Guía 4 Omar Otíz

1. Pr´actica 4
Oscilador amortiguado
Introducción y justificación
El péndulo simple consiste de una masa puntual, m, suspendida de una cuerda
fija en el extremo superior como lo muestra la figura 4.1.
m
`
✓
Figura 4.1: Péndulo simple.
Cuando la masa m se desplaza un ángulo q0 respecto a la vertical y se suelta,
comienza a oscilar. El punto inicial de la cuerda se llama centro de oscilación o
punto de pivote. La distancia ` desde este punto de pivote hasta el centro de la
masa, se toma como la longitud del péndulo.
La variable que describe el movimiento de la masa es el ángulo q. En el
caso ideal este ángulo toma valores entre q0 y +q0, es decir, la amplitud de
la oscilación q0 es constante, de manera análoga a la amplitud de la oscilación
en el sistema masa resorte ideal. Es decir, el ángulo q en el péndulo ideal se
comporta en función del tiempo como
q = q0 cos wt
Esta hipótesis es válida si se ignoran fuerzas de fricción y se supone
que la masa de la cuerda es insignificante en comparación con la
masa m.
Sin embargo, al considerar el caso más realista de movimiento de la masa bajo
la influencia de la fuerza de rozamiento con el aire, se encuentra que el ángulo
varía en el tiempo en la forma1 1
Las partículas del aire frenan a la masa
del péndulo mientras se mueve, de mo-
do que el movimiento oscilatorio no se
sostiene con amplitud constante.
q = q0e (1/2)gt
cos w 0
t (4.1)

2. 20 guías de laboratorio de física mecánica
es decir, el movimiento es oscilatorio pero el coeficiente de la función coseno,
o sea, la amplitud decae exponencialmente con el tiempo. En la figura 4.2
se aprecian tanto la gráfica de q en función del tiempo, como la gráfica de
la amplitud, que decae exponencialmente, la cual se expresa en función del
tiempo como
qmáx = q0e (1/2)gt
(4.2)
✓0
t
envolvente: ✓0e 2 t
oscilaci´on: ✓0e 2 t
cos ! 0
t
Figura 4.2: Ángulo q en función del tiem-
po. La envolvente, que une los máximos
de la oscilación, corresponde a la ampli-
tud.
El coeficiente de amortiguamiento g que aparece en la exponencial depende
de la geometría del objeto y su masa, además de la viscosidad del aire.
La frecuencia angular en la ecuación (4.1), se ha marcado con prima
para diferenciarla de la frecuencia libre o natural que tendría el pén-
dulo ideal, la cual se simboliza w0. Esta frecuencia w 0
contiene a la
frecuencia natural, así
w 0
=
r
w2
0
⇣g
2
⌘2
, (4.3)
donde
w2
0 =
g
`
.
Un sistema como el descrito se llama oscilador débilmente amortiguado y obvia-
mente su movimiento se detendrá en un tiempo determinado que depende del
grado de amortiguamiento del sistema. Por ejemplo, el sistema masa-resorte
estudiado en la práctica 3 tenía un amortiguamiento muy débil, para masas
relativamente grandes porque la fuerza viscosa del aire se hace insignificante
en comparación al peso de la masa colgante, a medida que aumenta su valor.

3. oscilador amortiguado 21
Aunque hay decaimiento de la amplitud, no se aprecia en el corto interva-
lo que duraba la medición. No sucederá lo mismo si la masa es de madera
u otro material liviano o si se espera un tiempo suficiente para observar el
decaimiento.
Tratar de verificar el amortiguamiento del péndulo y medir ampli-
tudes con respecto al tiempo, para verificar la ecuación (4.2) es el
principal objetivo de esta práctica. Adicionalmente, como resultados
se reportará el valor del coeficiente g, se usará su valor para predecir
el valor de w 0
y con él, escribir y representar gráficamente la ecuación
experimental de la oscilación.
Metas de aprendizaje
En el recuadro anterior aparece lo que el estudiante debe reportar, como resul-
tados preliminares al final de la práctica y como resultados finales depurados
y definitivos, en su informe. En su informe, especialmente en las secciones de
resultados y discusión, se debe reflejar y evidenciar el cumplimiento de las
metas de aprendizaje siguientes:
dominio de técnica de linealización de datos con tendencia exponencial
dominio de técnica de regresión lineal y sobre todo, interpretación física de
la pendiente y el corte hallados
deducción y representación gráfica de la relación funcional entre las varia-
bles medidas
identificación clara y precisa del modelo teórico que se pretende verificar
en este experimento
Procedimiento
Construyan un péndulo con la máxima longitud posible (entre 1.0 y 1.5 me-
tros) y una masa metálica de 100 gramos. Hagan oscilar el péndulo con una
amplitud angular de 20 grados. Si esperan un tiempo verán que la amplitud
angular efectivamente disminuye. 2 2
Para la realización del experimento se
les suministrará una base, un sopor-
te, masas metálicas, un cronómetro, una
cuerda y una escala para la medida de
los ángulos.
Luego de esta observación preliminar, viene la hora de tomar mediciones.
En un papel pegado a una tabla que sirve soporte, están dibujadas unas líneas
que señalan los ángulos de 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4 y 2 grados. Esta tabla
se coloca y se fija, con ayuda de una prensa, sobre un soporte, de manera
que no se mueva, por cuanto esto ocasionará error en la medida del ángulo.
De la tabla sobresale un tornillo que servirá de pivote; para que el péndulo
gire “libremente” es conveniente hacer una especie de bucle a la cuerda, en el
extremo del cual se va a colgar.

4. 22 guías de laboratorio de física mecánica
Cuando se haya colgado el péndulo y esté en su posición de equilibrio,
la cuerda marcará la vertical, que debe coincidir con la línea de cero grados
sobre la escala.
Es importante, además de lo anterior, que el centro de la escala gra-
duada coincida con el punto de pivote del péndulo, De lo contrario,
la medida de ángulo será completamente errónea.
Además, ensayen previamente el uso del cronómetro en el modo
que permita pausarlo para leer el tiempo, mientras sigue registrando
el tiempo.
Se desplaza la masa hasta que la cuerda completamente recta coincida con la
línea del ángulo máximo marcado (20 ) y se suelta al mismo tiempo que se
acciona el cronómetro.
Ahora se va esperando a que la cuerda forme los ángulos qmáx marcados y
se registra el tiempo que lleva la oscilación en cada uno de ellos (sin detener
el cronómetro). Es decir, cuando consideren que la amplitud es 18 , pausan
el cronómetro para leer el tiempo; registran los valores de ese tiempo y ese
ángulo. Con la repetición del procedimiento para los demás ángulos, al final
tendrán una tabla con los valores de tiempo en la primera columna y los del
ángulo máximo (amplitud) en la segunda.
Es recomendable agilizar y optimizar la toma de datos para alcanzar a
repetir el procedimiento una o dos veces más para tener diferentes conjuntos
de datos, por cuanto es muy fácil cometer errores en la primera medida. Es
importante registrar el valor de la longitud ` del péndulo, esto es, la distancia
desde el pivote hasta el centro de la masa.
Recomendaciones para el análisis y reporte
de resultados
Construyan la gráfica de qmáx en función de t con los datos registrados. Verán
que es necesario linealizar los datos para analizarlos y encontrar la ecuación
experimental de la amplitud de la oscilación, en función del tiempo. 3 3
Esto implica, determinar el valor de g y
de q0. Para esto se construye la gráfica de
ln q en función de t; la ayuda para inter-
pretar los datos de la regresión aparece
en el anexo al final de esta sección.
Luego, con estos datos y el del valor de `, determinen w 0
, para poder es-
cribir, por remplazo en la ecuación (4.1), la expresión experimental de q en
función del tiempo. Con ayuda de MagicPlot™ construyan la gráfica de la
oscilación y compárenla con la de la figura 4.2.
Elaboren el informe sobre esta práctica, tomando como base los objetivos,
el procedimiento realizado y los resultados. Este informe debe cumplir los
requerimientos descritos en el documento sobre elaboración de informe. Ade-
más, debe reflejar elcumplimiento de las metas de aprendizaje mencionadas
en la segunda sección de esta guía.

5. oscilador amortiguado 23
Ayuda para linealización
La ecuación (4.2) para la amplitud tiene la forma genérica
qmáx = Cekt
. (4.4)
Si en esta ecuación se toma ln, tenemos
ln(qmáx) = ln(Cekt
),
de donde resulta, al aplicar propiedades de los logarítmos, la ecua-
ción tipo línea recta
ln(qmáx) = ln C + kt.
Entonces, si la gráfica de ln(qmáx) en función de t es lineal, qmáx
tendrá la dependencia con el tiempo en la forma dada en la ecua-
ción (4.4). Con
C = eb
k = m,
donde m y b son la pendiente y el intercepto de la gráfica ln(qmáx)
en función de t.
Actividades para el preinforme
1. Digan cuáles son los otros casos de oscilador amortiguado, además del
débilmente amortiguado, y expliquen de manera breve en que consisten.
No es necesario que escriban aquí un tratado de ecuaciones diferenciales;
simplemente describan en pocas palabras, cada uno de los casos y dibujen
la gráfica, que pueden consultar en textos de física universitaria.
2. Dibujen y presenten en su bitácora la gráfica del movimiento para un os-
cilador débilmente amortiguado, en función del tiempo; para esto tomen
como caso la función x = 0.01e 0.05t cos 2.89t. Procedimiento para hacerlo
con MagicPlot™:
en la columna A elaboren la lista de tiempos desde 0.01 a 100 segundos.
Como son 10000 datos, se hace con insertar función en esa columna. La
función se escribe i*0.01 y se dice que para valores from 1 to 10000;
con esto, el programa llena la columna con los 10000 datos;
en la columna B calculen la función de la envolvente, o sea, con la sintaxis
0.01*exp(-0.05*col(A)) para el mismo rango, de 1 a 10000;
en la columna C calculen la oscilación, o sea, escriban en la caja para las
operaciones, 0.01*exp(-0.05*col(A))*cos(2.89*col(A));

6. 24 guías de laboratorio de física mecánica
seleccionen las tres columnas y elaboren la gráfica con líneas. Tabla 4.1: Datos de una variable y en fun-
ción de otra x.
x y
0 20
31.5 18
54.3 16
80.2 14
111.9 12
149.3 10
192.9 8
250.9 6
331.2 4
469.6 2
3. elaboren y presenten en su bitácora la gráfica de los datos de la tabla 4.1 y
verifiquen el tipo de tendencia;
4. elaboren la gráfica de ln y en función de x, para los datos de la tabla 4.1,
determinen pendiente y corte; con base en esos datos y las indicaciones
para análisis, encuentren y escriban la ecuación a la que se ajustan esos da-
tos. Esto lo deben comprobar de la manera como se explicó en las primeras
clases. 4
4
Importante:
las gráficas deben cumplir
los mismos requisitos de las
realizadas en la práctica 1.