1. DOCUMENTO DE PRUEBA
APLICACIÓN DE DERIVADA
RAZON DE CAMBIO
La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería,
es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real.
Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y
estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en
determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos,
temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del
tiempo “t”.
Razón de cambio
El movimiento de un automóvil en una carretera está esencialmente determinado si conocemos
su posición s como función del tiempo:
s=S(t) (1)
El gráfico que vemos representa la función S( t ) como una curva en el plano s - t llamada la
trayectoria del vehículo. Esta figura muestra la posición de un auto que se aproxima y pasa
un "cuello de botella" ubicada en la carretera. Esta trayectoria particular puede ser construida
a partir de una serie de exposiciones fotográficas. Por ejemplo, en este caso, el tiempo de
cada exposición está en segundos y la distancia en metros, los correspondientes valores de s
y t pueden ser calculados en esta gráfica. Los postes del alumbrado están ubicados cada 50
metros.
El problema fundamental en el estudio del movimiento de un automóvil (o de una partícula,
aquí el punto del automóvil se considera el punto medio ubicado en el parachoques frontal) es
encontrar la velocidad como función del tiempo, a partir del conocimiento de la trayectoria S( t
).
Si la velocidad fuese constante, ella puede calcularse como el cociente entre la distancia
recorrida y el tiempo transcurrido, esto es
de tal forma que la trayectoria de tal movimiento está modelada por la línea recta s = vt. Y
es evidente que no es el caso que se describe en la gráfica anterior. Más aún si en algún
momento el móvil sigue una trayectoria recta es porque toma una velocidad constante. Y como
vemos aquí, en la gráfica, en ningún intervalo de tiempo la trayectoria es un segmento de línea
recta. Aquí surge la dificultad para el cálculo de la velocidad en cualquier instante de tiempo.

2. Vamos a calcularla pensando "en pequeño", en intervalos de tiempo pequeñísimo, por ejemplo
el intervalo [t, t + Dt] con Dt muy pequeño, la velocidad es "casi" constante, o de otra forma si
el intervalo [t, t + Dt] es pequeño la velocidad no varía mucho de una cantidad constante. De
otra forma, segmentos pequeños de trayectorias se pueden considerar como una línea recta,
de tal forma que podemos calcular la velocidad en su forma más simple (cuando es constante):
la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido.
La distancia transcurrida en el intervalo de tiempo [t, t + Dt] es S ( t + Dt ) - S ( t ), de tal forma
que la velocidad es
(2)
Volvemos a insistir, la igualdad en (2) es la velocidad que lleva el automóvil (o la partícula)
durante el intervalo de tiempo [t, t + Dt]. De modo que para pequeños valores de Dt la
velocidad en (2) puede ser computada, de hecho los radares-pistolas de la policía calculan así
la velocidad del automóvil que están apuntando.
Cuando Dt se hace más pequeño, y por ende Ds, la expresión en (2) llega a ser cada vez más
precisa, y en un proceso de límite cuando Dt tiende a cero se tiene la velocidad instantánea del
móvil en el instante t, esto es
(3)
La expresión en (3) es la que justifica la siguiente notación para derivadas (debido al Leibnitz):