notacion sigma

1. Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a
finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que
desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con
la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente
una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a
ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e
ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en
un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en
pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer
nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de
las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral
curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de
integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del
plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un
trozo de una superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental
en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral
surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel
importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las
del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la
teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue
desarrollada por Henri Lebesgue.
Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real,
laintegral
es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje ,
y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo

2. del eje .
Primer Teorema fundamental del cálculo.
Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se
define F para cadax de [a, b] por
entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b],
entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).
Segundo teorema fundamental del cálculo.
• Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es
una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es
una primitiva de f), entonces
Propiedades de la integral definida
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de
dichas funciones:
La integral del producto de un número real por una función es igual al
producto de por la integral de dicha función:

3. En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el
limite inferior de integración y
Si hacemos en la igualdad anterior se tiene que
como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la
conclusión de que
para cualquier número real .
Dados tres números reales cualesquiera, se tiene que:
Si en el intervalo la función es mayor o igual que la función entonces
En particular, si , entonces
Analogamente, si , entonces
Si en el intervalo la función es mayor que la función entonces

4. En particular, si , entonces
Analogamente, si , entonces
Notación Sigma
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales,
complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número
infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión:
Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la
notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se
denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S
de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:
La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k
es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la
ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las
expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

5. En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica
que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área
bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar elTeorema
fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del
matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de
rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los
rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es
que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Definición
Consideremos lo siguiente:
• una función
donde D es un subconjunto de los números reales
• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
• Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2...
< xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn­1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de
Riemann def sobre I con la partición P se define como
donde xi­1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi­1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann
por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la
derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la
llamada suma trapezoidal.