CECyTE BC Álgebra Guía

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
ÁLGEBRA
PRIMER SEMESTRE

ÁLGEBRA
Autores
Castro Peñaloza Ulises
Durán Muñoz María Alejandra
Felix Robles Maria Cristina
Fernández Corrales Marlen Aida
Gachuz Cuevas Ilyan
Nuñez Inda Elizabeth

PRESENTACIÓN
El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es
una Institución que asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes,
creando espacios educativos para brindarles educación del nivel superior, con
calidad y en condiciones apropiadas para su formación.
CECyTE BC, oferta a los estudiantes opciones educativas, en donde pueden
encontrar el camino de la superación y el apoyo necesario que les permita, no solo
incursionar en el mercado laboral como profesionales técnicos, sino también, la
posibilidad de planear la continuidad de su formación académica en los espacios
universitarios.
El documento que tienes en tus manos, es producto del esfuerzo realizado entre el
personal docente de nuestro Colegio, para proporcionarte material de calidad para
tu formación.
Con la elaboración de la Guía de Álgebra, reiteramos nuestro compromiso de
continuar esforzándonos por facilitar a nuestros alumnos material didáctico de
calidad, que les permita hacer más ligera y efectiva la continuidad y permanencia
en sus estudios, para llevar a feliz término esta importante etapa de su formación.

PROPÓSITO FORMATIVO
1.1. Propósitos formativos de la asignatura
El propósito formativo de la materia de matemáticas es que el estudiante aplique
conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos
(social, natural, científico y tecnológico, entre otros).
Así mismo el propósito formativo de la asignatura de álgebra es que el estudiante
desarrolle el razonamiento matemático y haga uso del lenguaje algebraico en la
resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto
matemático, representados por modelos donde se apliquen conocimientos y
conceptos algebraicos
1.2 Aprendizajes esperados
El estudiante identificará, comprenderá y aplicará potencias, porcentajes y,
razones y proporciones para el uso cotidiano, mediante el razonamiento
matemático, la resolución de problemas y expresarse por medio de formulas.
1.3 Contenidos actitudinales
 Libertad
 Justicia
 Igualdad
 Equidad
 Respeto
 Tolerancia
 Honestidad
 Disciplina
 Responsabilidad
 Lealtad
 Solidaridad
 Colaboración

1.4 COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN
Competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en
cuenta los objetivos que persigue.
1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus
valores, fortalezas y debilidades.
1.2 Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y
reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo
rebase.
1.3 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y
en el marco de un proyecto de vida.
1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
1.5 Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
1.6 Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones
para el logro de sus metas.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus
expresiones en distintos géneros.
2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas,
sensaciones y emociones.
2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la
comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la
vez que desarrolla un sentido de identidad.
2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico,
mental y social.
3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de
distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.
3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo
humano y el de quienes lo rodean.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,
matemáticas o gráficas.
4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus
interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que
persigue.
4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere
conclusiones a partir de ellas.

4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para
obtener información y expresar ideas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de
métodos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,
comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al
alcance de un objetivo.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y
relaciones.
5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a
una serie de fenómenos.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para
producir conclusiones y formular nuevas preguntas.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito
específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y
confiabilidad.
6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer
nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al
acervo con el que cuenta.
6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de
conocimiento.
7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y
dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y
obstáculos.
7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos
y su vida cotidiana.
7.4 Trabaja en forma colaborativa.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto
en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas
de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

8.4 Participa con responsabilidad en la sociedad.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad,
región, México y el mundo.
9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo
democrático de la sociedad.
9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de
distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la
participación como herramienta para ejercerlos.
9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual
y el interés general de la sociedad.
9.5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se
mantiene informado.
9.6 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local,
nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global
interdependiente.
10.Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de
igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda
forma de discriminación.
10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y
tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias
circunstancias en un contexto más amplio.
10.3 Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración
y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.
11.Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones
responsables.
11.1 Asume una actitud que favorece la solución de problemas
ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.
11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas,
políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global
interdependiente.
11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y
largo plazo con relación al AMBIENTE.

Competencias disciplinares:
Matemáticas:
Las competencias disciplinares básicas de matemáticas buscan propiciar el
desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes.
Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas
puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.
Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema
matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue
de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar
matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas
mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan
hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases.
Competencias:
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes
enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.

ÍNDICE
UNIDAD 1.- CONCEPTO FUNDAMENTAL ARITMÉTICA Y FUNDAMENTOS DE
ÁLGEBRA.
Conceptos subsidiarios:
1.1 Leyes de los signos.
1.2 Fracciones propias, impropias y mixtas.
1.3 Conversión de fracciones impropias a mixtas.
1.4 Conversión de fracciones mixtas a impropias.
1.5 Operaciones con fracciones.
1.6 Razones
1.7 Simplificación de fracciones.
1.8 Porcentajes
1.9 Identificación de los elementos de una expresión algebraica
1.10 Representación algebraica en lenguaje común
1.11 Evaluación de expresiones algebraicas
UNIDAD 2.- EXPRESIÓN ALGEBRÁICA.
2.1 Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
2.2 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común.
2.3 Evaluación de expresiones algebraicas.
UNIDAD 3.- OPERACIONES FUNDAMENTALES.
3.1 Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios
3.2 Adición y sustracción de polinomios
3.3 Multiplicación de polinomios
3.4 División de polinomios
UNIDAD 4.- PRODUCTOS NOTABLES.
4.1Binomios conjugados
4.2Producto de dos binomios cualesquiera
4.3Binomios al cuadrado (𝑥 + 𝑦)2
4.4Binomios al cubo (𝑥 + 𝑦)3

UNIDAD 5.- FACTORIZACIÓN.
5.1Por factor común a todos los términos
5.2Por diferencia de cuadrados
5.3De trinomios de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
5.4De trinomios de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
5.5De una suma o diferencia de cubos.
5.6Por agrupación.
UNIDAD 6.- EXPONENTES Y RADICALES.
6.1 Exponentes enteros positivos.
6.2 Exponentes enteros negativos.
6.3 Exponente cero.
6.4 Exponentes fraccionarios positivos.
6.5 Exponentes fraccionarios negativos.
6.6 Suma y resta de radicales.
6.7 Multiplicación de radicales.
UNIDAD 7.- FRACCIONES ALGEBRAICAS
7.1 Simplificación de fracciones algebraicas
7.2 Suma y resta de fracciones algebraicas
7.3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Unidad 1: Aritmética y fundamentos de álgebra.
Habilidades y destrezas:
El alumno identifica, comprende y aplica las leyes de los exponentes enteros y
fraccionarios, así como también las potencias y porcentajes para el uso cotidiano.
 Leyes de los signos.
 Fracciones propias, impropias y mixtas.
 Conversión de fracciones impropias a mixtas.
 Conversión de fracciones mixtas a impropias.
 Operaciones con fracciones.
 Razones
 Simplificación de fracciones.
 Porcentajes
 Identificación de los elementos de una expresión algebraica
 Representación algebraica en lenguaje común
 Evaluación de expresiones algebraicas

Leyes de los signos
Las leyes de los signos se aplican según la operación que se realice. A
continuación, se presentan los posibles casos.
1. Suma y resta.
a) Números con mismo signo. El signo resultante es el signo en común.
Ejemplo 1:
5 + 3 + 100 + 3 + 3 = 114
Ejemplo 2:
−5 − 3 − 100 − 3 − 3 = −114
b) Números con signo opuesto. Cuando en una expresión hay términos con
diferente signo, los términos se restan y el signo resultante es el signo del
número mayor.
Ejemplo 1:
1 − 3 = −4
Ejemplo 2:
−2 − 3 + 7 = −5 + 7 = 2
2. Multiplicación

Al multiplicar dos números cualesquiera, el signo resultante deberá ser acorde a lo
siguiente:
(+𝑥)(+𝑦) = +𝑥𝑦
(+𝑥)(−𝑦) = −𝑥𝑦
(−𝑥)(+𝑦) = −𝑥𝑦
(−𝑥)(−𝑦) = +𝑥𝑦
Ejemplo 1: Multiplicación de dos números positivos.
(4)(5) = 20
Ejemplo 2: Multiplicación de un número positivo y uno negativo.
(4)(−5) = −20
Ejemplo 3: Multiplicación de un número negativo y uno positivo.
(−4)(5) = −20
Ejemplo 4: Multiplicación de dos números negativos.
(−4)(−5) = 20
3. División.
Al dividir dos números cualesquiera, el signo resultante deberá ser acorde a lo
siguiente:
+𝑥
+𝑦
= +
𝑥
𝑦
+𝑥
−𝑦
= −
𝑥
𝑦
−𝑥
+𝑦
= −
𝑥
𝑦

−𝑥
−𝑦
= +
𝑥
𝑦
Ejercicio 1. Realice las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos,
según se indique de forma grupal o individual.
De manera grupal.
1) 4 + 3 + 2 + 100 + 3 + 4 + 3 =
2) 5 + 3 + 2 + 1 + 10 + 20 =
3) −1.27 − 1.23 − 0.75 =
4) 10 + 2 − 3 + 7 =
5) 3.6 + 4.1 + 3.7 + 10.3 =
6) −67 + 78 − 6 + 9 − 4 =
7) 6 + 10 − 4 + 9 − 23 =
8) 99 − 87 + 34 =
9) −5 + 17 + 12 − 3 =
10)5 − 7 + 9 − 9 + 8 =
De manera individual.
1) 4 + 3 + 17 =
2) 17 − 35 + 40 − 4 =
3) −102 − 87 − 8 − 13 =
4) −9 + 33 − 14 + 8 =
5) 40 − 13 + 28 + 7 + 5 =
6) 10 −
10
5
=
7) 12 −
15
3
− 4 + 1 =
8) 20 +
50
2
− 110 =
9) 18 − 5 + 48 + 100 − 15 =
10)6 − 4 + 9 − 7 + 2 − 1 =

Ejercicio 2. Realice las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos y
de acuerdo a la manera indicada.
De manera grupal:
1) (7)(−6)(5) =
2) (−5)(−1)(−10)(6) =
3) (−9) (−
150
10
) =
4) (4)(−6)(9)(−5)(7) =
5) −4(8) =
6) 8(9)(−8)(−5) =
7) (−8)(8)(8) =
8) (−13)(−5) =
9) (1)(8)(−12) =
10)(−5)(−9)(2) =
De manera individual:
1) (−10)(8) =
2) (−5)(7)(−3)(2)(−1) =
3) (−
10
2
) (180) =
4) (−6)(5)(−4)(1) =
5) (−9)(−8) =
6) 8(−9)(−5) =
7) −10(−9)(6) =
8) (4)(−8)(4) =
9) (−9)(−8)(3)(2) =
10)(8)(−340)=

Fracciones propias, impropias y mixtas
Una fracción representa una cantidad específica de porciones o de parte de un
todo. Se representa por una línea horizontal (
𝑥
𝑦
) u oblicua (𝑥 𝑦⁄ ).
Una fracción se conforma por:
𝑥
𝑦
=
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Existen tres tipos de fracciones:
1. Propias. En el cual el numerador es menor al denominador.
Ejemplo:
2
7
2. Impropias. En el cual el numerador es mayor al denominador.
Ejemplo:
20
9
3. Mixtas. Se conforma por un entero y una fracción propia.
Ejemplo:
6
4
9

Conversión de fracciones impropias a mixtas
Para convertir una fracción impropia en una mixta, es necesario que el numerador
sea mayor que el denominador. Si esto se cumple, se debe se divide el numerador
entre el denominador, siendo el cociente el número entero y el residuo pasa a
formar parte del cociente en el numerador. El denominador de la parte fraccionaria
permanece igual.
Ejemplo 1. Convertir
20
3
a fracción mixta:
Al dividir 20 ÷ 3 da como resultado 6 (cociente) y el residuo es 2, por lo tanto la
fracción mixta es :
6
2
3
Ejemplo 2. Convertir
38
7
a fracción mixta:
Al dividir 38 ÷ 7 da como resultado 5 (cociente) y el residuo es 3, por lo tanto la
fracción mixta es :
5
3
7
Conversión de fracciones mixtas a impropias
El procedimiento para convertir fracciones mixtas a impropias consiste en
multiplicar la parte entera por el denominador de la fracción y el resultado se suma
al numerador de la fracción. El resultado de la suma es el numerador de la
fracción impropia, mientras que el denominador de la fracción mixta se conserva.
Ejemplo 1. Convertir 6
5
8
a fracción impropia.
Se multiplica el número entero por el denominador:

(8)(6) = 48
Al resultado obtenido se le suma el numerador:
48 + 5 = 53
Este resultado se coloca como numerador de la fracción impropia, mientras que el
denominador no cambia:
53
8
Ejemplo 2. Convertir 10
1
7
a fracción impropia:
De la misma forma que el ejemplo anterior, se multiplica el denominador por el
número entero
(7)(10) = 70
y al resultado se le suma el numerador:
70 + 1 = 71
Este resultado se coloca como numerador de la fracción impropia, mientras que el
denominador no cambia:
71
7
Ejercicio3. Convierta las fracciones impropias a mixtas y viceversa, según se
indica de manera grupal o individual.
De manera grupal.
Fracción impropia Fracción mixta
1. 100
7
2.
6
3
5
3. 9
4

4.
8
9
17
5. 19
3
6.
10
1
5
7. 190
20
8.
2
18
26
9. 89
5
10.
15
4
9
Fracción impropia Fracción mixta
1. 60
5
2.
9
4
5
3. 18
5
4.
8
109
130
5. 40
3
6.
1
18
25
7. 100
23
8.
3
15
28
9. 93
5
10.
5
7
25

Operaciones con fracciones
1. Adición y Sustracción
a) Denominadores iguales. Cuando los denominadores son iguales, los
numeradores se suman o restan, dependiendo de la operación y el
denominador queda igual.
Ejemplo 1.
1
8
+
3
8
=
1 + 3
8
=
4
8
=
1
2
Ejemplo 2.
4
7
−
3
7
=
4 − 3
7
=
1
7
= 1
b) Denominadores diferentes. En este caso, se busca un denominador común.
Si no existe algún, los denominadores se multiplican.
Ejemplo 1:
7
5
+
2
15
=
En este caso, como los denominadores son múltiplos, se toma el
denominador más grande. Después, se divide el común denominador entre
el denominador de cada cociente, y el resultado se multiplica por el
numerador correspondiente.
(3)(7) + (1)(2)
15
Finalmente, se realizan las operaciones del numerador.

21 + 2
15
=
23
15
Ejemplo 2.
3
5
−
2
13
=
En este caso, como los denominadores no son múltiplos, éstos se
multiplican. El resultado es el denominador común. Después, se divide el
denominador común entre el denominador de cada cociente, y el resultado
se multiplica por su numerador correspondiente.
(3)(13) − (5)(2)
65
=
Finalmente, se realizan las operaciones del numerador.
39 − 10
65
=
49
65
2. Multiplicación.
Esta operación es sumamente directa, sólo se debe multiplicar numerador por
numerador y denominador por denominador.
Ejemplo 1: Multiplicar
4
5
por −
3
6
(
4
5
) (−
3
6
) = −
12
30
= −
6
15
= −
2
5
Ejemplo 2. Obtener el producto de
7
8
y
3
4
(
7
8
) (
3
4
) =
21
32

3. División.
Se multiplica el numerador del primer termino por el denominador del segundo
termino y se convierte en el nuevo numerador, luego se multiplica el denominador
del primer termino por el numerador del segundo termino y se convierte en el
nuevo denominador.
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Ejemplo 1:
3
4
÷
5
3
=
(3)(3)
(4)(5)
=
9
20
Ejemplo 2:
−4
10
÷
6
7
=
(−4)(7)
(10)(6)
=
−28
60
=
−14
30
=
−7
15
Ejercicio 4. Realice las siguientes sumas o restas con fracciones, de forma grupal
o individual, según se indica.
De manera grupal.
1)
1
6
+
3
6
=
2)
1
3
+
1
3
=
3)
2
7
−
3
7
+
5
7
=
4) −1
2
9
+ 2
1
9
+ 3
5
9
=
5)
1
7
+
2
7
+
4
7
=

6)
3
5
−
5
8
=
7)
1
4
+
2
5
=
8)
3
4
+
1
5
−
2
3
=
9) 3
2
4
− 5
1
5
−
5
3
=
10)
1
8
+
2
4
+
1
2
=
1.
5
7
+
3
5
−
2
3
=
2. 2
1
5
+ 3
2
6
=
3. 3
2
5
+ 5
1
2
+ 3
4
7
=
4. 3
4
7
− 2
1
6
=
5. 3
1
2
+ 5
3
4
+ 2
5
6
=
6.
1
10
+
3
10
=
7.
1
8
+
1
8
=
8. −
2
8
−
6
8
+
5
8
=
9.
2
9
+
6
9
+
25
9
=
10.
6
7
−
12
7
+
9
7
=

Ejercicio 5. Realice las siguientes multiplicaciones con fracciones, en forma
grupal o individual, según se indique.
De manera grupal.
1. (
1
8
) (
7
8
) =
2. (
3
4
) (
1
4
) =
3. (
1
2
) (
3
4
) (
5
6
) =
4. (
3
4
) (
3
4
) (
5
6
) =
5. (1
1
2
) (1
2
3
) =
6. (3
1
2
) (2
2
3
) (5
3
4
) =
7. (2
1
3
) (2
3
4
) (5
5
6
) =
8. (3
1
5
) (
5
8
) =
9. (4) (
5
4
) =
10. (5
2
3
) (3
1
2
) =

1. (
1
8
) (
8
9
) =
2. (
−2
5
) (
11
4
) =
3. (
15
2
) (−
2
4
) (
5
7
) =
4. (
3
5
) (
−3
4
) (
2
6
) =
5. (
1
5
) (1
3
3
) =
6. (3
9
2
) (
2
7
) (
3
4
) =
7. (2
7
3
) (
3
4
) (
8
6
) =
8. (
11
8
) (
−9
8
) =
9. (5) (−
9
4
) =
10. (−
2
3
) (
1
2
) =
Ejercicio 6. Realice las siguientes divisiones con fracciones, en forma grupal o
individual, según se indica.
De manera grupal:
1)
8
9
÷
7
5
=
2)
−6
8
÷
2
5
=
3)
8
5
÷
1
2
=
4)
5
10
÷
−5
9
=
5)
7
9
÷
4
3
=
6) −
6
7
÷
−9
3
=
7)
9
8
÷
6
1
=
8)
6
5
÷ 6 =

9)
−6
9
÷
𝟒
𝟓
=
10)
𝟒
𝟓
÷
𝟐
𝟗
=
1)
9
7
÷ 1
4
5
=
2)
−6
9
÷
4
9
=
3)
8
9
÷
1
3
=
4) 1
1
9
÷
−3
9
=
5)
7
8
÷
8
7
=
6) −
5
8
÷
−4
3
=
7)
2
9
÷
6
8
=
8)
7
5
÷ 9 =
9)
−5
9
÷
3
9
=
10)
4
7
÷
3
9
=
Razones y proporciones
La razón de dos números se obtiene mediante el cociente de ambos. La razón, es
utilizada cuando se desea comparar dos cantidades, y se puede representar de
las siguientes formas:
𝑎
𝑏
, 𝑎 ÷ 𝑏 , 𝑎 ∶ 𝑏
donde:
𝑎 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑏 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜

Ejemplo 1. María asistió a 10 de 45 clases de música. ¿Cuál es la razón de clases
asistidas con respecto al total de las clases?
Solución:
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖ó
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠
=
10
45
La razón de clases asistidas con respecto al total de clases es
10
45
Ejercicio7. Resuelva los siguientes problemas según la manera que se indica.
De manera grupal:
1. Hugo, Paco y Luis desean saber quién es el que mejor salió en sus exámenes.
Hugo contestó correctamente 15 reactivos de 20, Paco 4 reactivos de 8 y Luis
12 reactivos de 18. ¿Quién es el que salió mejor en su examen?
2. La razón de ahorro de dinero de Pedro con respecto a su hermano Pablo es de
3:7. Entre los dos, llevan ahorrado $2500.00. ¿Cuánto lleva ahorrado cada
uno?
1. La razón de dinero que le dan a Miguel con respecto a su hermano es de 5:2.
En total les dan $ 700.00. ¿Cuánto le dan a cada uno?
2. Un alumno asistió puntualmente a 15 de 25 clases en la materia de historia,
mientras que en la materia de biología asistió a 10 de 15 clases. ¿Cuál fue la
materia a la que mas asistió?

Simplificación de fracciones
Consiste en expresar una fracción o cociente mediante el numerador y
denominador más pequeños, siempre y cuando se mantenga la misma razón.
Ejemplo 1:
6
8
=
6 ÷ 2
8 ÷ 2
=
3
4
Ejemplo 2:
10
20
=
10 ÷ 10
20 ÷ 10
=
1
2
Ejercicio 8. Simplifica las siguientes fracciones. Realiza el ejercicio, ya sea de
forma grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
1)
10
15
=
2)
7
21
=
3)
9
33
=
4)
2
4
=
5)
20
100
=
6)
9
99
=
7)
150
10
=
8)
2
8
=
9)
3
24
=
10)
14
21
=

1)
6
18
=
2)
25
150
=
3)
9
36
=
4)
5
25
=
5)
18
90
=
6)
12
48
=
7)
4
20
=
8)
21
112
=
9)
6
30
=
10)
8
72
=
Porcentajes
Es la razón de un número con respecto a 100, y se representa mediante el
símbolo %. El porcentaje es una operación que siempre va relacionada con alguna
otra cantidad. Para poder realizar operaciones con porcentajes, éste se debe
expresar mediante una facción o cociente, tal como se muestra en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 1. Si deseamos expresar el 15 %, lo hacemos mediante:
15
100
= 0.15
El uso de porcentajes en situaciones de nuestra vida diaria es muy variado. A
continuación se presentan algunas situaciones en las que podemos aplicarlos.

Ejemplo 2. La mensualidad que debe de pagar Luisa en su escuela de baile es de
$950.00, pero si paga entre el 11 y el 15 de cada mes, le hacen un descuento del
15%. ¿Cuanto pagaría de mensualidad ya con el descuento?
Solución:
Primero, se determina cuánto es el 15% de los $950.00 de la siguiente forma:
950(0.15) = 142.5
El 15% es el resultado de dividir 15 entre 100.
Posteriormente, se resta el 15% obtenido a la cantidad de $950.00.
950 − 142.5 = 807.50
Luisa pagaría de mensualidad en su escuela de baile $807.50 ya con el
descuento.
Ejemplo 3. Por el 17vo. aniversario de una tienda departamental se ofrece un
descuento del 17 %. Fernanda fue de compras a la tienda y gastó $4580.75.
Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto fue lo que ahorro Fernanda?
b) ¿Cuánto fue lo que pagó Fernanda?
Solución:
El 17% de la cantidad gastada es:

4580.75(0.17) = 778.72
La cantidad que ahorró Fernanda es de $778.72. Con ello, se determina cuanto
fue lo que pagó:
4580.75 − 778.72 = 3802.02
Incluyendo el descuento, Fernanda pagó $3802.02.
Ejemplo 4. En un salón de 50 alumnos, en la materia de matemáticas, reprobó el
60%. De los alumnos reprobados, el 20% son mujeres. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres reprobados hay?
Solución:
El primer paso, consiste en determinar el total de alumnos reprobados:
50(0.60) = 30
De los 30 alumnos, se calcula, de manera individual la cantidad de mujeres y
hombres reprobados. La cantidad de mujeres reprobadas se calcula mediante:
30(0.20) = 6
El resto de los alumnos reprobados, que es el 80%, corresponde a los hombres y
se calcula mediante:
30(0.80) = 24
De los 50 alumnos en el grupo hay 30 reprobados, de los cuales 6 son mujeres y
24 hombres.
Ejercicio 9. Resuelva los siguientes problemas según la modalidad que se
indique.

De manera grupal:
1) María gana semanalmente $957.00, si le dan un aumento de salario del
7%, ¿Cuánto ganará María?
2) Para que un alumno tenga derecho a presentar un examen de geografía,
debe de tener el 80% de asistencia de las horas, en un curso de 45 horas.
¿Cuántas horas como mínimo deberá asistir el alumno para poder
presentar el examen?
3) Laura gana mensualmente $10,960.00. En su trabajo le hacen un
descuento del 15% por un préstamo, 10% por un ahorro y el 5 % por un
seguro. ¿Cuánto dinero le queda a Laura de su sueldo?
4) El sueldo de Enrique está destinado a un 30% en alimentos, 20% en
gasolina, 30% en gastos de vivienda, 10 % en diversión familiar y el 10 % lo
ahorra. En total Enrique gana $17,450.00 ¿Cuánto dinero gasta y cuánto
ahorra?
5) Héctor fue a E.U.A. y gastó en total $25.71 dólares. ¿Cuánto pagó en total
si el impuesto que se aplica es del 8%?
6) Adriana compró una computadora nueva en $5540.00, con un impuesto del
16% ya incluido. ¿Cuál es el precio de la computadora sin el impuesto?
1. El 58% de los alumnos que asisten a la preparatoria Xochimilco, son mujeres.
¿Qué cantidad de mujeres hay en la preparatoria? según los datos de la
siguiente tabla:
Semestre Primero Tercero Quinto
Cantidad de alumnos 560 480 360

2. Oscar acertó el 65% de las 40 preguntas en su examen de historia. ¿Cuántos
reactivos acertó?
3. Un equipo de futbol ganó el 60% de los juegos en el torneo local. Si en total
tuvieron 15 encuentros deportivos, ¿Cuántos juegos ganaron?
4. Juan compró una computadora a $5,950.00 más el iva del 16%, ¿Cuánto fue el
total que pagó por la computadora?

Unidad 2: Expresión Algebraica.
Identifica y representa gráficamente mediante fórmulas los elementos de una
expresión algebraica.
 Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común.
 Evaluación de expresiones algebraicas.

Identificación de los elementos de una expresión algebraica
Una expresión algebraica es la combinación de constantes y variables
combinadas entre si por medio de operaciones matemáticas.
Ejemplo 1:
Expresión algebraica Constante Variable
4𝑥 4 𝑥
Ejemplo 2:
Expresión algebraica Constante Variable
10𝑦2 10 𝑦
Término algebraico
Es una expresión matemática conformada por signo, coeficiente, variable y
exponente.
Ejemplo 1:
−
2
3
𝑥2
Ejemplo 2:
5𝑥5
𝑦7
De manera general, se pueden expresar los elementos de un término algebraico,
de la siguiente forma
𝑎𝑥 𝑛
Un término algebraico puede ser positivo o negativo. El signo, de ser negativo, se
coloca antes del coeficiente. Cuando es positivo, es común que no se escriba.
Ejemplo 1:
−5𝑥

Ejemplo 2:
25𝑥
Las variables de un término algebraico se expresan mediante las letras. Por lo
general, se utilizan las últiimas letras del alfabeto para su representación.
Ejemplo 1:
2
3
𝑥
Ejemplo 2:
−5𝑥𝑦
El coeficiente de un término algebraico, el cual, se antepone a la variable, puede
ser representado por números o letras minúsculas. Cuando se utilizan letras,
generalmente son las primeras del alfabeto.
Ejemplo 1:
3𝑥
Ejemplo 2:
𝑏𝑥𝑦
El exponente se coloca en el extremo superior derecho de la variable, el cual
indica el grado de la expresión algebraica.
Ejemplo 1:
10𝑥2
Ejemplo 2:
3
4
𝑦2

En caso de que una expresión algebraica con un término tenga dos o más
variables, el grado se determina sumando los exponentes de las variables.
Ejemplo 1: Expresión de grado 9.
3𝑥2
𝑦7
Ejemplo 2: Expresión de grado 6.
𝑥𝑦2
𝑧3
Si una expresión algebraica contiene más de un término, el grado lo determina el
término con el grado mayor.
Ejemplo 1: Expresión de grado 7
𝑥4
𝑦3
+ 2𝑥3
𝑦3
Ejemplo 2: Expresión de grado 3
3𝑥𝑦 + 2𝑥2
𝑦
Clasificación de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la cantidad de términos
que contienen. Estas pueden ser monomios, binomios, trinomios o polinomios.
Monomio: Expresión algebraica que contiene un solo término.
Ejemplo 1:
𝑥
Ejemplo 2:
4𝑥2
𝑦3

Binomio: Expresión algebraica que contiene dos términos, donde cada término es
separado por un signo de suma o resta.
Ejemplo 1:
4𝑥2
+ 𝑥5
Ejemplo 2:
4𝑥5
𝑦7
− 10𝑥2
𝑦
Trinomio: Expresión algebraica que contiene 3 términos.
Ejemplo 1:
𝑥4
+ 𝑦3
− 𝑥𝑦3
Ejemplo 2:
𝑥2
+ 𝑥 − 5
Polinomio: Expresión algebraica que contiene 4 o más términos.
Ejemplo 1:
𝑥4
+ 6𝑥2
+ 3𝑥 + 10
Ejemplo 2:
𝑦3
+ 4𝑦4
𝑧2
− 𝑥2
+ 8𝑧
Ejercicio 1. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas, como monomio,
binomio, trinomio o polinomio, según cada caso y en la manera que se indique.

De manera grupal.
Expresión algebraica Clasificación
1.
𝑥
2
2
+ 𝑥4
2. 3𝑥3
− 2𝑥2
𝑦2
+ 𝑦3
− 5
3. 𝑥3
+ 𝑥4
− 3
4. 𝑦
5. 5𝑥5
+
3𝑥
4
− 6
Expresión algebraica Clasificación
1. 𝑥𝑦4
+ 𝑥𝑦3
2. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
3. −10𝑥2
𝑦5
𝑧
4. 𝑥2
+ 3𝑥3
− 5
5. 𝑥4
𝑦2
+ 𝑥3
− 𝑥2
− 𝑦2
− 1
Ejercicio 2. Identifique cada uno de los términos algebraicos de las expresiones
en la tabla. Realice el ejercicio según la manera que se indica.
De manera grupal.
Término Signo Coeficiente Variable Exponente
1. −4𝑥3
2. 3𝑥4
𝑦2
𝑧2
3. 𝑧
4. 5𝑥
6
2
5. 15

Término Signo Coeficiente Variable Exponente
1. −9𝑥2
𝑦6
2. 5𝑥𝑦7
4
3. 𝑥3
𝑦5
𝑧2
4. 4
6
5. 𝑦
Ejercicio 3. Identifique el grado de las expresiones algebraicas. Realice la
actividad según la manera que se indica.
De manera grupal.
Expresión algebraica Grado
1. 𝑥2
+ 𝑥3
2. 4𝑥2
𝑦2
+ 2𝑥3
𝑦4
3. 𝑥10
+ 𝑥5
𝑦3
− 4𝑥2
𝑦2
4. 𝑥𝑦4
+ 𝑥4
𝑦6
− 4
5. 5𝑥5
𝑦6
− 𝑥2
𝑦3
𝑧4
+ 3𝑥4
𝑦7
𝑧4
Expresión algebraica Grado
1. 𝑥3
𝑦4
+ 𝑥4
2. 2𝑥3
𝑦5
+ 5𝑥4
𝑦6
− 4𝑥4
𝑦2
𝑧3
3. 9𝑥𝑦3
𝑧5
+ 10𝑥4
𝑦5
𝑧
4. 3𝑥2
𝑦4
𝑧3
5. 5𝑥5
𝑦5
+ 3𝑥4
𝑦3
− 3𝑥4
𝑦7

Representación algebraica de expresiones en lenguaje común
El lenguaje algebraico consiste en representar por medio de números y letras
Ejemplos:
Lenguaje algebraico Lenguaje común
2𝑥 El doble de un número
𝑥 Un número cualquiera
𝑥
4
La cuarta parte de un número
𝑥3 El cubo de un número
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 La suma de tres números diferentes
𝑎𝑏
5
La quinta parte del producto de dos números
4𝑥2 El cuádruplo del cuadrado de un número
√𝑎𝑏 La raíz cuadrada del producto de dos números
𝑎 + 𝑏
2
La semisuma de dos numeros
3𝑥 − 5 El triple de un número menos cinco
Ejercicio 4. Complete la tabla siguiente, ya sea escribiendo la expresión
algebraica o describiendo la expresión utilizando lenguaje común. Realice la
actividad según la manera que se indica.
De manera grupal.
1. La mitad de la diferencia de dos números
2. 𝑥3
10
3. El triple del producto de tres números
diferentes
4. 𝑥 +
𝑥
5
5. El quíntuple de un número al cubo menos
seis
6. √𝑎 − 𝑏
5

7. El cubo de la suma de dos números
8. (3𝑥)2
9. El producto de cuatro números diferentes
10. (𝑎 + 𝑏)2
1. El triple de un número más la quinta
parte de otro
2. 𝑥3
− 4
3. Cinco veces un número cualquiera
4. √𝑎 − 𝑏
3
5. La diferencia del doble de un
número y la tercera parte de otro
6. 3
5
(𝑥 − 2)
7. El cuadrado de numero menos la
décima parte de un numero al cubo
8. 𝑥 − 7
9. Tres números diferentes cuya suma
da 100
10. 𝑎𝑏𝑐𝑑

Símbolos de agrupación
Considere la siguiente expresión:
{
1
3
− 1[√25 − 3(5 + 42)]}
Las llaves, corchetes y paréntesis que aparecen en ella, se utilizan como símbolos
de agrupación para indicar el orden en que deben realizarse las operaciones.
Reglas de los símbolos de agrupación:
 Cuando el signo de agrupación esta precedido por el signo “+” dicho
símbolo puede ser eliminado sin modificar los términos que contiene.
 Cuando el signo de agrupación esta precedido por es signo “-” dicho
símbolo puede ser eliminado cambiando el signo de cada uno de los
términos que contiene.
 Si una expresión algebraica contiene una o más pares de símbolos de
agrupación, encerrado en otro par, para eliminarlos se comienza con los
símbolos anteriores.
 Si una expresión algebraica contiene signos de agrupación que indican
multiplicación, suma y resta al mismo nivel, la operación que debe
efectuarse es la multiplicación.
Ejemplo 1. Simplifica la expresión [2 − 4(3 + 4)]
[2 − 4(7)]=
[2 − 28]=
[−26]=
−26
Ejemplo 2. Simplifica la expresión {5 + [2 − 4(7)]}
{5 + [2 − 4(7)]}=
{5 + [2 − 28]}=
{5 + [−26]}=
{5 − 26}=
21

Ejemplo 3. Simplifica la expresión {6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]}
{6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]} =
{6 − 1[4 + 2(4 − 2)]} =
{6 − 1[4 + 2(4)]} =
{6 − 1[4 + 8]} =
{6 − 1[12]} =
{6 − 12} =
−6
Ejemplo 4. Simplifica la expresión {
1
3
− 1[√25 − 3(5 + 42)]} =
{
1
3
− 1[√25 − 3(5 + 16)]} =
{
1
3
− 1[5 − 3(21)]} =
{
1
3
− 1[5 − 63]} =
{
1
3
− 1[−58]} =
{
1
3
+ 58} =
58
1
3
Ejercicio 5. Simplifica las siguientes expresiones, según la manera en que se
indica.
De manera grupal.
1. {−1 + 9 [8 −
5
3
(3 − 7)]} =

2. 3 {√100 − 3 [
15
3
− (√36 − 4)] − 5} =
3. {3 − 6 [5 − 1 (15 −
9
3
)]} + 3 =
4. −
1
4
{6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]} =
5. 5 − {
√16
2
− 2 [7 (
20
4
−
1
2
) + 3 (4 −
10
5
)]} =
6. {
3
5
+ 1[1(5 + 52) − √625]} + 1 =
7. {
1
6
− 1 [√49 −
1
2
(2 + 23)] −
1
6
} =
8. {3 − 4 [6 − 2 (5 −
3
4
)
2
] + 3} =
9. −5 {4 − [5 (
3
4
−
1
4
)
2
− 3 (2 −
9
3
)
3
] + 2} =
10.{
1
4
− 1 [√64 −
1
2
(3 + 7)] −
1
2
} =
1. {
1
4
− 6 [−
1
2
(2 + 23) − √400]} + 1 =
2. {
3
9
− 3 [√16 −
1
2
(2 + 23)] −
1
6
} =
3. {5 − 5 [1 − 8 (1 −
1
2
)
2
] − 5} =
4. −1 {3 − [2 (
1
4
−
1
4
)
2
− 1 (3 −
9
3
)
3
] + 2} =
5. {
1
4
− 1 [√64 −
1
2
(3 + 7)] −
1
2
}
6. {−1 + 9 [8 −
5
3
(3 − 9)]} =
7. 2 {√81 − 2 [
20
5
− (√16 − 4)] − 2} =
8. {1 − 4 [−
6
3
(6 −
9
3
)]} + 9 =
9. −
1
4
{6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]} =
10.2 − {
(√4 )2
2
− 2 [7 (
2
3
−
1
2
) − 2 (3 −
12
3
)]} =

Evaluación de expresiones algebraicas
Consiste en sustituir una variable en la expresión algebraica por un valor. Una vez
sustituida esa variable, se realizan las operaciones con ese número.
Ejemplo 1. Evaluar la expresión algebraica 𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 =
Cuando:
𝑎 = 2
𝑏 = 1
𝑐 = 3
𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 =
Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión:
𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 =
2 + 1 − 3(3) =
Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando:
2 + 1 − 9 =
3 − 9 =
−6
Resultado = -6
Ejemplo 2. Evaluar la expresión algebraica 4𝑎 − 3𝑏 − 4𝑐 − 𝑏2
=:
Cuando :
𝑎 = −1
𝑏 = 1
𝑐 = −5
4𝑎 − 3𝑏 − 4𝑐 − 𝑏2
=

4𝑎 − 3𝑏 − 4𝑐 − 𝑏2
=
4(−1) − 3(1) − 4(−5) − (1)2
=
−4 − 3 + 20 − 1 =
−7 + 20 − 1 =
−8 + 20 =
12
Resultado = 12
Ejemplo 3. Evaluar la expresión algebraica
𝑎+𝑏−3𝑐
𝑏−1
=:
Cuando:
𝑎 = −1
𝑏 = −3
𝑐 = −2
𝑎 + 𝑏 − 3𝑐
𝑏 − 1
=
−1 − 3 − 3(−2)
−3 − (−1)
=
−1 − 3 + 6
−3 + 1
=
−4 + 6
−2
=
2
−2
=
−1
Resultado = -1

Ejemplo 4. Evaluar la expresión algebraica 𝑎 + 𝑏{𝑏2
− 𝑐(𝑎 − 𝑏)} + 𝑎 =:
Cuando:
𝑎 = 3
𝑏 = −3
𝑐 = 10
𝑎 + 𝑏{𝑏2
− 𝑐(𝑎 − 𝑏)} + 𝑎 =
Se sustituyen los valores de a,b,c y d en la expresión:
𝑎 + 𝑏{𝑏2
− 𝑐(𝑎 − 𝑏)} + 𝑎 =
3 − 3{(−3)2
− 10(3 − (−3))} + 3 =
3 − 3{9 − 10(3 + 3)} + 3 =
3 − 3{9 − 10(6)} + 3 =
3 − 3{9 − 60} + 3 =
3 − 3{−51} + 3 =
3 + 153 + 3 =
159
Resultado = 159
Ejemplo 5. Evaluar la expresión algebraica
𝑎2+𝑏2−𝑐
𝑎
+
𝑏
𝑎
=:
Cuando:
𝑎 = 10
𝑏 = 3
𝑐 = −1
𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑐
𝑎
+
𝑏
𝑎
=
𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑐
𝑎
+
𝑏
𝑎
=

102
+ 32
− (−1)
10
+
3
10
=
100 + 9 + 1
10
+
3
10
=
110
10
+
3
10
=
113
10
Resultado =
113
10
Ejercicio 6. Resuelve las siguientes expresiones sustituyendo el valor de cada
variable.
De manera grupal:
1) Cuando:
𝑎 = −2
𝑏 = 4
𝑐 = 6
𝑎
𝑏
+
𝑎𝑏
𝑐
=
2) Cuando:
𝑎 = 2
𝑏 = −3
𝑐 = −4
𝑏2
− 𝑐3
+ 5 + 3𝑐 − 𝑎 =
3) Cuando :
𝑎 = 10
𝑏 = −9

𝑐 = −8
𝑑 = 5
𝑎 + 𝑏 +
𝑎𝑏
𝑑
+ 3𝑎(5𝑏) − 𝑐 =
4) Cuando:
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = −4
(𝑎) (
𝑏
𝑐
) (
4𝑎
𝑏
) (
5
4
) =
5) Cuando:
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = −5
𝑑 = −3
𝑎 + 𝑏 {
4𝑎
𝑏
(3𝑎 − 𝑑)}
2
+ 𝑎𝑐 + 10 =
6) Cuando:
𝑎 = 10
𝑏 = −10
4𝑎𝑏 +
3𝑎𝑏
𝑎
7) Cuando:
𝑎 = 8
𝑏 = 2
𝑐 = −2
2𝑎𝑏 − 4𝑎𝑐 + 𝑏2
2𝑎𝑏
=
8) Cuando :
𝑎 = −3
𝑏 = −5

𝑐 = −1
𝑎{4𝑎(3𝑎 − 10) − 3𝑐} + 𝑐 − 𝑎𝑏 =
9) Cuando :
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = 6
1
𝑏
+
2
𝑎𝑐
+
2𝑎
3𝑏
=
10)Cuando :
𝑎 = −5
𝑏 = 7
𝑐 = 10
𝑎 + 𝑏𝑐 − 3𝑐 + 4𝑎
5𝑎 + 5𝑐 + 2
=
1) Cuando :
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = −7
𝑎2
− 3𝑏 + 4𝑐 − 3𝑎𝑏 =
2) Cuando :
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = 5
4𝑎2
− 𝑏2
+ 𝑐 − 1
−(𝑎2 + 𝑏 − 𝑐2)
=
3) Cuando:
a = 3
b = 10

{𝑎 + 𝑏[𝑎 − 𝑏(3𝑎)] − 4𝑎} + 10 − 𝑎𝑏 =
4) Cuando:
a = 3
b = 5
c = -4
4𝑎𝑏2
− 3𝑎𝑐2
+ 𝑎2
𝑏2
+ 10 =
5) Cuando:
a = 3
b = 5
c = -1
d = -10
−10 (
3𝑎
𝑏
) (
𝑑
𝑏
) (
𝑎𝑑
𝑐
) =
6) Cuando:
a = -6
b = -4
c = -3
−(𝑎2
𝑐 + 4 − 𝑎2
+ 3𝑏3) =
7) Cuando:
a = 2
b = -2
c = 3
𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑐 + 𝑐2
=
8) Cuando:
a = 4
b = -2
c = 1
𝑎
𝑐
+
𝑏2
𝑎
−
𝑐
𝑎
=

9) Cuando:
a = 3
b = -5
c = 2
(
𝑎
𝑏
) (
3
𝑎
) (
𝑐2
𝑎
) (
𝑏
𝑐
) =
10)Cuando:
a = 2
b = -3
c = 7
{4𝑎 − 10𝑏 + (10𝑎 − 𝑐) +
𝑎
𝑐
− 10} =

Unidad 3: Operaciones fundamentales.
Comprende las operaciones fundamentales y las aplica en la vida cotidiana.
 Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios
 Adición y sustracción de polinomios
 Multiplicación de polinomios
 División de polinomios

Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios
Un exponente es un número utilizado para indicar el número de veces que otro
número (base) será multiplicado por sí mismo, ejemplo:
𝑥 𝑛
𝑥 = 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
Ejemplo 1.
34
= (3)(3)(3)(3) = 81
Ejemplo 2.
𝑎4
= (𝑎)(𝑎)(𝑎)(𝑎)
Leyes de los exponentes
Primera ley: Producto de bases iguales con exponentes diferentes.
𝑥 𝑚
𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑚+𝑛
Ejemplo 1.
𝑥3
𝑥6
= 𝑥3+6
= 𝑥9
Ejemplo 2.
(22
)(23) = 22+3
= 25
= 32
Segunda ley: Producto de bases diferentes elevadas a un mismo exponente.
(𝑥𝑦) 𝑛
= 𝑥 𝑛
𝑦 𝑛

Ejemplo 1.
(𝑥𝑦)3
= 𝑥3
𝑦3
Ejemplo 2.
[(2)(4)]3
= 23
43
= (8)(64) = 512
Tercera ley: Base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente.
(𝑥 𝑚
) 𝑛
= 𝑥 𝑚𝑛
Ejemplo 1.
(𝑥2
)3
= 𝑥(2)(3)
= 𝑥6
Ejemplo 2.
(23
)4
= 2(3)(4)
= 212
Cuarta ley: Una fracción elevada a un exponente.
(
𝑥
𝑦
)
𝑚
=
𝑥 𝑚
𝑦 𝑚
Ejemplo 1.
(
𝑥
𝑦
)
3
=
𝑥3
𝑦3
Ejemplo 2.
(
3
2
)
3
=
33
23
=
(3)(3)(3)
(2)(2)(2)
=
27
8

Ejemplo 3.
(
24
6
)
4
Observamos que al dividir 24 entre 6, nos da un número entero, entonces será
más sencillo desarrollar la potencia.
(
24
6
)
4
= (4)4
= (4)(4)(4)(4) = 256
También podemos desarrollar la expresión de acuerdo con la cuarta ley.
(
24
6
)
4
=
244
64
=
7962624
1296
= 256
Obteniendo así, el mismo resultado.
Quinta ley: El cociente de potencias con la misma base, pero cada una elevada a
diferentes exponentes.
𝑆𝑖 𝑚 > 𝑛
𝑥 𝑚
𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑚−𝑛
Ejemplo 1.
𝑥6
𝑥3
= 𝑥6−3
= 𝑥3
Ejemplo 2.
54
52
= 54−2
= 52
= 25
𝑆𝑖 𝑛 > 𝑚
1
𝑥 𝑛−𝑚

Ejemplo 1.
𝑥3
𝑥7
=
1
𝑥7−3
=
1
𝑥4
Ejemplo 2.
23
25
=
1
25−3
=
1
22
=
1
4
Sexta ley: Base elevada a un exponente negativo.
𝑥−𝑛
=
1
𝑥 𝑛
1
𝑥−𝑛
= 𝑥 𝑛
Ejemplo 1.
𝑥−4
=
1
𝑥4
Ejemplo 2.
1
5−2
= 52
= 25
Séptima ley: Base elevada a un exponente cero siempre será igual a uno.
𝑥0
= 1
Ejemplo 1.
(
𝑥
𝑦
)
0
= 1
Ejemplo 2.
450
= 1

Ejemplo 3.
(
658
658) = 658−58
= 60
= 1
Ejercicio 19: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los
exponentes para la multiplicación, de manera grupal o individual, según se
indique.
Observa el ejemplo resuelto.
(2)2
(2)3
= 22+3
= 25
= (2)(2)(2)(2)(2) = 32
De manera grupal
1) (92
)2
=
2) [(2)(2)(2)]4
=
3) (33
)(32
)(32
) =
4) (73
)3
=
5) (102
)3
=
De manera individual
1) (42
)3
=
2) [(3)(5)]2
=
3) (5)2
(5)3
=
4) (32
)3
=
5) [(2)(3)(4)]5
=

Ejercicio 20: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los
exponentes para la división, y de forma grupal o individual, según se indique.
Observa los ejemplos resultos que se muestran a continuación:
Ejemplos 1.
(
15
20
)
2
= (
3
4
)
2
=
32
42
=
(3)(3)
(4)(4)
=
9
16
Ejemplos 2.
503
505
=
1
505−3
=
1
502
=
1
(50)(50)
=
1
2500
De manera grupal
1) (
600
50
)
2
=
2)
75
74
=
3)
2000010
2000010 =
4) (
4
10
)
4
=
5) (7 777 777)0
=
1.
57
54
=
2. (
14
28
)
3
3. (
1564
36
)
0
4.
46
410 =
5. (
144
36
)
2
=

Exponentes fraccionarios
Para obtener la raíz de una potencia, se necesita dividir el exponente del
radicando entre el índice de la raíz. Si la división no es exacta, solo se deja
indicada dando como resultado un exponente fraccionario.
√𝑥 𝑚𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛
Ejemplos de enésima raíz de un número
Radical Exponente
√ 𝑥 𝑥
1
2
√ 𝑥
3
𝑥
1
3
√ 𝑥4
𝑥
1
4
√ 𝑥
5
𝑥
1
5
. . . . . .
√ 𝑥
𝑛
𝑥
1
𝑛
Ejemplos de exponentes fraccionarios:
Radical Exponente Entero
√64 64
1
2 8
√81 81
1
2 9
Cuando el numerador es diferente a 1:
Radical Exponente Resultado
√9 9
1
2 3
√923
9
2
3 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
√648
16
4
8 16
1
2 = 4
√86
8
6
2
83
= 512
√7
4
7
1
4 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜

Ejercicio 21: Expresa en forma fraccionaria (simplificada) los siguientes radicales.
1) √9816
=
2) √64 =
3) √345
=
4) √493
=
5) √7186
=
Ejercicio 22: Expresa en forma de radical los siguientes exponentes fraccionarios.
Si es posible simplifica el exponente fraccionario.
1) 6
1
2⁄
=
2) 24
6
4⁄
=
3) 5
12
6⁄
=
4) 12
16
12⁄
=
5) 3
10
4⁄
=

Adición y sustracción de polinomios
ADICIÓN
I) Monomios: Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes
numéricos, conservando en el resultado el mismo factor literal.
Ejemplos:
1) 8𝑥 + (−7𝑦) + (5𝑧) + (−3𝑥) =
Primero quitamos los paréntesis, realizando la multiplicación de signos
8𝑥 − 7𝑦 + 5𝑧 − 3𝑥 =
Después realizamos la reducción de términos semejantes para obtener el
resultado
5𝑥 − 7𝑦 + 5𝑧
2) 5𝑥 + (−8𝑦) + (7𝑎𝑥) + (−5𝑦) + (−9𝑧) = 5𝑥 − 8𝑦 − 7𝑥 − 5𝑦 − 9𝑧 =
−2𝑥 − 13𝑦 − 9𝑧
II) Polinomios: Para sumar varios polinomios se colocan los polinomios uno
debajo de otro, de tal forma que los términos semejantes queden en columnas, se
realiza la reducción de los términos, separándolos unos de otros con sus propios
signos.
Ejemplos:
1) Sumar las siguientes expresiones: 𝑥 − 𝑦, 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧, −4𝑥 + 5𝑦 =
𝑥 − 𝑦
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧
−4𝑥 + 5𝑦
−𝑥 + 7𝑦 − 𝑧

2) Sumar: 3𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧, 6𝑥 − 3𝑦 + 8𝑧, 6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 =
3𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧
6𝑥 − 3𝑦 + 8𝑧
6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧
15𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧
3) Sumar: (−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦) + (5𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑧)
quitamos paréntesis y ordenamos los términos:
−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑧
𝑥 − 𝑥𝑦 + 5𝑦 − 3𝑧
−2𝑥 + 3𝑥𝑦 + 3𝑦 − 3𝑧
4) Sumar: −3𝑥2
+ 5𝑥 − 4, 4𝑥3
− 5𝑥2
+ 2𝑥 + 1
−3𝑥2
+ 5𝑥 − 4
4𝑥3
− 5𝑥2
+ 2𝑥 + 1
4𝑥3
− 8𝑥2
+ 7𝑥 − 3

5) Sumar: 9 + 5𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥, 4𝑥2
− 3 − 2𝑥 =
Ejercicio 23: Resuelve las siguientes operaciones indicadas; primero ordena la
expresión.
De manera grupal
1) 𝑥3
– 𝑥2
+ x – 1 + 𝑥2
– x + 1 =
2) 4𝑥2
+ 6x + 7𝑥2
– 11x =
3) 7𝑥2
z – 16xy + 2xy – 3z𝑦2
=
4)
1
4
𝑦2
+ 4yz – 3z +
2
3
𝑦2
−
1
8
yz =
5) (15𝑥2
+ 12xy + 20) – (9𝑥2
+ 10xy + 5) =
6)(14𝑥2
y + 3𝑥2
– 5y + 14) + (7𝑥2
y + 5𝑥2
– 8y + 10) =
7) (4x + 5𝑦2
w + 7z) – (8x + 3z + 2𝑦2
w) =
8) (– 3𝑥3
+ 5𝑥2
– x) + (7𝑥2
y + 5𝑥2
– 8y + 10) =

1) 2𝑥 + (−3𝑦) − (4𝑦) − (−6𝑥)
2) 12𝑤2
𝑦2
+ 10𝑥𝑧 + 3𝑤2
𝑦2
− 5𝑥𝑧 =
3) 4𝑥2
𝑦 − 5𝑦𝑧 + 2𝑦𝑧 − 𝑦𝑥2
=
4) – 3x𝑦2
+ 𝑥2
y –
1
2
𝑥2
y +
2
3
𝑥2
y =
5) (2𝑥2
+ 6x + 5) + (3𝑥2
− 2x – 1) =
6) (8𝑥2
+ 4x + 12) + (2𝑥2
+ 7x + 10) =
7)(−5𝑥2
– 10x – 7y + 2) + (3𝑥2
– 4 + 7x) =
8) (3𝑥2
+ 2xy – 7) + (7𝑥2
– 4xy + 8) =
SUSTRACCIÓN
I) Monomios: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y se reduce los términos semejantes.
Ejemplos:
1) Restar −3𝑥 de −18𝑥 = −18𝑥 − (−3𝑥) = −18𝑥 + 3𝑥 = −15𝑥
2) Restar −2𝑥2
𝑦 de −6𝑥2
𝑦 = −6𝑥2
𝑦 − (−2𝑥2
𝑦) = −6𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
𝑦 = −4𝑥2
𝑦

II) Polinomios: Cuando se restan polinomios hay que restar del minuendo cada
uno de los términos del sustraendo cambiándoles los signos.
Ejemplos:
1) Restar (−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦) de (5𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑧)
(5𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑧) − (−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦)
Ordenamos términos, y realizamos la reducción:
2) Restar (2𝑥 − 5𝑧 − 6) de (2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 + 6)
Sustraendo Minuendo

3) Restar (−3𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧) de (−3𝑦 + 3𝑧 + 𝑥)
4) Restar (−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧) de (−2𝑦 + 4𝑧 − 5𝑥)

5) Restar (−3𝑥3
+ 5𝑥2
− 𝑥) de (5𝑥3
− 6𝑥2
)
Ejercicio 24: Realiza lo que se te pide.
De manera grupal
1) Resta (3x − 4y) de (5x + 2y) =
2) Resta (4𝑥2
– 10x + 4) de (– 4x + 5 – 3𝑥2
) =
3) Resta (– 8x + 18xy – 4y) de (– 5y + x) =
4) Resta (4xy + 2y + 2𝑥2
) de (– 4𝑥2
– 8xy) =
5) Resta (10𝑥2
– 2𝑦3
) de (– 3𝑦3
+ 18𝑥2
) =
6) Resta (–5x + 7𝑥3
– 4 + 2𝑥2
) de (– 9 + 3x – 2𝑥2
– 5𝑥3
) =
7) Resta (3𝑥3
– 5𝑥2
+ 4x − 8) de (– 7x + 9𝑥3
– 8 + 5𝑥2
) =
8) Resta (
2
3
x −
1
8
y) de (
3
4
y +
1
2
x) =
1) (8x) – (6x) =
2) 38xy – (– 8xy) =

3) – 17 x – (– 3 x) =
4) – 8x𝑦2
– (16 x𝑦2
) =
5) Restar (4𝑥2
+ 8𝑥3
– 7) de (– 8𝑥3
+ 3x – 2𝑥2
) =
6) Restar (– 3x – 5y + 4z) de (2x – 7y + 4z) =
7) Restar (6𝑥2
– 6𝑥3
+ 5x) de (– 4 + 6𝑥2
– 3𝑥3
) =
8) Restar (4x + 8y – 9z) de (– 5x + y – z) =
PRODUCTO
PRODUCTO DE MONOMIOS
Para multiplicar monomios:
I) Se aplica la ley de los signos,
II) Se multiplican los coeficientes,
III) y debes tener en cuenta la ley de los exponentes, bases iguales que se
multiplican los exponentes se suman 𝒙 𝒎
∙ 𝒙 𝒏
= 𝒙 𝒎+𝒏
Ejemplos:
1) (−𝑥𝑦)(2𝑧) = −2𝑥𝑦𝑧
2) (3𝑥)(−𝑥𝑦) = −3𝑥2
𝑦
3) (−4𝑥𝑦)(−5𝑥2) = +20𝑥3
𝑦
4) (5𝑥2
𝑦)(−𝑥𝑦𝑧) = −5𝑥3
𝑦2
𝑧
5) (−
2
3
𝑥𝑦3
𝑤2
) (
4
5
𝑥2
𝑦𝑧3
) = −
8
15
𝑤2
𝑥3
𝑦4
𝑧5

PRODUCTO DE MONOMIO POR POLINOMIO
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada
uno de los términos del polinomio y se suman los resultados. Recuerda ordenar
los términos.
Ejemplos:
1) (−2𝑥)(5𝑥2
− 3𝑥 + 4)
Multiplicando el monomio por cada término del polinomio.
(−2𝑥)(5𝑥2) = −10𝑥3
(−2𝑥)(−3𝑥) = 6𝑥2
(−2𝑥)(4) = −8𝑥
Por lo tanto la solución de la multiplicación es:
(−2𝑥)(5𝑥2
− 3𝑥 + 4) = −10𝑥3
+ 6𝑥2
− 8𝑥
Ejemplos;
1) (−5𝑦)(−2𝑥 + 3𝑥𝑦 − 5𝑦) = 10𝑥𝑦 − 15𝑥𝑦2
+ 25𝑦2
2) (−3𝑥𝑦)(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑥2
𝑦) = −12𝑥3
𝑦2
− 6𝑥2
𝑦 + 9𝑥𝑦2
3) (2𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦2
+ 𝑦3)(𝑥𝑦2) = 2𝑥2
𝑦3
+ 5𝑥2
𝑦4
+ 𝑥𝑦5
4) (
3
5
𝑥2
) (−21𝑥2
− 20𝑥 + 8) = (−
63
5
𝑥4
− 12𝑥3
+
24
5
𝑥2
)

PRODUCTO DE POLINOMIO POR POLINOMIO
Para poder multiplicar un polinomio por otro.
a) Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por los términos
del segundo.
b) Al ir multiplicando se acomodan los términos semejantes en columnas.
c) Se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal
En forma vertical

En forma horizontal
3) Efectúa la siguiente operación (𝑥2
− 4𝑥 + 6)(7𝑥2
− 5𝑥 − 2)
Multiplicamos cada término del primer polinomio por los términos de segundo
polinomio
(𝑥2)(7𝑥2
− 5𝑥 − 2) = 7𝑥4
− 5𝑥3
− 2𝑥2
(−4𝑥)(7𝑥2
− 5𝑥 − 2) = −28𝑥3
+ 20𝑥2
+ 8𝑥
(6)(7𝑥2
− 5𝑥 − 2) = 42𝑥2
− 30𝑥 − 12
Los ordenamos en forma horizontal
7x4
− 5x3
− 2x2
− 28x3
+ 20x2
+ 8x + 42x2
− 30x − 12
Realizamos la reducción de términos semejantes
7x4
− 33x3
+ 60x2
− 22x − 12

4) Realiza la siguiente multiplicación (𝑥2
+ 3𝑥𝑦 + 6)(2𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 2)
(x2)(2x2
+ xy + 2) = 2x4
+ x3
y + 2x2
(3xy)(2x2
+ xy + 2) = 6x3
y + 3x2
y2
+ 6xy
(6)(2x2
+ xy + 2) = 12x2
+ 6xy + 12
2x4
+ x3
y + 2x2
+ 6x3
y + 3x2
y2
+ 6xy + 12x2
+ 6xy + 12 =
2x4
+ 7x3
yx + 14x2
+ 12xy + 12
5) Resuelve la siguiente multiplicación (−
2
3
𝑥2
+
1
5
𝑥 − 3) (
3
4
𝑥2
− 𝑥 +
3
2
)
(−
2
3
𝑥2
) (
3
4
𝑥2
− 𝑥 +
3
2
) = (−
6
12
𝑥4
+
2
3
𝑥3
−
6
6
𝑥2
)
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 (−
2
3
𝑥4
+
2
3
𝑥3
− 𝑥2
)
(
1
5
𝑥) (
3
4
𝑥2
− 𝑥 +
3
2
) = (
3
20
𝑥3
−
1
5
𝑥2
+
3
10
𝑥)
(−3) (
3
4
𝑥2
− 𝑥 +
3
2
) = (−
9
4
𝑥2
+ 3𝑥 −
9
2
)
Reducimos términos semejantes
(−
1
2
𝑥4
+
2
3
𝑥3
− 𝑥2
) + (
3
20
𝑥3
−
1
5
𝑥2
+
3
10
𝑥) + (−
9
4
𝑥2
+ 3𝑥 −
9
2
)
(−
1
2
𝑥4
+
49
60
𝑥3
−
69
20
𝑥2
+
33
10
𝑥 −
9
2
)

Ejercicio 25: Realiza las siguientes operaciones. Si es posible simplifica las
fracciones en los números racionales.
De manera grupal
1) (𝑥𝑦3
+ 3x − y) (𝑥3
)
2) (𝑥3
− 3𝑥2
+ 1) (x)
3) (2x + 3y) (3x + 2y)
4) (5x − 2y) (6x − 3y)
5) (4𝑥2
y − 6x𝑦2
+ 𝑦3
) (3𝑥2
y − 2𝑦3
)
6) (𝑥2
− 2xy + 𝑦2
) (x − y)
7) (8𝑥3
– 9𝑦3
+ 6x𝑦2
– 12𝑥2
y) (2x + 3y)
8) (6𝑦2
+ 2𝑥2
– 5xy) (3𝑥2
– 4𝑦2
+ 2xy)
1) (− 6𝑥3
𝑦4
z)(4𝑥2
y𝑧3) =
2) (4𝑤5
𝑥2)(− 2𝑦7
𝑧) =
3) (−4𝑥2
𝑦3)(6x𝑦3) (−
1
6
x) =
4) (−4𝑥2
𝑦4
) (− 6x𝑦2
+ 10𝑥3
y) =
5) (− 6𝑥3
+ 4x𝑦2
– 10) (− 4𝑥2
y) =
6) (
2
3
𝑥2
) (−
1
6
𝑥3
𝑦2
−
4
9
𝑥2
+ 𝑥𝑦2
) =
7 (2𝑥2
y + 3x𝑦2
+ 𝑦3
) (5𝑥2
y − 𝑦3
) =
8) (3𝑥3
– 4𝑥2
– x) (− 5𝑥2
+ 3x – 2) =

COCIENTE
Para dividir dos monomios
I) Se aplica la ley de los signos,
II) Dividir los coeficientes,
III) Debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base.
(
𝑥 𝑚
𝑥 𝑛
) = 𝑥 𝑚−𝑛
IV) Recuerda que los exponentes siempre deberán expresarse como positivos.
Ejemplos:
1) Divide 24𝑥4
𝑦2
𝑧3
entre 8𝑥𝑦
24𝑥4
𝑦2
𝑧3
8𝑥𝑦
=
24
8
𝑥4−1
𝑦2−1
𝑧3
= 3𝑥3
𝑦𝑧3
2) Dividir 4𝑥2
𝑦4
𝑧 entre (−6𝑥3
𝑦2
𝑧4
)
4𝑥2
𝑦4
𝑧
−6𝑥3 𝑦2 𝑧4
=
4
−6
∙
𝑥2
𝑥3
∙
𝑦4
𝑦2
∙
𝑧
𝑧4
−
4𝑦4−2
6𝑥3−2 𝑧4−1
=
4𝑦2
6𝑥𝑦3
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 = −
2𝑦2
3𝑥𝑧3

Polinomio entre monomio
Al igual que en la multiplicación, se divide cada uno de los términos del
polinomio entre el monomio y se siguen las mismas reglas de signos y exponentes
que se dieron en la división de monomios.
Ejemplos:
1) Divide (5𝑥2
+ 25𝑥4
− 15𝑥3
) entre (−5𝑥)
a) Ordenamos términos
(25𝑥4
− 15𝑥3
+ 5𝑥2
) entre (−5𝑥)
b) Se escribe cada término en forma de fracción
25𝑥4
−5𝑥
−
15𝑥3
−5𝑥
+
5𝑥2
−5𝑥
Se lleva a cabo la división de coeficientes y signos, y se simplifican los
exponentes.
−5𝑥4−1
+ 3𝑥3−1
− 1𝑥2−1
= −5𝑥3
+ 3𝑥2
− 𝑥
2) Dividir (35𝑥3
𝑦𝑧 − 25𝑥2
𝑦3
𝑧 − 15𝑥3
𝑦3
𝑧3
) entre (5𝑥3
𝑦3
𝑧3
)
35𝑥3 𝑦𝑧
5𝑥3 𝑦3 𝑧3
−
25𝑥2 𝑦3 𝑧
5𝑥3 𝑦3 𝑧3
−
15𝑥3 𝑦3 𝑧3
5𝑥3 𝑦3 𝑧3
=
7𝑥3−3
𝑦3−1 𝑧3−1
−
5𝑦3−3
𝑥3−2 𝑧3−1
− 3𝑥3−3
𝑦3−3
𝑧3−3
=
7𝑥0
𝑦2 𝑧2
−
5𝑦0
𝑥𝑧2
− 3𝑥0
𝑦0
𝑧0
=
7
𝑦2 𝑧2
−
5
𝑥𝑧2
− 3

Polinomio entre polinomio
Para dividir 2 polinomios es necesario realizar lo siguiente:
a) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se resta el
dividendo (cambiar los signos).
c) Se repiten los pasos (a) y (b) hasta que ya no se pueda dividir.
Ejemplos:
1) Divide (6𝑥2
− 𝑥 − 15) entre (2𝑥 + 3)
2𝑥 + 3√6𝑥2 − 𝑥 − 15
a) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor
6𝑥2
2𝑥
= 3𝑥 (Primer término del cociente)
3𝑥
2𝑥 + 3√6𝑥2 − 𝑥 − 15
b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se reduce el
dividendo (cambiando sus signos).
(2𝑥 + 3)(3𝑥) = 6𝑥2
+ 9𝑥

c) Se repite el paso (a) ahora con el nuevo dividendo que es −10𝑥 − 15
−
10𝑥
2𝑥
= −5 Segundo término del cociente
Se multiplica el −5 por el divisor y se resta el resultado del dividendo.
(2𝑥 + 3)(−5) = −10𝑥 − 15
Cambiando signos = 10𝑥 + 15

Ejercicio 26: Realiza las siguientes divisiones. Las fracciones deberán ser
simplificadas.
De manera grupal
1) (12𝑥3) ÷ (4x) =
2) (18𝑥6
𝑦2
𝑧5
) ÷ (6𝑥3
𝑦𝑧2 ) =
3) (36𝑥3
𝑦7
𝑧4
) ÷ (12𝑥2
𝑦2) =
4) (6𝑥3
𝑦4
𝑧2
) ÷ (3𝑥2
𝑦2
𝑧2) =
5) (24𝑥5
𝑦4
+ 18𝑥4
𝑦5
– 48𝑥10
𝑦3
) ÷ (6𝑥2
𝑦3
) ) =
6) (12𝑥3
𝑦5
+ 18𝑥5
𝑦7
– 48𝑥12
𝑦5
) ÷ (3𝑥2
𝑦2
) =
7) (1500𝑥3
𝑦2
𝑧4
+ 1000𝑥4
𝑦3
𝑧3
– 500) ÷ (− 500𝑥2
y𝑧3) =
8) (400𝑥3
𝑦2
+ 200𝑥2
y – 600x) ÷ (50x) =
9) (2𝑥4
− 4𝑥3
+ 3𝑥2
– x + 1) ÷ (𝑥2
+ 2) =
10) (6𝑥4
+ 2𝑥3
+ 4) ÷ (2𝑥2
+ 2) =
11) (𝑥4
− 2𝑥3
− 11𝑥2
+ 30x − 20) ÷ (𝑥2
+ 3x – 2 ) =
12) (𝑥6
+ 5𝑥4
+ 3𝑥2
− 2x) ÷ (𝑥2
− x + 3) =
1) (− 𝑥4
) ÷ (𝑥2
) =
2) (8𝑥3
𝑦4
𝑧2
÷ 2𝑥2
𝑦2
𝑧2) =
3) (12𝑥2
) ÷ (− 6y) =
4) (−18𝑥4
𝑦𝑧2
) ÷ (− 6𝑥2
yz) ) =
5) (− 4𝑥3
𝑦4
+ 10𝑥3
𝑦4
– 8xy) ÷ (− 2xy) =
6) (24𝑥5
𝑦3
𝑧2
– 6𝑥3
𝑦4
𝑧3
) ÷ (− 3𝑥2
𝑦3
z) =
7) (− 4𝑥5
𝑦3
𝑧2
+ 6𝑥3
𝑦2
z – 8) ÷ (− 4𝑥3
𝑦2
) =

8) (3𝑥2
𝑦3
– 6x𝑦4
+ 9) ÷ (9𝑥2
𝑦3
) =
9) (18𝑥2
+ 12x + 8) ÷ (2x + 4) =
10) (2𝑥2
– 14x + 6) ÷ (2x – 8 ) =
11) (4𝑦3
+ 10𝑦2
+ 4y – 2) ÷ (2y + 6) =
12) (16𝑥4
– 12𝑥3
+ 6𝑥2
– 14x + 32) ÷ (4𝑥2
+ 6x – 8 ) =

Unidad 4: Productos Notables
Habilidades y destrezas
Expresa con coherencia los productos notables, utilizando terminología y
notación matemática.
 Binomios conjugados
 Producto de dos binomios cualesquiera
 Binomios al cuadrado (𝑥 + 𝑦)2
 Binomios al cubo (𝑥 + 𝑦)3

Productos Notables
Es importante que los jóvenes logren entender que tanto en la multiplicación
algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al
resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que se pueden resolver
con una regla práctica y sencilla, además, su aplicación hace más fácil
la obtención del resultado. Estos productos son conocidos como productos
notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la
multiplicación término a término. A continuación se describen los productos
notables más importantes o que comúnmente son utilizados.
Binomios conjugados
Se les llama binomios conjugados al producto (multiplicación) de la suma de dos
números por su diferencia; esto quiere decir que tienen los mismos términos pero
difieren en un término tiene un signo positivo y el otro signo negativo, por ejemplo:
Para resolver este producto podemos hacerlo de la manera tradicional que es
multiplicar un término por el otro en forma de multiplicación como normalmente se
resuelven las multiplicaciones, por ejemplo:

Así mismo, si se desea se puede hacer uso de la siguiente regla que nos dice:
a) El cuadrado del primer término (𝑥)2
= ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) = 𝑥2
b) menos el cuadrado del segundo −(𝑦)2
= − (𝑦) (𝑦) = −𝑦2
Ejemplo 1:
(x + 2)(x − 2) =
(𝑥)(𝑥) − (2)(2) =
𝑥2
− 4
Ejemplo 2:
(3x + 2y)(3x − 2y) =
(3𝑥)(3𝑥) − (2𝑦)(2𝑦) =
9𝑥2
− 4𝑦2
Ejemplo 3:
(
2𝑥2 𝑦2
3𝑚5 𝑛
+
6𝑤4
5
) (
2𝑥2 𝑦2
3𝑚5 𝑛
−
6𝑤4
5
)=
(
2𝑥2
𝑦2
3𝑚5 𝑛
) (
2𝑥2
𝑦2
3𝑚5 𝑛
) − (
6𝑤4
5
) (
6𝑤4
5
)
4𝑥4
𝑦4
9𝑚10 𝑛2
−
36𝑤8
25

Ejemplos adicionales:
BINOMIO CONJUGADO DESARROLLO RESULTADO
(𝑥)(𝑥) − (3)(3) =
(
(2𝑥)(2𝑥) − (6)(6) = 4𝑥2
− 36
(𝑥𝑦2
𝑧 − 3𝑥𝑦 )(𝑥𝑦2
𝑧 + 3𝑥𝑦) = (𝑥𝑦2
𝑧)(𝑥𝑦2
𝑧) − (3𝑥𝑦)(3𝑥𝑦) 𝑥2
𝑦4
𝑧2
− 9𝑥2
𝑦2
(
𝑦
2
+
1
7
) (
𝑦
2
−
1
7
) =
(
𝑦
2
) (
𝑦
2
) − (
1
7
) (
1
7
)
𝑦2
4
−
1
49
(
4𝑥2 𝑦2
2𝑚3 𝑛
+
5𝑝4 𝑞
10𝑤
) (
4𝑥2 𝑦2
2𝑚3 𝑛
−
5𝑝4 𝑞
10𝑤
)=
(
4𝑥2
𝑦5
2𝑚3 𝑛
) (
4𝑥2
𝑦5
2𝑚3 𝑛
) − (
5𝑝4
𝑞
10𝑤
)(
5𝑝4
𝑞
10𝑤
)
16𝑥4
𝑦10
4𝑚8 𝑛2
−
25𝑝8
𝑞2
100𝑤2
Ejercicio 1: De acuerdo a la regla de binomios conjugados resuelva los
siguientes ejercicios de manera grupal:
1. (20𝑥2
𝑦 − 16𝑧3)(20𝑥2
𝑦 + 16𝑧3)
2. (3𝑥 + 9𝑦) (3𝑥 − 9𝑦) =
3. (7𝑥6
+ 6𝑦7)(7𝑥6
− 6𝑦7)
4. (15𝑥6
𝑦3
− 𝑤9
𝑧5)(15𝑏𝑥6
𝑦3
+ 𝑤9
𝑧5)
5. (4𝑥2
𝑦2
− 5)(4𝑥2
𝑦2
+ 5)
6.
7. (8𝑥4
+ 13𝑦5)(8𝑥4
− 13𝑦5)
8. (
9𝑥2
5𝑤
+
𝑦7
2𝑧
) (
9𝑥2
5𝑤
−
𝑦7
2𝑧
)
9. (
2𝑥3 𝑦2
6𝑤5 +
11𝑚7 𝑛2
8𝑣2 ) (
2𝑥3 𝑦2
6𝑤5 −
11𝑚7 𝑛2
8𝑣2 )
10. (
19𝑥25
𝑤2 +
5𝑦4
𝑟9 𝑡6) (
19𝑥25
𝑤2 −
5𝑦4
𝑟9 𝑡6)

1.
2.
3. (2𝑥3
+ 6𝑦2)(2𝑥3
− 6𝑦2)
4. (5𝑥𝑦2
𝑧4
− 8𝑢𝑤)(5𝑥𝑦2
𝑧4
+ 8𝑢𝑤)
5. (10𝑥2
𝑦2
− 7)(10𝑥2
𝑦2
+ 7)
6. (12𝑥 + 8)(12𝑥 − 8)
7.
8.
(
3𝑥2
2𝑦
+
𝑧
6
) (
3𝑥2
2𝑦
−
𝑧
6
)
9. (
𝑥6 𝑦2
𝑤
+
11𝑟5 𝑡4
𝑣10 ) (
𝑥6 𝑦2
𝑤
−
11𝑟5 𝑡4
𝑣10 )
10. (
9𝑥7 𝑦9
𝑚2 𝑛
+
13𝑤5 𝑧4
𝑝4 𝑡2 ) (
9𝑥7 𝑦9
𝑚2 𝑛
+
13𝑤5 𝑧4
𝑝4 𝑡2 )
Productos de dos binomios cualesquiera
Cuando tenemos la multiplicación de dos binomios cualesquiera tenemos dos
términos que son semejantes entre sí, por ejemplo: (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) 𝑦 (𝐜𝐱 + 𝒅𝒚), su
producto (multiplicación) se obtiene por a través de un procedimiento descrito a
continuación:

Se suman ambas términos para obtener su resultado, por lo tanto queda de la
siguiente manera:
𝒂𝒄𝒙 𝟐
+ 𝒂𝒅𝒙𝒚 + 𝒃𝒄𝒙𝒚 + 𝒃𝒅𝒚
Nota: Las letras a, b, c y d son constantes (números) por lo tanto se multiplican y
se suman los términos semejantes.
Ejemplo 1:
(10𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 + 11𝑦) =
(10𝑥)(5𝑥) + (10𝑥)(11𝑦) + (2𝑦)(5𝑥) + (2𝑦)(11𝑦) =
50𝑥2
+ 110𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 + 22𝑦2
=
50𝑥2
+ 120𝑥𝑦 + 22𝑦2
=
Ejemplo 2:
(10𝑥2
− 2𝑦5
)(3𝑥3
− 5𝑦) =
(10𝑥2
)(3𝑥3
) + (10𝑥2
)(−5𝑦) + (−2𝑦5
)(3𝑥3
) + (−2𝑦5
)(−5𝑦) =
30𝑥5
− 50𝑥2
𝑦 − 6𝑦5
𝑥3
+ 10𝑦6

Ejemplo 3:
(
5x3
y4
+
7z8
2w6
) (
x4
y3
+
8z
3w5
) =
(
5x3
y4 )(
x4
y3) + (
5x3
y4 ) (
8z
3w5
) + (
7z8
2w6) (
x4
y3) + (
7z8
2w6) (
8z
3w5
) =
5x7
y7
+
40x3
z
108y4w5
+
7x4
z8
2𝑤6y3
+
56z9
36w11
BINOMIO
CUALESQUIERA
DESARROLLO RESULTADO
(4𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 + 3𝑦) = (4𝑥)(5𝑥) + (4𝑥)(3𝑦) + (2𝑥)(5𝑦) + (2𝑦)(3𝑦)
=
20𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 + 6𝑦2
=
20𝑥2
+ 22𝑥𝑦 + 6𝑦2
(2𝑥 + 6𝑦)(4𝑥 − 8𝑦) = (2𝑥)(6𝑥) + (2𝑥)(−8𝑦) + (6𝑦)(4𝑥)
+ (6𝑦)(−8𝑦) =
12 𝑥2
− 16𝑥𝑦 + 24𝑥𝑦 − 48 𝑦2
=
12𝑥2
+ 8𝑥𝑦 − 48𝑦2
(𝑥 − 3𝑦)(7𝑥 + 𝑦) = (𝑥)(7𝑥) + (𝑥)(𝑦) + (−3𝑦)(7𝑥) + (−3𝑦)(𝑦) =
7𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 21𝑥𝑦 − 3𝑦2
=
7𝑥2
− 20𝑥𝑦 + 22𝑦2
(20𝑥 − 𝑦)(3𝑥 − 6𝑦) = (20𝑥)(3𝑥) + (20𝑥)(−6𝑦) + (−𝑦)(3𝑥)
+ (−𝑦)(−6𝑦) =
60𝑥2
− 120𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2
60𝑥2
− 123𝑥𝑦 + 6𝑦2
(2𝑥2
− 5𝑦4
)(13𝑥 − 9𝑦) = (2𝑥2
)(13𝑥) + (2𝑥2
)(−9𝑦) + (−5𝑦4
)(13𝑥)
+ (−5𝑦4
)(−9𝑦) =
26𝑥2
− 18𝑥2
𝑦 − 65𝑥𝑦4
+ 45𝑦5
26𝑥2
− 18𝑥2
𝑦 − 65𝑥𝑦4
+ 45𝑦5
(12𝑥𝑦 − 4𝑧)(7𝑥𝑦 − 15𝑧) = (12𝑥𝑦)(7𝑥𝑦) + (12𝑥𝑦)(−15𝑧) + (−4𝑧)(7𝑥𝑦) +
(−4𝑧)(−15𝑧)=
84𝑥2
𝑦2
− 180𝑥𝑦𝑧 − 28𝑥𝑦𝑧 + 60𝑧2
84𝑥2
𝑦2
− 208𝑥𝑦𝑧
+ 60𝑧2
(
3𝑥
2𝑦
−
8𝑧
5𝑤
) (
4𝑥
3𝑦
−
7𝑧
6𝑤
)
(
3𝑥
2𝑦
) (
4𝑥
3𝑦
) + (
3𝑥
2𝑦
) (
−7𝑧
6𝑤
) + (
−8𝑧
5𝑤
) (
4𝑥
3𝑦
)
+ (
−8𝑧
5𝑤
) (
−7𝑧
6𝑤
)
12𝑥2
6𝑦2
−
21𝑥𝑦
12𝑦𝑤
−
32𝑥𝑧
15𝑦𝑤
+
56𝑧2
30𝑤2

12𝑥2
6𝑦2
−
21𝑥𝑦
12𝑦𝑤
−
32𝑥𝑧
15𝑦𝑤
+
56𝑧2
30𝑤2
(
2𝑥6
9𝑦4
+
10𝑧8
3𝑤7 ) (
11𝑥4
2𝑦3
+
5𝑧
12𝑤5)
(
2𝑥6
9𝑦4
) (
11𝑥4
2𝑦3
) + (
2𝑥6
9𝑦4
) (
5𝑧
12𝑤5
) + (
10𝑧8
3𝑤7
) (
11𝑥4
2𝑦3
)
+ (
10𝑧8
3𝑤7
) (
5𝑧
12𝑤5
)
22𝑥10
18𝑦7
+
10𝑥6
𝑧
108𝑦4 𝑤5
+
110𝑥4
𝑧8
15𝑤7 𝑦3
+
50𝑧9
36𝑤14
22𝑥10
18𝑦7
+
10𝑥6
𝑧
108𝑦4 𝑤5
+
110𝑥4
𝑧8
15𝑤7 𝑦3
+
50𝑧9
36𝑤14
Ejercicio 2: de acuerdo a la regla de binomios cualesquiera resuelva los
BINOMIO CUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO
1. (3𝑥 + 8𝑦)(6𝑥 + 7𝑦) =
2. (22𝑥 + 17𝑦)(4𝑥 − 9𝑦) =
3. (13𝑥 − 10𝑦)(25𝑥 − 12𝑦) =
4. (𝑥 + 𝑦)(18𝑥 + 32𝑦) =
5. (8𝑥2
− 4𝑦3
)(2𝑥2
− 19𝑦3
) =
6. (12𝑥 − 𝑦6
)(16𝑥 + 5𝑦6
) =
7. (23𝑥 − 30𝑦)(42𝑥 − 14𝑦) =
8. (2𝑥3
− 13𝑦4
)(3𝑥3
− 9𝑦2
) =
9.
(
3𝑥
4𝑤
−
6𝑦
5𝑧
) (
4𝑥
13𝑤
−
5𝑦
2𝑧
)
10. (
2𝑤8
3𝑥5 +
6𝑣3
8𝑦2) (
7𝑤3
2𝑥4 +
10𝑣2
3𝑦3 )

BINOMIO CUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO
1. (𝑥 − 6𝑦)(10𝑥 + 8𝑦) =
2. (2𝑥 + 7𝑦)(14𝑥 − 5𝑦) =
3. (3𝑥 + 9𝑦)(15𝑥 + 2𝑦) =
4. (13𝑥 + 10𝑦)(5𝑥 + 𝑦) =
5. (8𝑥2
− 𝑦3
)(6𝑥2
− 2𝑦3
) =
6. (7𝑥 − 4𝑦4
)(11𝑥 + 9𝑦4
) =
7. (8𝑥 − 3𝑦)(14𝑥 − 16𝑦) =
8. (30𝑥2
− 18𝑦5
)(𝑥3
− 6𝑦) =
9. (
4𝑥
3𝑦
−
6𝑧
5𝑤
) (
7𝑥
10𝑦
−
11𝑧
4𝑤
)
10.
(
12𝑥6
7𝑤4
+
11𝑦8
5𝑧2
) (
𝑥4
2𝑤3
+
8𝑦
3𝑧5
)
Binomios al cuadrado
Cuando nos referimos al término binomio cuadrado no es otra cosa más que el
producto de dos binomios iguales, es decir, el primer término y el segundo son
exactamente iguales.
Por ejemplo:
(𝒙 + 𝒚) 𝟐
= (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)

Para resolver esta clase de ejercicios podemos multiplicar término a término,
como se muestra a continuación:
(𝒙 + 𝒚) 𝟐
= (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚) = (𝒙)(𝒙) + 𝟐(𝒙)(𝒚) + (𝒚)(𝒚) = 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
Con signo negativo tenemos:
(𝒙 − 𝒚) 𝟐
= (𝒙 − 𝒚)(𝒙 − 𝒚) = (𝒙)(𝒙) + 𝟐(𝒙)(−𝒚) + (𝒚)(𝒚) = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
Otra manera de ver este tipo de ejercicios es seguir una regla sencilla y sin
complicaciones, la cual dice:
El primer término al cuadrado
Más el doble del primer término por el segundo
Más el segundo término al cuadrado.
(𝒙) 𝟐
+ 𝟐(𝒙)(𝒚) + (𝒚) 𝟐
Nota: Cuando son ejercicios que tienen un signo negativo en la parte del medio
cuando dice el doble del primero por el segundo ahí se colocará el signo en
cuestión.
Ejemplo 1:
(𝑥 + 7)2
=
( 𝑥)2
+ 2(𝑥)(7) + (7)2
=
𝑥2
+ 14𝑥 + 49
Ejemplo 2:
64𝑥6
− 80𝑥3
𝑦2
+ 25𝑦4

Ejemplo 3:
(
5𝑥4
9𝑦3
−
10𝑧5
12𝑤7
)
2
(
5𝑥4
9𝑦3)
2
+ 2 (
5𝑥4
9𝑦3) (−
10𝑧5
12𝑤7) + (−
10𝑧5
12𝑤7)
2
25𝑥8
81𝑦6
−
100𝑥4
𝑧5
108𝑦3 𝑤7
+
100𝑧10
144𝑤14
BINOMIO
CUADRADO
(𝑥 + 2)2
= ( 𝑥)2
+ 2(𝑥)(2) + (2)2
= 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
(𝑥 − 5)2
= ( 𝑥)2
+ 2(𝑥 )(−5) + (−5 ) 2
=
(4𝑥 + 3𝑦)2
= (4𝑥) 2
+ 2(4𝑥)(3𝑦) + (3𝑦)2
= 16𝑥2
+ 24𝑥𝑦
+ 9𝑦2
49𝑥6
− 168𝑥3
𝑦2
+ 144𝑦4
(10𝑥2
𝑦5
+ 2𝑧2
)2
= (10𝑥2
𝑦5
)2
+ 2(10𝑥2
𝑦5
)( 2𝑧2
) + (2𝑧2
)2
= 100𝑥4
𝑦10
+ 40𝑥2
𝑦5
𝑧2
+ 4𝑧4
(2𝑥3
𝑦4
)2
+ 2(2𝑥3
𝑦4
)( − 2𝑤7
𝑧2
) + ( − 2𝑤7
𝑧2
)2
=4𝑥6
𝑦8
− 8𝑥3
𝑦4
𝑤7
𝑧2
+ 4𝑤14
𝑧4
(
7𝑥2
5
+
12𝑦3
11
)
2
= (
7𝑥2
5
)
2
+ 2 (
7𝑥2
5
) (
12𝑦3
11
) + (
12𝑦3
11
)
2
49𝑥4
25
+
168𝑥2
𝑦3
55
+
144𝑦6
121

(
15𝑥5
2𝑦3
−
13𝑧3
9𝑤4
)
2
(
15𝑥5
2𝑦3
)
2
+ 2 (
15𝑥5
2𝑦3
) (
−13𝑧3
9𝑤4
) + (
−13𝑧3
9𝑤4
)
2
225𝑥10
25𝑦6
−
390𝑥5
𝑧3
18𝑦3 𝑤4
+
169𝑧6
81𝑤8
Ejercicio 3: de acuerdo a la regla de binomios al cuadrado resuelva los
BINOMIO AL CUADRADO DESARROLLO RESULTADO
1. (𝑥 + 4)2
=
2. (𝑥 − 7)2
=
3. (2𝑥 + 5𝑦)2
=
4. (9𝑥 + 2𝑦)2
=
5.
6.
7. (12𝑥2
𝑦5
+ 9𝑧4
)2
=
8. =
9. (
5𝑥7
4
+
8𝑦2
3
)
2
=
10.(
20𝑥6
4𝑦
−
16𝑧4
11𝑤2)
2
=
BINOMIO AL CUADRADO DESARROLLO RESULTADO
1. (7 + 𝑥)2
2. (𝑥 − 8)2

3. (9𝑥 + 15𝑦)2
4. (6𝑥 + 𝑦)2
5.
6.
7. (7𝑥7
𝑦 8
+ 21𝑧10
)2
8.
9. (
2𝑥
7
+
13𝑦
3
)
2
10.
(
4𝑥6
𝑦
−
53𝑧9
16𝑤15
)
2
Binomios al cubo
Cuando elevamos un término al cubo se le conoce como binomios al cubo, es
decir, es la repetición de un término tres veces, o bien, el producto de tres
binomios exactamente iguales.
(𝒙 + 𝒚) 𝟑
= (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)
La regla que se utiliza para su resolución es la siguiente:
El cubo de un binomio es igual a:
El cubo del primer término
Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo
Más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo
Más el cubo del segundo término.

Ejemplo 1:
(x + y)3
=
(x)3
+ 3(x)2(y) + 3(x)(y)2
+ (y)3
x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
Ejemplo 2:
Cuando tenemos números negativos se expresa:
(x − y)3
=
(x)3
+ 3(x)2(−y) + 3(x)(−y)2
+ (−y)3
x3
− 3x2
y + 3xy2
− y3
Ejemplo 3:
(
2𝑥2
𝑦3
+
𝑤3
5𝑧4
)
3
(
2𝑥2
𝑦3
)
3
+ 3 (
2𝑥2
𝑦3
)
2
(
𝑤3
5𝑧4
) + 3 (
2𝑥2
𝑦3
) (
𝑤3
5𝑧4
)
2
+ (
𝑤3
5𝑧4
)
3
8𝑥6
𝑦9
+
12𝑥4
𝑤3
5𝑦6 𝑧4
+
6𝑥2
𝑤6
25𝑦3 𝑧8
+
𝑤9
125𝑧12

BINOMIO
AL CUBO
(𝑥 − 𝑧)3 (𝑥)3
+ 3(𝑥)2(−𝑧) + 3(𝑥)(−𝑧)2
+ (−𝑧)3
𝑥3
− 3𝑥2
𝑧 + 3𝑥𝑧2
− 𝑧3
(𝑥 + 𝑧)3 (𝑥)3
+ 3(𝑥)2(𝑧) + 3(𝑥)(𝑧)2
+ (𝑧)3
𝑥3
+ 3𝑥2
𝑧 + 3𝑥𝑧2
+ 𝑧3
(2𝑥)3
+ 3(2𝑥)2(−3𝑦) + 3(2𝑥)(−3𝑦)2
+ (−3𝑦)3
8𝑥3
− 18𝑥2
𝑦 + 54𝑥𝑦2
− 27𝑦3
(2 + 4𝑥)3
(2)3
+ 3(2)2(4𝑥) + 3(2)(4𝑥)2
+ (4𝑥)3
8 + 48𝑥 + 96𝑥2
+ 64𝑥3
(10𝑥2
+ 8𝑦3
)3
(10𝑥2)3
+ 3(10𝑥2)2(8𝑦3) + 3(10𝑥2)(8𝑦3)2
+ (8𝑦3)3
1000𝑥6
+ 2400𝑥4
𝑦3
+ 1920 𝑥2
𝑦6
+ 512𝑦9
(
11𝑥
4𝑤
−
5𝑦
12𝑧
)
3 (
11𝑥
4𝑤
)
3
+ 3 (
11𝑥
4𝑤
)
2
(
−5𝑦
12𝑧
) + 3 (
11𝑥
4𝑤
) (
−5𝑦
12𝑧
)
2
+ (
−5𝑦
12𝑧
)
3
1331𝑥3
64𝑤3
−
1815𝑥2
𝑦
192𝑤2 𝑧
+
825𝑥𝑦2
576𝑤𝑧2
−
125𝑦3
1728𝑧3
(
4𝑤2
3𝑦3 +
2𝑥3
5𝑧4)
3 (
4𝑤2
3𝑦3
)
3
+ 3 (
4𝑤2
3𝑦3
)
2
(
2𝑥3
5𝑧4
) + 3 (
4𝑤2
3𝑦3
) (
2𝑥3
5𝑧4
)
2
+ (
2𝑥3
5𝑧4
)
3
64𝑤6
27𝑦9
+
96𝑤4
𝑥3
45𝑦6
+
48𝑤2
𝑥6
75𝑦3 𝑧8
+
8𝑥9
125𝑧12

Ejercicio 4: de acuerdo a la regla de binomios al cubo resuelva los
BINOMIO AL CUBO DESARROLLO RESULTADO
1. (2𝑥 + 3𝑦)3
2. (5𝑥 − 8𝑦)3
3.
4. (𝑥 + 5𝑦)3
5. (𝑥 + 6)3
6. (2𝑥 − 10𝑦)3
7. (14𝑥3
+ 15𝑦5
)3
8. (2𝑥2
− 5𝑦3
)3
9. (
9𝑥
7𝑧2 −
6𝑦
2𝑤3)
3
10. (
3𝑤5
4𝑦4 +
2𝑥3
5𝑧2)
3
BINOMIO AL
CUBO
1. (𝑥 + 𝑦)3
2. (𝑥 − 𝑦)3
3.
4. (5 + 3𝑥)3
5. (𝑥 − 3)3
6. (7𝑥 + 4𝑦)3

7. (11𝑥2
+ 12𝑦3
)3
8. (3𝑥2
− 2𝑦4
)3
9. (
6𝑥
7𝑦
−
2𝑧
8𝑤
)
3
10. (
2𝑤5
𝑦4 +
5𝑥2
𝑧3 )
3

Unidad 5: Factorización
El alumno representa mentalmente y planea problemas de factorización.
Conceptos Subsidiarios
Factorización:
 Por factor común a todos los términos
 Por diferencia de cuadrados
 De trinomios de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
 De trinomios de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
 De una suma o diferencia de cubos.
 Por agrupación.

Factorización
El término factor en matemáticas, hace referencia a un elemento que es parte de
un producto o multiplicación. Por lo tanto, el término de factorización hace
referencia a la repreesentación de expresiones matemáticas en forma de
productos o multiplicaciones.
Para poder entender el proceso de factorización de expresiones algebraicas,
veamos primero la factorización de números.
Ejemplo 1. Factorizar el número 8.
Solución 1:
Una forma sencilla de abordar el problema es, primero encontrando 2 números
que multiplicados sean igual a 8.
8 = 4 (2)
Solución 2:
El resultado anterior, representa una solución al problema de la factorización. Sin
embargo, una factorización más desarrollada sería factorizando el número 4,
resultando en:
8 = (2)(2)(2)
Un ejercicio interesante suele ser la factorización de números utilizando sólo
números primos. No obstante, cuando se trata de expresiones algebraicas, el nivel
de factorización depende de su utilidad para la simplificación de las mismas.
Ejemplo 2. Factorice el número
4
27
utilizando sólo números primos.
4
27
=
(2)(2)
(3)(3)(3)

En el caso de expresiones algebraicas, la factorización conserva el mismo
principio, representar la expresión mediante elementos que se multiplican.
Entendiendo como multiplicación, la operación principal en la expresión
algebraica.
La factorización de expresiones algebraicas puede realizarse de diversas formas.
En este capítulo se describen las más comunes.
Factorización por factor común a todos los términos:
El factor común a todos los términos en una expresión algebraica, hace referencia
a un término que se repite en los elementos de la expresión. Para comprender en
mayor medida cuando se puede realizar este tipo de factorización, considere los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 1. Factorice la expresión algebraica 3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐.
En este caso, el factor que se encuentra en todos los elementos de la expresión
es el 3. Una vez determinado el factor común entre los términos de la expresión,
aplicamos la propiedad asociativa para expresar los términos mediante un
producto, obteniendo:
3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐 = 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
Ejemplo 2. Factorice la expresión algebraica 4𝑥2
+ 24𝑥
La expresión anterior puede reescribirse de la siguiente forma:
4𝑥2
+ (4)(6)𝑥
Así, el 24 es factorizado, haciendo evidente la presencia del 4 en ambos términos
de la expresión.
Otro término que se encuentra en ambos elementos de la expresión es la variable
x. Aplicando la propiedad asociativa para todos los factores comunes, se obtiene:
4𝑥(𝑥 + 6)

Ejemplo 3. Factorizar la expresión 4𝑎𝑐 + 4𝑎𝑏 −
4
5
𝑎
A simple vista, pareciera que el factor común únicamente es la 𝑎. Sin embargo,
podemos transformar los coeficientes enteros de la expresión, de tal forma se
hagan presentes más factores comunes.
Si convertimos el 4 y el 3 a fracciones impropias, se obtiene:
20
5
𝑎𝑐 +
20
5
𝑎𝑏 −
4
5
𝑎
Ahora se hace evidente otro factor común en la expresión, el
4
5
. Aplicando de
nuevo la propiedad asociativa, se obtiene como resultado:
4
5
(5𝑐 + 5𝑏 − 1)
Ejemplo 4. Factorizar la expresión 5𝑥2
+ 10𝑥3
− 15𝑥5
+ 20𝑥4
En este caso podemos representar la expresión algebraica de la siguiente forma:
5𝑥2
+ (5)(2)𝑥2
𝑥 – (5)(3)𝑥3
𝑥2
+ (5)(4)𝑥2
𝑥2
Así podemos, notar los factores que se presentan en cada uno de los elementos
de la expresión.
De nuevo, aplicando la propiedad asociativa se obtiene:
5𝑥2(1 + 2𝑥 − 3𝑥3
+ 4𝑥2)

Ejercicio 1. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
Ejercicios Factor común Expresión factorizada
1 𝑥𝑦 + 𝑦2
2 4𝑎 + 8𝑏 + 12𝑐
3 24𝑎 − 8𝑏 + 16𝑐 + 12𝑑
4 5𝑥2
+ 15𝑥4
− 20𝑥6
+ 25𝑥4
5 11𝑥5
+ 7𝑥3
− 13𝑥5
+ 5𝑥4
6 12𝑥3
− 15𝑥2
+ 18𝑥5
− 21𝑥7
7 18𝑎𝑏𝑥3
− 3𝑎2
𝑏3
𝑥 + 6𝑎𝑥2
𝑧
8 44𝑥4
− 55𝑥6
− 77𝑥3
+ 33𝑥5
9 4𝑥3
𝑦2
+ 2𝑥2
𝑦3
− 6𝑥2
𝑦2
10 4(2𝑥 − 1) + 𝑥(2𝑥 − 1)
11 3𝑥(2𝑥 − 1) + 4(2𝑥 − 1)
Ejercicios Factor común Expresión factorizada
1 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2
2 3𝑎 + 6𝑏 + 9𝑐
3 24𝑎𝑏 − 8𝑏 + 16𝑏𝑐 + 12𝑏𝑑
4 15𝑥4
− 20𝑥6
+ 25𝑥5
5 11𝑥5
𝑦 + 7𝑥3
𝑦 − 13𝑥6
𝑦
6 12𝑥3
𝑦 − 15𝑥2
𝑦 + 18𝑥5
𝑦 − 9𝑥7
7 12𝑎𝑏𝑥3
− 3𝑎2
𝑏3
𝑥 + 3𝑎 𝑥2
𝑧
8 28𝑥4
− 42𝑥6
− 70𝑥3
+ 56𝑥5
9 8𝑥3
𝑦2
+ 4𝑥2
𝑦3
− 6𝑥2
𝑦2
10 5(4𝑥 − 1) + 𝑥(4𝑥 − 1)
11 2𝑥(2𝑥 − 1) − 4(2𝑥 − 1)

Factorización por diferencias de cuadrados.
Una diferencia de cuadrado se distingue por lo siguiente:
1) Es un binomio
2) Uno de los términos tiene signo negativo
3) Los dos términos deben tener raíz cuadrada.
Ejemplo 1.
𝑥2
− 4
La expresión anterior cumple con los tres criterios establecidos para la definición
de una diferencia de cuadrados. Es una expresión constituida por dos términos
algebraicos, la cual conocemos como binomio.
Término 1: 𝑥2
Término 2: 4
El segundo término es negativo y, ambos términos tienen raíz cuadrada. Cabe
mencionar que en este último criterio, no se considera la raíz cuadrada de -4, sino
únicamente de 4.
√𝑥2 = 𝑥 y
√4 = 2
Ejemplo 2.
𝑎4
−
25
4
En este caso, se cumplen la primeracondición, ya que:
Término 1: 𝑎4
Término 2:
25
4

La segunda condición se cumple, debido a que es una diferencia entre los dos
términos, y por último, ambos términos tienen raíz cuadrada.
√𝑎4 = 𝑎2
y
√
25
4
=
5
2
El procedimiento de factorización de una diferencia de cuadrados se realiza de
manera muy directa. Sabemos que una diferencia de cuadrados es equivalente a
un binomio conjugado, el cual está definido de manera general de la siguiente
forma:
𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑚
= (√𝑎 𝑛 + √𝑏 𝑛)(√𝑎 𝑛 − √𝑏 𝑛)
Ejemplo 3. Factorizar la diferencia de cuadrados definida como 𝑥2
− 4
𝑥2
− 4 = (√ 𝑥2 + √4) (√ 𝑥2 − √4) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Ejemplo 4. Factorizar la diferencia de cuadrados definida como −1 + 𝑥4
.
Cambiando el orden de los términos, obtenemos:
−1 + 𝑥4
= 𝑥4
− 1
Obteniendo el binomio conjugado:
(√ 𝑥4 + √1) (√ 𝑥4 − √1) = (𝑥2
+ 1)(𝑥2
− 1)
En este caso, el primer término de cada binomio factor tendrá signo positivo y
negativo o viceversa.

De manera grupal.
Diferencia de cuadrados Expresión factorizada
1 𝑥2
− 16
2 4𝑥2
− 𝑦2
3 25𝑦2
− 1
4
16𝑥2
−
25
36
5 49𝑥8
− 4
6 64𝑥2
− 𝑦6
𝑧4
7 −𝑥4
+ 16
8 25𝑥8
− 9𝑦6
9 6𝑥4
− 6
10 𝑥2
− 5
Diferencias de cuadrado Factorización
1 4𝑥2
− 16
2 4𝑥2
− 16𝑦2
3 36𝑥2
− 1
4
49𝑥2
−
16
36
5 81𝑥8
– 4𝑦2
6 49𝑥2
− 𝑦6
𝑧8
7 −25𝑥4
+ 16
8 𝑥8
− 9𝑦6
9 5𝑥4
− 5
10 𝑥2
− 7

Factorización de trinomios de la forma 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
La factorización de este tipo de trinomios se puede representar como:
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛)
Encontrar los valores de m y n, puede realizarse mediante la búsqueda de 𝑛 y , 𝑚,
de tal forma que ambos valores cumplan las siguientes condiciones:
𝑐 = (𝑛)(𝑚) y 𝑏 = 𝑛 + 𝑚
Ejemplo 1. Factorizar la expresión 𝑥2
+ 7𝑥 + 10.
Primero, deben encontrarse dos números que multiplicados sean igual al valor de
𝑐, que en este ejemplo es 10. Para ello, se tienen las siguientes opciones:
Opción 1: 10 = (1)(10)
Opción 2: 10 = (2)(5)
De las combinaciones de 𝑚 y 𝑛 encontradas, se debe cumplir que 𝑏 = 𝑛 + 𝑚; es
decir
7 = 𝑛 + 𝑚
De las opciones 1 y 2, sólo la opción 2 cumple con la segunda condición, por lo
que la expresión factorizada se representa mediante:
(𝑥 + 2)(𝑥 + 5)
Ejemplo 2. Factorizar la expresión 𝑥2
– 7𝑥 – 30.
Siguiendo con el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, se buscan dos
números n y m que cumplan con las condiciones:
−30 = (𝑛)(𝑚) y −7 = 𝑛 + 𝑚
Para la primera condición, se tienen las opciones:
1 −30 = (−2)(15) 4 −30 = (2)(−15)
2 −30 = (−3)(10) 5 −30 = (3)(−10)
3 −30 = (−5)(6) 6 −30 = (5)(−6)

De las opciones presentadas, sólo la 5 cumple con la condición −7 = 𝑛 + 𝑚. De
esta forma, los valores de m y n son:
𝑛 = 3
𝑚 = −10
Por lo tanto, la expresión factorizada es (𝑥 + 3)(𝑥 − 10)
De manera grupal.
Trinomio Expresión factorizada
1 𝑥2
+ 9𝑥 + 20
2 𝑥2
− 9𝑥 + 20
3 𝑥2
− 7𝑥 + 10
4 𝑥2
+ 4𝑥 − 5
5 𝑥2
+ 13𝑥 − 30
6 𝑥2
+ 4𝑥 − 21
7 𝑥2
− 7𝑥 + 12
8 𝑥2
+ 7𝑥 + 12
9 𝑥2
− 𝑥 − 12
10 𝑥2
+ 14𝑥 + 45
1 𝑥2
+ 9𝑥 + 8
2 𝑥2
+ 2𝑥 − 8
3 𝑥2
− 13𝑥 + 40
4 𝑥2
+ 11𝑥 − 26
5 𝑥2
+ 5𝑥 − 24
6 𝑥2
+ 7𝑥 + 6
7 𝑥2
− 19𝑥 − 20
8 𝑥2
− 4𝑥 − 12
9 𝑥2
− 𝑥 − 72
10 𝑥2
+ 11𝑥 + 18

Factorización de la Forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
La factorización de trinomios de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, puede realizarse mediante
dos métodos. El primero de ellos se conoce como el método de tanteo. El segundo
método es más directo y se realiza mediante la fórmula general.
Método de tanteo. En este método la expresión 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, queda
representada en factores, mediante:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑚𝑥 + 𝑝)(𝑛𝑥 + 𝑞)
Para encontrar los valores de 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞, se factoriza tanto el primer como el tercer
término del trinomio. Dichas factorizaciones pueden ser representadas mediante:
𝑎𝑥2
= (𝑚𝑥)(𝑛𝑥)
𝑐 = (𝑝)(𝑞)
La combinación de valores de 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞, debe cumplir con la siguiente condición:
𝑏𝑥 = (𝑚𝑥)(𝑞) + (𝑛𝑥)(𝑝)
Ejemplo 1. Factorizar 3𝑥2
+ 14𝑥 + 8
Para el primer término del trinomio, se buscan dos factores de 3𝑥2
𝑎𝑥2
= 3𝑥2
= (3𝑥)(𝑥)
También se factoriza el tercer término del trinomio:
𝑐 = 8 = (2)(4)
Con los valores propuestos se verifica que (𝑚𝑥)(𝑞) + (𝑛𝑥)(𝑝) sea igual a 𝑏𝑥 en el
trinomio.
𝑏𝑥 = (3𝑥)(4) + (𝑥)(2) = 14𝑥
Así, el trinomio es expresado en forma de factores mediante:
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 4)

Ejemplo 2. Factorizar 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
Para el primer término del trinomio, se buscan dos factores de 2𝑥2
𝑎𝑥2
= 2𝑥2
= (2𝑥)(𝑥)
También se factoriza el tercer término del trinomio:
𝑐 = 1 = (1)(1)
Con los valores propuestos se verifica que (𝑚𝑥)(𝑞) + (𝑛𝑥)(𝑝) sea igual a 𝑏𝑥 en el
trinomio.
𝑏𝑥 = (2𝑥)(1) + (𝑥)(1) = 3𝑥
Así, el trinomio es expresado en forma de factores mediante:
(2𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
De modo que la expresión factorizada de 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1 es (2𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
Método por fórmula general. En este caso, la representación factorizada de un
trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 es:
𝑎(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑛)
Para encontrar los valores de 𝑚 y 𝑛, se resuelve las ecuaciones:
𝑚 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑛 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo. Factorizar 3𝑥2
+ 14𝑥 + 8
En una primera instancia, asignamos los valores de los coeficientes a las variables
de la fórmula general:
𝑎 = 3, 𝑏 = 14, 𝑐 = 8

Sustituyendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se obtiene para 𝑚:
𝑚 =
−14 + √142 − 4(3)(8)
2(3)
=
−14 + √196 − 96
6
=
−14 + √100
6
=
−14 + 10
6
−4
6
=
−2
3
Sustituyendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se obtiene para 𝑛:
𝑛 =
−14 − √142 − 4(3)(8)
2(3)
=
−14 − √196 − 96
6
=
−14 − √100
6
=
−14 − 10
6
=
−24
6
= −4
De modo que la representación del trinomio, enforma de factores es:
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 4)
De manera grupal.
1 2𝑥2
+ 7𝑥 + 5
2 3𝑥2
− 5𝑥 + 2
3 4𝑥2
− 17𝑥 + 15
4 5𝑥2
+ 7𝑥 − 6
5 8𝑥2
− 2𝑥 − 3
6 7𝑥2
− 19𝑥 − 6
7 12𝑥2
− 73𝑥 + 6
8 8𝑥2
+ 2𝑥 − 3
9 10𝑥2
− 21𝑥 − 10
10 15𝑥2
+ 11𝑥 − 14

1 2𝑥2
+ 7𝑥 + 3
2 6𝑥2
+ 21𝑥 + 9
3 6𝑥2
− 15𝑥 + 6
4 5𝑥2
− 8𝑥 + 3
5 4𝑥2
− 2𝑥 − 2
6 4𝑥2
− 25𝑥 − 21
7 4𝑥2
− 10𝑥 + 6
8 2𝑥2
− 𝑥 − 1
9 3𝑥2
− 10𝑥 + 8
10 8𝑥2
+ 8𝑥 + 2
Factorización de Trinomios cuadrados perfectos (TCP)
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio.
Ejemplo 1.
(𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2
= 𝑥2
+ 6𝑥 + 9
Una forma rápida de saber si la expresión que se desea factorizar es un trinomio
al cuadrado perfecto, consiste en obtener la raíz cuadrada del primer y tercer
término. El resultado de ambas raíces se multiplica y posteriormente se multiplica
por dos multiplicarlos. El resultado debe ser igual al segundo términno del
trinomio.

Ejemplo 2 Se desea verificar que el trinomio 𝑥2
+ 6𝑥 + 9 es un trinomio cuadrado
perfecto.
Se obtiene la raíz cuadrada del primer término:
√ 𝑥2 = 𝑥
Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término:
√9 = 3
El doble producto de ambas raíces es:
2(𝑥)(3) = 6𝑥
Como el producto coincide con el segundo término del trinomio, se dice que la
expresión es un trinomio al cuadrado perfecto.
El procedimiento de factorización de un trinomio al cuadrado perfecto consiste en
obtener la raíz cuadrada del primer y tercer término y acomodar los productos de
forma tal que:
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥2
+ √ 𝑐)(𝑥2
+ √ 𝑐)
Ejemplo 3. Factorizar el trinomio 𝑥2
+ 4𝑥 + 4.
Primero se verifica quela expresión sea un trinomio cuadrado perfecto:
Se obtiene la raíz cuadrada del primer término:
√ 𝑥2 = 𝑥
Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término:
√4 = 2
El doble producto de ambas raíces es:
2(𝑥)(2) = 4𝑥
La factorización se obtiene mediante:
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥2
+ √4)(𝑥2
+ √4)

Obteniendo como resultado:
(𝑥2
+ 2)(𝑥2
+ 2)
De manera grupal.
Trinomio Verificación Expresión factorizada
1 𝑥2
+ 6𝑥 + 9
2 𝑥2
− 4𝑥 + 4
3 4𝑥2
− 12𝑥 + 9
4 𝑥4
+ 6𝑥2
+ 9
5 4𝑥2
− 16𝑥 + 4
6 9𝑥2
− 12𝑥 + 1
7 25 − 30𝑥2
+ 9𝑥4
8 4𝑥2
− 20𝑥 + 25
9
𝑥2
+
18𝑥
16
+
81
256
10
4𝑥2
+
36𝑥
25
+
81
625
11 𝑥3
− 18𝑥2
+ 81𝑥
Trinomio Verificación Expresión factorizada
1 𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
2 4𝑥2
− 8𝑥 + 4
3 25𝑥2
− 70𝑥 + 49
4 4𝑥2
− 12𝑥𝑦
+ 9𝑦2
5 𝑥2
− 18𝑥 + 49
6 𝑥2
− 2𝑥 + 1
7 𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 9𝑦2
8 9𝑥8
− 30𝑥4
+ 25
9 𝑥6
− 6𝑥3
+ 9
10
9𝑥2
−
24𝑥
9
+
16
81

Factorización por agrupación.
En ocasiones se deben agrupar los términos de un polinomio para que cada grupo
tenga un factor común y de esa manera se pueda factorizar. A este método se le
conoce como factorización por agrupación. Esto se lleva a cabo porque no hay un
factor común para todos los términos, pero si para ciertos grupos.
Ejemplo 1. Factorizar la expresión 3𝑥 + 12 − 5𝑥2
− 20 + 𝑥3
+ 𝑥2
A simple vista se oberva que no existe un factor común para todos los términos.
Sin embargo, si se agrupan los términos de la siguiente forma:
3(𝑥 + 4) − 5𝑥 (𝑥 + 4) + (𝑥 + 4)𝑥2
Se hace evidente que el binomio se encuentra presente en todos los elementos
de la expresión. Factorizando de nuevo, se obtiene:
(𝑥 + 4)(3 − 5𝑥 + 𝑥2)
Ejemplo 2. Factorizar la expresión 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
Factorizando por grupos se obtiene:
3(𝑥 + 𝑦) + 𝑎 (𝑥 + 𝑦)
Factorizando de nuevo:
(𝑥 + 𝑦) (3 + 𝑎)

De manera grupal
Polinomio Expresión factorizada
1 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦
2 10𝑥 + 10𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
3 −7𝑥 + 7𝑦 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
4 −4𝑥 − 4𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦
5 6𝑎 − 6𝑏 + 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
6 8𝑎 − 8𝑏 − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
7 4𝑥𝑦 + 8𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎2
8 5𝑥𝑦 + 10𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎2
9 12𝑎 − 12𝑏 + 16 − 6𝑎𝑥 + 6𝑏𝑥 − 8𝑥
10 6𝑥 − 3 + 2𝑥2
− 𝑥
Polinomio Expresión factorizada
1 6𝑎𝑥 − 9𝑥 + 4𝑎 − 6
2 6𝑎𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 + 9𝑐 + 6
3 20𝑥 + 20𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
4 6𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ 6𝑥 + 3𝑦
5 −𝑥 − 𝑦 + 4𝑏(𝑥 + 𝑦)
6 12𝑎𝑏𝑥𝑦𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 − 4𝑎𝑏 + 1
7 −8𝑥 + 8𝑦 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
8 6𝑥3
− 9𝑥2
+ 4𝑥 − 6
9 2𝑎2
𝑏2
+ 2𝑎𝑏3
+ 3𝑎 + 3𝑏
10 8𝑥2
− 16𝑥𝑦 + 4𝑥 + 4𝑥𝑦 − 8𝑦2
+ 2𝑦

Unidad 6: Exponentes y Radicales
Caracteriza y comprueba los exponentes radicales.
1. Exponentes enteros positivos.
2. Exponentes enteros negativos.
3. Exponente cero.
4. Exponentes fraccionarios positivos.
5. Exponentes fraccionarios negativos.
6. Suma y resta de radicales.
7. Multiplicación de radicales.

Los exponentes de un número son también llamados potencia o índices.
Definición de exponente.
El exponente (n) de un número nos indica cuantas veces debe multiplicarse por
sí mismo la base (x).
Los exponentes pueden ser:
X n
X9
Enteros positivos
X-n
x-6
Enteros negativos
X0
X0
Cero
X m/n
X2/7
Fraccionarios positivos
X-m/n
x-3/8
Fraccionarios negativos

Exponentes enteros positivos
Ejemplos:
1. Desarrollar 𝑦4 ∶
Tomamos la base que es "𝒚" multiplicándola por sí misma, el número de
veces que el exponente nos indica, en este caso es 4.
𝑦 4
= (𝑦)(𝑦)(𝑦)(𝑦) = 𝑦 4
Finalmente
𝑦4
= 𝑦4
2. Desarrollar 𝑥3
:
Tomamos la base que es "𝒙" y la multiplicamos por sí misma, el número de
veces que el exponente nos indica, en este caso es 3.
𝑥3
= 𝑥1
𝑥1
𝑥1
= 𝑥3
Finalmente:
𝑥3
= 𝑥3
3. Desarrollar (−3𝑥)3
∶
Recuerda, cuando las
bases se multiplican los
exponentes se suman.

La base es -3x, por lo cual debemos multiplicar por sí mismo cada uno de
los términos, las 3 veces que nos indica la potencia.
Finalmente:
(−3𝑥) 3
= −27𝑥3
4. Desarrollar (
2𝑥
3𝑦
)
4
:
En este caso, tenemos una fracción elevada a una potencia, cada uno de
los términos tanto el numerador como el denominador deben elevarse a la
potencia indicada.
Finalmente:
(
2𝑥
3𝑦
)
4
=
16𝑥4
81𝑦4
5. Desarrollar. (2𝑥3
)2
Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, estas se
multiplican, las bases se desarrollan multiplicándose por si misma las veces
que la potencia lo indique.
Finalmente:

(2𝑥3
)2
= 4𝑥6
Ejercici:
Desarrolla las potencias de los siguientes ejercicios de manera grupal.
Desarrolla la potencia de los siguientes ejercicios de manera individual.
Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (3𝑥3
)2
2. (−5𝑥2
)3
3. (
3𝑥
4
2
)3
4. (
3𝑥
2𝑦
) 5
5. (−2𝑥𝑦) 4
1. (8𝑥4
)2
2. (−5𝑥𝑦4
)3
3. (
3𝑥
2𝑦
2
)3
4. (
𝑥
4
2
)4
5. (−𝑥𝑦) 3

2 EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS.
La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número
elevado al mismo exponente positivo.
Ejemplo 1::
1. Desarrollar (−4𝑥)−2
:
Aplicamos la inversa y nos queda
1
(−4𝑥)2
, multiplicamos la base, es este
caso es tanto en numerador como el denominador, tantas veces como la
potencia lo indica.
(−𝟒𝒙)−𝟐
=
1
(−4𝑥)2
=(
1
−4𝑥
) (
1
−4𝑥
) =
1
16𝑥2
Finalmente:
(−𝟒𝒙)−𝟐
=
1
(−4𝑥)2
=
1
16𝑥2
Ejemplo 2:
2. Desarrollar (
𝟐
𝟑𝒙 𝟐
)
−𝟑
:
Aplicamos la inversa y nos queda (
𝟑𝒙 𝟐
𝟐
)
𝟑
, multiplicamos la base, es este
caso es tanto en numerador como el denominador, tantas veces como la
potencia lo indica.
(
𝟐
𝟑𝒙 𝟐
)
−𝟑
= (
𝟑𝒙 𝟐
𝟐
)
𝟑
=(
𝟑𝒙 𝟐
𝟐
) (
𝟑𝒙 𝟐
𝟐
) (
𝟑𝒙 𝟐
𝟐
) =
27𝑥6
8
Finalmente:
𝒙−𝒏
=
𝟏
𝒙 𝒏 Si 𝑥 ≠ 0 , 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: (
𝑥
𝑦
)
−𝑛
= (
𝑦
𝑥
)
𝑛

(
𝟐
𝟑𝒙 𝟐
)
−𝟑
= (
𝟑𝒙 𝟐
𝟐
)
𝟑
=
27𝑥6
8
Ejercicis:
Desarrolla las potencias negativas de los siguientes ejercicios de manera
grupal.
Desarrolla las potencias negativas de los siguientes ejercicios de manera
individual.
Ejercicio Inversa Desarrollo Resultado
1. (
3
2
𝑥2
)
−2
2. (4𝑥)−3
3. (
2𝑥3
3𝑦2)
−2
4. (−3𝑥)−4
5. (
2𝑥2 𝑦3 𝑧2
6𝑥3 𝑦5 𝑧4
)
−2
Ejercicio Inversa Desarrollo Resultado
1. (−
1
2
𝑥2
)
−3
2. (2𝑦3)−3
3. (
3𝑥
5𝑦
)
−2
4. (
𝑥
𝑦
)
−1
5. − (
𝑤
3𝑧
)
−3

3 EXPONENTE CERO.
Toda base elevada a la cero potencia es igual a 1.
Ejemplo 1:
Desarrolle (−2𝑥6)0
:
Aplicando el teorema 𝑎0
= 1 , independientemente de la base si el exponente
es cero la respuesta es 1.
(−2𝑥6)0
=1
Finalmente:
(−2𝑥6)0
=1
Ejemplo 2:
Desarrolle −3(9𝑦7)0
:
Aplicando el teorema 𝑎0
= 1; (9𝑦7)0
= 1 , por lo tanto:
−3(9𝑦7)0
= −3(1) = −3
Finalmente:
−3(9𝑦7)0
= −3
𝑥0
= 1 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛,
𝑥 𝑛
𝑥 𝑛 = 1; 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎
𝑥 𝑛
𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛−𝑛
= 𝑥0
= 1

Desarrolla la potencia cero de los siguientes ejercicios de manera grupal.
Desarrolla la potencia cero los siguientes ejercicios de manera grupal.
1. (−
2𝑥3
3
)
0
2. 7(𝑥2
𝑦6
)0
3. (2𝑥9
)0
4. (
𝑥
4
2
)0
5. −15(𝑥𝑦7
) 0
1. (
3
2
𝑥2
)
0
2. 3 (4𝑥)0
3. −2 (
2𝑥3
3𝑦2)
0
4. (−3𝑤)0
5. 4 (
4𝑥7 𝑦3 𝑧2
7𝑥3 𝑦5 𝑧4)
0

CECyTE BC Álgebra Guía

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (13)

Destacado

Destacado (9)

Similar a CECyTE BC Álgebra Guía

Similar a CECyTE BC Álgebra Guía (20)

Último

Último (20)

CECyTE BC Álgebra Guía