1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
NOTACION SIGMA
INTEGRAL DEFINIDA
Iván Andrés Gobbo Vivas

2. GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866). Gran matemático alemán.
Realizó numerosas contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más
conocidas en Geometría no Euclídea, ecuaciones diferenciales y teoría de números. Sus
hallazgos fueron fundamentales para el desarrollo posterior de la Teoría Especial de la
Relatividad de Einstein.
Cuando hemos hablado del Cálculo como rama de las matemáticas, hemos mencionado
varios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el
problema del área de una región plana. A lo largo de estas páginas pretendo introducir
el concepto de integral definida como instrumento fundamental para el cálculo de dicha
área. Comenzaremos con el concepto de sumatorio y la notación sigma Σ (debe su
nombre a la letra griega con la que se representa) para expresar estos sumatorios.
Por ejemplo si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales
podemos hacerlo así en notación sigma:
La letra i recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límites
inferior y superior de la suma y tienen que cumplir que:
límite inferior <= límite superior
variable, el resultado de la integral definida es una función).

3. Propiedades de la notación sigma

4. Integral definida
Si f(x) está definida en el intervalo [a,b] (única condición impuesta por Riemann,
puesto que ahora la definición de Integral definida va a ser mucho más amplia
que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva) Y existe el límite
Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y lo escribimos
A a y b se le llaman límites inferior y superior de integración.
En la práctica, el cálculo de las integrales definidas se basa en el Teorema
fundamental del Cálculo (descubierto por distintos caminos por Newton y Leibniz).
Este teorema viene a decir que la derivación y la integración son operaciones
inversas y que para calcular la integral se realiza una antiderivación que consiste
en hallar una función primitiva F(x) de aquella a la que se le quiere calcular la
integral f(x).
La integral definida da como resultado un número mientras que la integral
indefinida da como resultado una función. (Aunque si el límite superior de
integración es una
Teorema fundamental del cálculo:
El nombre de esta notación se denomina de la letra El teorema fundamental del
cálculo consiste en la griega: (Sigma mayúscula, que corresponde a afirmación de
que la derivación e integración de una nuestra S de "suma"). Función son
operaciones inversas. La notación sigma: Esto significa que toda función continua
integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este
teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis
matemático o cálculo.

5. El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas
-integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las
matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía
desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII
y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas
como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia
ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una
función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la
integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en
ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la
integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser
integrada.