta de Números Complejos.....................................................................7
Producto de números complejos...............................................................................8
ECUACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS.............................................................9
Soluciones Complejas de ecuaciones cuadráticas ..................................................9
Raíz Cuadrada principal de un número negativo .....................................................9
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO..................................10
Forma trigonométrica a estándar de un número complejo.....................................10
OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA .11
Producto y Cociente de Números Complejos (Forma Trigonométrica).................11
Ejemplo de Producto en los Números Complejos..................................................11
Ejemplo de Cociente en los Números Complejos ..................................................12
POTENCIAS DE NÚMEROS COMPLEJOS ..............................................................13
Teorema de De Moivre – Potencia Enésima..........................................................13
Teorema de De Moivre para todos los enteros ......................................................14
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS .....................................................14
Operaciones Complejas – Ejercicios Sencillos.......................................................14
EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS .............................................................15
Ejercicios del Video Demostrativo ..........................................................................15
NORMAS APA – CITA BIBLIOGRÁFICAS ................................................................17
Bibliografía...............................................................................................................17
Página URL – Citas Investigativas..........................................................................18
Video Tutorial – URL ...............................................................................................18
3. 3
INTRODUCCIÓN
Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya
descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos
números.
Un número complejo es utilizado para determinar valores de operaciones
cuyo resultado no se encuentra en la recta de los números reales.
Los números complejos se representa por un par de números entre
paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de 𝑥 +
𝑦𝑖, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La
clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real, y la parte
imaginaria.
OBJETIVOS
Conocer, identificar y resolver operaciones con números complejos
Transformar los números complejos a forma trigonométrica a estándar
o viceversa.
Aplicar el teorema de Moivre para la solución de potencias enésimas.
Isaac Asimov, en su libro “De los números y su historia”, relata una historia
en la que un profesor de Sociología en su clasificación de la humanidad
agrupó a los matemáticos entre los místicos junto con los poetas y los
teólogos, ya que para él los matemáticos son místicos porque creen en
números que no tienen realidad, para explicarlo dijo lo siguiente, “La raíz
cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman
imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tiene alguna clase de
existencia”. Pero la verdad es que no hay nada de místico en ellos, son tan
reales como cualquier otro.
4. 4
NÚMEROS COMPLEJOS
¿Qué es un número complejo? Un número complejo es simplemente dos
números sumados juntos (uno real y uno imaginario). Es decir, un número
complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Pero cualquiera de los
dos puede ser 0, así que los números reales e imaginarios son también
números complejos.
FORMA ESTÁNDAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
De esta manera se divide un número complejo:
3+2i (numero complejo)
3 (parte real)
2i (parte imaginaria)
Un número complejo se define como cualquier expresión de la forma:
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Donde a y b son números reales, e 𝑖2
= −1
Igualdad de números complejos
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales
y sus partes imaginarias son iguales.
Es decir, si 𝑍1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑍2 = 𝑐 + 𝑑𝑖
𝑍1 = 𝑍2 Si y sólo si a=c y b=d
5. 5
Conjugado
Si 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un número complejo, entonces el número siguiente: 𝑍̅ =
𝑎 − 𝑏𝑖 Se llama conjugado de 𝑍.
Ejemplos:
3 − 2𝑖 = 3 + 2𝑖
−
1
3
+ √2𝑖 = −
1
3
− √2𝑖
3𝑖 = −3𝑖
−5𝑖 = 5𝑖
Complejos Opuestos
Si 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un número complejo, entonces el número siguiente: 𝑍̂ =
−𝑎 − 𝑏𝑖 Se llama opuesto de 𝑍.
Ejemplos:
2 − 7𝑖 = −2 + 7𝑖
−
5
2
+ 4𝑖 =
5
2
− 4𝑖
√2 + √3𝑖 = −√2 − √3𝑖
6. 6
Representación Geométrica de Números Complejos
Así como los números reales se representan geométricamente por medio
de una recta, es posible dar una representación geométrica de los
números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas.
Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los
puntos del plano. A cada número complejo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se le asocia el
punto del plano, P(a, b) g.
Ejemplo:
𝑍 = 4 + 5𝑖
7. 7
OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS FORMA
ESTÁNDAR
Suma y Resta de Números Complejos
Si 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 son dos números complejos escritos en forma estándar,
su suma y diferencia están definidas de esta forma:
Suma: ( 𝑎 + 𝑏𝑖) + ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎 + 𝑐) + ( 𝑏 + 𝑑) 𝑖
Resta: ( 𝑎 + 𝑏𝑖)− ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎 − 𝑐) + ( 𝑏 − 𝑑) 𝑖
Ejemplo 1:
(4 + 7𝑖)+ (1 − 6𝑖) = 4 + 7𝑖 + 1 − 6𝑖 Eliminar paréntesis
(4 + 1) + (7𝑖 − 6𝑖) Agrupar términos semejantes
5 + 𝑖 Escribir en forma estándar
Ejemplo 2:
(3 + 2𝑖)+ (4 − 𝑖) − (7 + 𝑖) = 3 + 2𝑖 + 4 − 𝑖 − 7 − 𝑖
(3 + 4 − 7) + (2𝑖 − 𝑖 − 𝑖) Agrupamos términos semejantes
0 + 0𝑖 = 0
8. 8
Producto de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en
cuenta que 𝑖2
= −1.
Ejemplos a:
(2 − 𝑖)(4 + 3𝑖) = 2(4 + 3𝑖)− 𝑖(4 + 3𝑖) Propiedad Distributiva
8 + 6𝑖 − 4𝑖 − 3𝑖2
Propiedad Distributiva
8 + 6𝑖 − 4𝑖 − 3(−1) 𝑖2
= −1
(8 + 3) + (6𝑖 − 4𝑖) Agrupar términos semejantes
11 + 2𝑖 Escribir a forma polar
Ejemplo b:
4(−2 + 3𝑖) = 4(−2) + 4(3𝑖) Propiedad Distributiva
−8 + 12𝑖 Simplificar
9. 9
ECUACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Soluciones Complejas de ecuaciones cuadráticas
Cuando se usa la formula cuadrática para resolver una ecuación
cuadrática, a veces se obtiene un resultado como √−3, que sabemos no
es número real. Al factorizar 𝑖 = √−1, se puede escribir este número en
forma estándar.
√−3 = √3(−1) = √3√−1 = √3𝑖
El número √3𝑖 se llama raíz cuadrada de −3
Raíz Cuadrada principal de un número negativo
Si 𝑎 es un número positivo, la raíz cuadrada principal del número negativo
−𝑎 está definida como:
√−𝑎 = √ 𝑎 𝑖
Ejemplo a:
√−3√−12 = √3𝑖√12𝑖 = √36𝑖2
= 6(−1) = −6
Ejemplo b:
3𝑥2
− 2𝑥 + 5 = 0 𝑥 =
−(−2)±√(−2)2−4(3)(5)
2(3)
=
2±√−56
6
2 ± 2√14𝑖
6
=
1
3
±
√14
3
𝑖
10. 10
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO
COMPLEJO
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Si 𝑟 = | 𝑧| = √𝑎2+ 𝑏2 y si θ es un argumento de 𝑧, entonces:
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃
Forma trigonométrica a estándar de un número complejo
Ejemplo a:
Z = √8[cos(−
𝜋
3
) + 𝑖 sin (−
𝜋
3
)] Sacamos las expresiones con π
𝑍 = 2√2(
1
2
− √3
2
𝑖) Simplificamos y Multiplicamos
𝑍 = √2 − √6𝑖 Resultado en forma estándar
11. 11
OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS EN
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Producto y Cociente de Números Complejos (Forma Trigonométrica)
Sean 𝑍1 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1 ) y 𝑍2 = 𝑟2 (cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2) números
complejos.
Formula:
Producto: 𝑍1 𝑍2 = 𝑟1 𝑟2[cos( 𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sin( 𝜃1 + 𝜃1)]
Cociente:
𝑍1
𝑍2
=
𝑟1
𝑟2
[cos( 𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin( 𝜃1 − 𝜃1)] 𝑍2 ≠ 0
Ejemplo de Producto en los Números Complejos:
Encuentre el producto 𝑍1 𝑍2 de los números complejos.
𝑍1 = 2 (cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
) 𝑍2 = 8 (cos
11𝜋
6
+ 𝑖 sin
11𝜋
6
)
𝑍1 𝑍2 = 2(cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
) × 8(cos
11𝜋
6
+ 𝑖 sin
11𝜋
6
)
16[cos (
2𝜋
3
+
11𝜋
6
) + 𝑖 sin (
2𝜋
3
+
11𝜋
6
)]
16(cos
5𝜋
2
+ 𝑖 sin
5𝜋
2
)
16(cos
𝜋
2
+ 𝑖 sin
𝜋
2
) = 16[0 + 𝑖(1)] = 16𝑖
12. 12
Ejemplo de Cociente en los Números Complejos:
Escriba el cociente a forma estándar ( 𝑎 + 𝑏𝑖)
4(cos 350°+isin 350°)
5(cos 105°+isin 105°)
Procedemos a usar la formula
4
5
[cos(345° − 105°)+ 𝑖 sin(345° − 105°)] Restamos los grados
4
5
[cos240° + 𝑖 sin 240°] Sacamos los grados
4
5
[−
1
2
+ 𝑖 (−
√3
2
)] Multiplicamos y Simplificamos
−
2
5
−
2√3
5
𝑖
13. 13
POTENCIAS DE NÚMEROS COMPLEJOS
Se utiliza la potencia de un número complejo elevando la expresión a una
cantidad dada, lo cual afecta al módulo y ángulos del número complejo en
su forma trigonométrica. Considere el uso repetido de la regla de la
multiplicación:
Z = r(cosθ + 𝑖 sin θ)
𝑍2
= r(cosθ + 𝑖 sin θ)r(cosθ + 𝑖 sin θ) = 𝑟2(cos2𝜃 + 𝑖 sin 2𝜃)
𝑍3
= 𝑟2
(cos2θ + 𝑖 sin 2θ)r(cosθ + 𝑖 sin θ) = 𝑟3(cos3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃)
𝑍4
= 𝑟4
(cos4θ + 𝑖 sin 4θ)
𝑍5
= 𝑟5
(cos5θ + 𝑖 sin 5θ)
Teorema de De Moivre – Potencia Enésima
SI Z = r(cosθ + 𝑖 sin θ) es un número complejo y n es un entero positivo,
entonces
𝑍 𝑛
= [ 𝑟(cos𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)]
= 𝑟 𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃)
Si 𝑛 = 0 o menor, ose n negativo, se cumple que 𝑍0
= 1 ; 𝑍−𝑛
=
1
𝑍 𝑛
14. 14
Teorema de De Moivre para todos los enteros
Si el valor de k es cualquier número tenemos:
𝑍 𝑘
= [ 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)] 𝑘
= 𝑟 𝑘(cos 𝑘𝜃 + 𝑖 sin 𝑘𝜃)
Esto se aplica para enteros positivos ósea que una expresión compleja este
elevado de números positivos encontrados en la recta real de lado derecho.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Operaciones Complejas – Ejercicios Sencillos
Dados 𝑍1 = −3 + 4𝑖 𝑍2 = 5 − 2𝑖 𝑍3 =
3
2
y 𝑍4 = 7𝑖 calcular:
Ejemplo a:
𝑍1 𝑍4 + 𝑍3 𝑍4
Solución:
(−3 + 4𝑖)(7𝑖)+ (
3
4
)(7𝑖) Remplazamos Términos a la expresión
−21𝑖 + 28𝑖2
+
21
2
𝑖 Destruimos paréntesis
−21𝑖 + 28(−1) +
21
2
𝑖 Recordemos que 𝑖2
vale -1
−42𝑖+21𝑖
2
− 28 Términos Semejantes
−21𝑖
2
− 28
15. 15
Ejemplo b:
𝑍1
2
𝑍3
(−3 + 4𝑖)2
(
3
2
) Remplazamos Términos a la expresión
(9 − 24𝑖 + 16𝑖2
)(
3
2
) Trinomio cuadrado perfecto
(9 − 24𝑖 + 16(−1))(
3
2
) Recordemos que 𝑖2
= −1
(9 − 24𝑖 − 16)(
3
2
) Multiplicamos para reducir expresión
(−7 − 24𝑖) (
3
2
) Unimos términos semejantes
−
21
2
− 36𝑖
EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
Ejercicios del Video Demostrativo
Ejemplo a:
Escriba el producto
2
3
(cos
2
9
𝜋 + 𝑖 sin
2
9
𝜋) × 6(cos
19
36
𝜋 + 𝑖 sin
19
36
𝜋) en la forma
𝑎 + 𝑏𝑖
2
3
(cos
2
9
𝜋 + 𝑖 sin
2
9
𝜋) × 6(cos
19
36
𝜋 + 𝑖 sin
19
36
𝜋) Aplicamos la formula
2
3
× 6 [cos(
2
9
𝜋 +
19
36
𝜋) + 𝑖 sin (
2
9
𝜋 +
19
36
𝜋)] Simplificamos y M.C.M
4 (cos
3
4
𝜋 + 𝑖 sin
3
4
𝜋) De grados a valor numérico
4 [−
√2
2
+ 𝑖 (
√2
2
)] Simplificamos numerador con denominador
−2√2 + 2√2𝑖
16. 16
Ejemplo b:
Encuentre el cociente 𝑍1/𝑍2 de los números complejos
𝑍1 = 24(cos300° + 𝑖 sin 300°) 𝑍2 = 8(cos75° + 𝑖 sin 75°)
Solución:
𝑍1
𝑍2
=
24(𝑐𝑜𝑠 300°+𝑖 𝑠𝑖𝑛 300°)
8(𝑐𝑜𝑠 75°+𝑖 𝑠𝑖𝑛 75°)
Aplicamos la formula
24
8
[cos(300° − 75°) + 𝑖 sin(300° − 75°)] Dividir módulos y restar argumentos
3(cos225° + 𝑖 sin 225°) De grados a valor numérico
3 [(−
√2
2
) + 𝑖 (−
√2
2
)] Multiplicar de forma distributiva
−
3√2
2
−
3√2
2
𝑖
Ejemplo c:
Use el teorema De Moivre para hallar (−1 + √3𝑖)
12
Solución:
Primero convierta el número complejo a forma trigonométrica usando:
𝑟 = √(−1)2 + (√3)
2
= √1 + 3 = √4 = 2
Obtenido el módulo procedemos a usar ley del ángulo:
𝜃 = tan−1 √3
−1
= −√3 =
2𝜋
3
Expresamos el −√3 en 𝜋𝑟𝑎𝑑
17. 17
Por lo tanto, la forma trigonométrica es:
𝑍 = −1 + √3𝑖 = 2 (cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
)
Entonces, por el teorema De Moivre, tenemos
(−1 + √3𝑖)
12
= [2 (cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
)]
12
Aplicamos el teorema De Moivre
212
= [cos
12(2𝜋)
3
+ 𝑖 sin
12(2𝜋)
3
] Simplificamos y resolvemos la potencia
4096(cos8𝜋 + 𝑖 sin 8𝜋) De radianes a valor numérico
Sabemos que 2𝜋 es hablar de una vuelta completa, es decir 360°.
Entonces 8𝜋 es lo mismo que hablar de 3 vueltas, quiere decir que en el
plano de la trigonometría 2𝜋 𝑦 8𝜋 están ubicados en el mismo punto y no
afecta la expresión si ponemos 2𝜋 por qué nos referimos que son lo mismo.
4096(cos2𝜋 + 𝑖 sin 2𝜋)
4096(cos360° + 𝑖 sin 360°) De grados a valor numérico
4096(1+ 0)
4096
NORMAS APA – CITA BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografía
Espol.(2006). FundamentosdeMatemáticaspara Bachillerato. Guayaquil,Ecuador:
WashintongArmasy ICM-ESPOL.
Jarhan,N. (2012). Curso Algebra Lineal. UMSNH - Blog.
Jeria,F.N. (2013). Matemática Superior"Tercer año de bachillerato general unificado".
Quito,Ecuador:NasimMaldonado.
MatematicasXV.(1de octubre de 2009). Obtenidode
http://sureyma.blogspot.com/2009/10/33-clasificacion-de-la-matrices.html
Sandra,A. (2009). Historia de los númeroscomplejos. Lidiun.
