Flujo haciazanjas pozos-1

Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías
Geotecnia para Hidráulica
Flujo hacia zanjas - pozos
Prof. Silvio Rojas
Septiembre, 2009

A la memoria del Profesor
Juan Francisco Lupini Bianchi
Prof. Silvio Rojas

Geotecnia para hidráulica
I.- FLUJO PROVENIENTE DE UNA LINEA FUENTE DE FILTRACIÓN
I.1-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN TOTAL
I.1.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano
Línea fuente
Prof. Silvio Rojas

Para flujo estacionario (flujo establecido de bombeo), se plantea:
Línea fuente
Donde:
Q: Caudal de bombeo proveniente del estrato confinado
k: Permeabilidad del estrato arenoso
i:Gradiente de la superficie de abatimiento debido al bombeo (extracción del caudal Q)
dh: Variación de la carga en un diferencial de longitud dy
D: Espesor del estrato confinado
x: Longitud de zanja considerada
D.x: Area de filtración considerada hacia la zanja, en el acuifero confinado.
Prof. Silvio Rojas

H:Carga total disponible en la línea fuente, antes del abatimiento (carga
correspondiente al acuifero confinado).
L: Longitud de influencia en el abatimiento del nivel piezométrico inicial, por el
bombeo establecido en la zanja.
h: Carga total en el estrato de arena, a una distancia "y" de la zanja y dentro de la
zona de influencia del bombeo.
hw: Altura de agua establecida dentro de la zanja para flujo estacionario.
Prof. Silvio Rojas

Integrando entre las condiciones de borde, establecidas en la figura 1, resulta:
Resolviendo la ec. 2:
Veamos la expresión de la carga a la
distancia "y" a partir de la zanja:
Resolviendo la ec. 4: Sustituyendo la ec. 3 en
la ec. 5, se tiene:
despejando la carga "h", se
escribe:
Esta ec. 6, define la geometría de la línea
piezométrica abatida por el establecimiento
del bombeo. Prof. Silvio Rojas

Para obtener la expresión de "h",
también se puede integrar entre:
Sustituyendo la ec. 3 en la ec. 8:
Despejando "h", se obtiene:
Esta ec. 9 es equivalente a la ec. 6, y también define la geometría de la línea
piezométrica abatida por el establecimiento del bombeo.
Prof. Silvio Rojas

¿Qué expresiones se obtienen, si se considera que el flujo es
turbulento a través del estrato de arena confinado?
M. Anandakrishnan and Varadarajalu (1963)
Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division
Proceedings of the American Society of Civil Engineers
SM 5
"Laminar and Turbulent Flow of Water Through Sand"
donde:
v: Velocidad del flujo a través del suelo
k´: Coeficiente de flujo turbulento
n: Exponente turbulento
i: Gradiente hidráulico.
De la ec. 10, se obtiene la velocidad "v":
Prof. Silvio Rojas

Sabiendo que la expresión del caudal de infiltración es el producto de la
velocidad por el área, se tiene entonces que para es te caso de flujo
turbulento artesiano, la expresión del caudal será será:
Sustituyendo la expresión del gradiente, la ec. 12, queda:
Ordenando términos e integrando, resulta:
Expresión del caudal para flujo turbulento
Prof. Silvio Rojas

Para la expresión de la línea de abatimiento cuando se considera, flujo
turbulento se plantea:
Igulando la ec. 16 y la ec. 18, se escribe:
La ec. 20 es la misma ec. 6 correspondiente a flujo laminar. Significa que la
turbulencia no tiene influencia en el abatimiento de la línea piezométrica. Sin
embargo la turbulencia debe ser determinante en la longitud "L" y la altura de
agua dentro de la zanja.
Prof. Silvio Rojas

I.1.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional
Línea fuente
Observaciones:
1.- Las equipotenciales no son verticales
2.- Las líneas de corriente no son horizontales
3.- El gradiente no es constante con la profundidad. Sin embargo se aplica que el
gradiente se expresa como:
Prof. Silvio Rojas

4.- La altura de agua en la zanja (hw), no coincide con la altura de la
superficie de abatimiento del N.F (superficie piezométrica). Entonces se
observa que existe una supercie libre de filtración.
Consideremos que "hw" coincide con la superficie de abatimiento una vez
establecido un flujo estacionario por bombeo a través de la zanja:
Donde:
Q: Caudal de bombeo proveniente del acuifero libre
k: Permeabilidad del estrato arenoso
i:Gradiente de la superficie de abatimiento debido al bombeo (extracción del cuadal
Q)
dh: Variación de la carga en un diferencial de longitud dy
h: Carga total en determinada sección y que determina el área de filtración hacia la
zanja
x: Longitud de zanaja considerada
h.x: Area de filtración considerada hacia la zanja, en el acuifero libre. Prof. Silvio Rojas

H:Carga total disponible en la línea fuente, antes del abatimiento (carga
correspondiente al acuifero libre).
L: Longitud de influencia en la rebaja del N.F, por el bombeo establecido en
la zanja.
h: Carga total en el estrato de arena a una distancia "y" de la zanja y dentro
de la zona de influencia del bombeo.
hw: Altura de agua establecida dentro de la zanja para flujo estacionario.
Integrando la ec. 21, se tiene:
Carga a la distancia "y" a partir de la zanja:
Resolviendo la ec. 4:
Igualando la ec. 23 en la ec. 25:
Prof. Silvio Rojas

Esta define la geometría de la línea
piezométrica abatida por el establecimiento del
bombeo. Sin embargo ella debe ser corregida
por la altura (hs) de la superficie de infiltración
libre indica en la fig. 2.
La expresión definitiva será:
Corrección de h por la altura
Para obtener la expresión de "h", también se puede integrar entre:
Sustituyendo la ec.23 en la ec. 28:
(hs) de la superficie de
infiltración
Prof. Silvio Rojas

Despejando "h", se obtiene:
Esta ecuación, también debe ser corregida por la altura
(hs) de la superficie de filtración libre.
Esta ec. 29 es equivalente a la ec.
26, para determinar la línea de
abatimiento del N.F en el caso de
acuiferos libres.
¿Qué expresiones se obtienen, si se considera que el flujo es
turbulento a través del estrato de arena confinado?
Ecuación que representa la velocidad del flujo
turbulento en la masa de suelo.
Para el caso de flujo gravitacional, la ec. 13 se modifica encuanto al area de filtración
en el estrato, resultando:
Ordenando términos e integrando, resulta:
Prof. Silvio Rojas

La expresión del caudal será:
Caudal cuando se considera, flujo
turbulento:
Igualando la ec. 33 y la ec. 35, se escribe:
Prof. Silvio Rojas

Línea de abatimiento
cuando se considera
flujo turbulento
Corriendo por la altura de filtración en la zanja, se tiene:
La ec. 38 no es la misma ec. 29 o 26 correspondiente a flujo laminar. Significa que
la turbulencia tiene influencia en el abatimiento de la línea piezométrica.
Gráfica para flujo
gravitacional en zanjas
de penetración total,
para determinar la
altura de la superficie
de filtración.
L / H
hw / H
hs / H
Prof. Silvio Rojas

I.1.3- Flujo artesiano y Flujo gravitacional
Línea fuente
Se estudia el caso de un acuifero confinado, pero donde la altura de agua (hw) en
la zanja que se establece, debido al bombeo, alcanza una altura menor al espesor
(D) del estrato confinado de arena.
Prof. Silvio Rojas

Línea fuente
La red de flujo en la figura 3, indica que cerca de la zanja se presenta flujo
gravitacional y a cierta distancia de la zanja ya el flujo se hace artesiano. Se
considera que el punto donde la curva de abatimiento del nivel piezométrico
intersecta la línea de estratificación, que separa el estrato permeable del
impermeable, es donde existe el cambio de artesiano a gravitacional. Este punto
está ubicado a partir del borde de la zanaja con la distancia Li.
Caso artesiano
En este caso la carga varía entre h=D y h = H, entre las distancias y= Li, y=L,
respectivamente.
Prof. Silvio Rojas

Caso gravitacional
En esta caso la carga varía entre h=hw y h=D, entre las distancias y=0 y y=Li,
respectivamente.
Distancia Li
De la ec. 40 y 42, se determina la longitud "Li":
Expresión del caudal
La sustitución de la ec. 44 en 42, resulta:
Prof. Silvio Rojas

Altura piezométrica para el caso artesiano ( distancia "y" entre y=Li, y= L)
Igulando la ec. 40 y la ec. 46, resulta:
Prof. Silvio Rojas

Altura piezométrica para el caso gravitacional (distancia "y" entre y = 0,
y = Li)
Igualando la ec. 42 y la ec. 49, resulta:
Corrigiendo por superficie libre de filtración
Prof. Silvio Rojas

I.2-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN PARCIAL
I.2.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano
Generalmente este caso
se presenta, debido a
que el espesor del
estrato permeable es
considerable, y
Línea fuente
mecánicamente es
costoso la penetración
completa del estrato.
Cuando la zanja es de penetración parcial, la carga hidráulica residual
"hd" aguas abajo de la zanja, a una distancia EA de la zanja, es mayor
que la altura "hw" dentro de la zanja.
Prof. Silvio Rojas

Caudal hacia la zanja se determina a través de:
Comentario (s.r)
Es un planteamiento para llegar a la ec. del autor
La carga "hd" aguas abajo viene dada por se obtiene a través de:
Comentario (sr)
Sustituyendo ec. 52 en 54:
Prof. Silvio Rojas

La distancia EA se estima de la figura:
Fig. Flujo
artesiano
para una
zanja de
penetración
parcial
Poca la diferencia
W: Penetración del pozo en
el acuifero confinado.
b: Ancho zanja.
desde una
línea fuente.
Comentario (sr)
El bombeo que extrae el caudal "Q“ a través de la zanja, produce tanto la curva de
abatimiento a la derecha de la zanja, como la curva de abatimiento a la izquierda.
Por tanto se puede plantear:
Prof. Silvio Rojas

Sustituyendo 52, 55 y 55, en 57, resulta:
¡Es un
planteamie
nto de este
desarrollo!
¡Es un planteamiento de este
desarrollo!
Prof. Silvio Rojas

I.2.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional
El flujo y descenso del nivel del agua, causado por el bombeo en una zanja
de penetración parcial en un estrato permeable, el cual es alimentado por
una línea fuente, es mostrado en la figura 5.
Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman ( ):
Lo indicado son los
resultados del modelo
estudiado por Chapman,
válido para:
Línea
fuente
Lo cual comprende el rango de la
mayoría de los problemas
Prof. Silvio Rojas

El caudal hacia la zanaja puede ser determinado por:
La máxima carga aguas abajo de la zanja, puede ser obtenida por:
Comentario (sr)
Estimando los flujos por la derecha y por la izquierda, se tiene:
¡Es un
planteamiento de
este desarrollo!
¡Es un
planteamient
o de este
desarrollo!
Prof. Silvio Rojas

II.- FLUJO PROVENIENTE DE DOS LINEAS FUENTES DE FILTRACIÓN
II.1-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN TOTAL
Generalmente el flujo hacia zanjas de longitud infinita se origina de dos
líneas fuentes.
Si se considera que la zanja está ubicada simetricamente y paralela
respecto a las dos líneas fuentes, el flujo hacia la zanja se estima
como dos veces el correspondiente a una sola línea fuente.
II.1.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano
Para una línea fuente las
expresiones fueron:
Para dos líneas fuentes, será:
Prof. Silvio Rojas

II.1.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional
Para una línea fuente:
Para dos líneas fuentes:
Prof. Silvio Rojas

II.1.3- Flujo artesiano y Flujo gravitacional
Comportamiento del caso artesiano
Comportamiento del Caso gravitacional
Prof. Silvio Rojas

Distancia Li
De la ec. 40 y 42, se determina la longitud "Li":
Expresión del caudal
La sustitución de la ec. 44 en 42, resulta:
Para dos líneas fuentes:
II.2-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN PARCIAL
El bombeo en zanjas de penetración parcial de gran longitud, en estratos
permeables, será simétrico con respecto a la zanja y puede ser considerado como el
originado por dos líneas fuentes equidistantes y paralelas a la zanja.
Prof. Silvio Rojas

II.2.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano
Caudal hacia la zanja se determina a través de:
:Factor el cual depende de la relación entre W/D.
Prof. Silvio Rojas

Para zanjas de penetración parcial, flujo
artesiano.
Se considera que para distancias mayores de 1.3D, la carga "h" incrementa linealmente,
y se calcula a partir de:
Para y>1.3D
Para y<1.3D, existe convergencia de flujo hacia la zanja, y el problema se resuelve
a través de la red de flujo. Aquí ya la carga "h" no varía linealmente con "y".
Prof. Silvio Rojas

Para y<1.3D
En este caso el caudal será:
donde:
h representa pérdida de carga en la zona.
Prof. Silvio Rojas

II.2.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional
El flujo y descenso del nivel del agua, causado por el bombeo en una zanja
de penetración parcial en un estrato permeable, el cual es alimentado por
dos líneas fuente, es mostrado en la figura 10.
Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman ( ):
Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman, válido para:
Lo cual comprende el rango de la mayoría de los problemas
Prof. Silvio Rojas

El caudal hacia la zanja proveniente de una línea fuente paralela
se determinó a través:
Para dos fuentes lineales:
La ec. (60) de Chapman, para flujo gravitacional proveniente de una línea
fuente en zanja de penetración parcial, el flujo pasó por debajo de la zanja
y penetró aguas abajo de la zanja. Por tanto la ec. 70 para flujo simétrico
respecto a la zanja no es exacto.
Prof. Silvio Rojas

II.3-FLUJO HACIA DOS ZANJAS DE PENETRACIÓN PARCIAL
UBICADAS EQUIDISTANTES DEL CENTRO Y PARALELAS A DOS
LINEAS FUENTES
II.·3.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano
Se rebaja el nivel piezométrico del acuifero artesiano en una cierta longitud de
excavación (2l), lo cual se realiza con dos líneas de tubos filtrantes de penetración
parcial, espaciados cerradamente y simulados por dos zanjas como se muestra en la
fig. 11. Se considera que el flujo es simétrico hacia las zanjas, y por tanto se estima
que es originado por dos fuentes lineales ubicadas a la misma distancia de las
zanjas.
Prof. Silvio Rojas

El caudal hacia las zanjas se estima por:
Para una fuente lineal:
Para dos fuentes lineales:
La carga "hd" en el centro de la excavación, puede ser estima a través de:
AL estimar la carga en este
caso a través de la ec. 53,
se está considerando que
las zanjas están lo
suficientemente separadas,
de manera que no existe
interferencia en la
distribución de las presiones
de una zanja respecto a la
otra. Si las zanjas están
próximas el estimado de
"hd" es conservador.
Prof. Silvio Rojas

II.·3.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional
Para hacer las estimaciones del caudal y carga, se aplicará
el modelo de Chapman, válido para:
La rebaja del nivel freático está hecho por las dos líneas de tubos filtrantes de
penetración parcial, cerradamente espaciados, equidistantes del centro de la
excavación, simuladas por dos zanjas y donde se considera además que ambas
líneas son alimentadas por dos fuentes lineales paralelas a las zanjas.
Prof. Silvio Rojas

La carga "hd" en el centro de la excavación se estima a través de:
donde:
C1, C2: constantes obtenidas de las figuras indicadas abajo.
El caudal hacia las zanjas se estima por:
Para una línea fuente.
Para dos líneas fuentes
Constantes para corregir el
flujo hacia dos zanjas de
penetración parcial en
acuiferos gravitacional.
Prof. Silvio Rojas

IV.- CORRECCIÓN A UN SISTEMA DE POZOS REMPLAZANDO ZANJAS
Engelud, demostró que a la reducción de la carga en zanja, simulando un
sistema de pozos, debería corregirse cuando se utiliza un grupo finito de
pozos, remplazando la zanja. El procedimiento de Engelud, fue
desarrollado para sistema de pozos de penetración total; ellos pueden ser
extendidos para aplicar a pozos de penetración parcial.
Fig. 13.- Lïnea
de pozos de
penetración
total
representando
a una zanja, en
IV.1-FLUJO ARTESIANO
el caso de flujo
artesiano. La fig
13a muestra la
planta, fig. 13b
se ilustra el
perfil a lo largo
de la hilera de
pozos y la fig.
13c, se indica el
corte desde la
fuente al
sistema de
Prof. Silvio Rojas pozos.

Algunas observaciones:
1.- Considere una línea
infinita de pozos de
penetración total
separados a una
distancia "a"
distancia "L" de la fuente a la hilera de
pozos
2.- La línea de
pozos están
alimentados por
una línea fuente de
longitud infinita.
la carga
media "hm" el
punto medio
entre pozos
carga "hw"
dentro de
cada pozo
carga "hd" aguas
abajo de cada pozo.
Prof. Silvio Rojas

Si los pozos son remplazados por una zanja de penetración total de
long. infinita, entonces la reducción de la línea piezométrica del
acuifero artesiano en una longitud de zanja "a", se estima a través
de la ec. 3, resultando:
donde:
H: Carga total en la línea fuente
hw: Carga en el centro de la zanja.
Qw: Caudal hacia la zanja de longitud "a".
Todos los demás se conocen.
Sin embargo existe una pérdida de carga adicional en el caso de los pozos debido
a la convergencia del flujo hacia los pozos. Esta pérdida de carga adicional se
estima, a través de las siguientes expresiones:
IV.1.1.- Correcciones para transformar la estimación referidas a zanjas en
estimaciones referidas a pozos:
Para el centro del pozo de penetración total:
Prof. Silvio Rojas

Para el centro del pozo de penetración parcial:
donde:
rw: Radio efectivo del pozo.
a: Espaciamiento de los pozos.
qa: Factor de corrección (fig. )
En el medio de entre pozos de penetración total:
En el medio de entre pozos de penetración parcial:
donde:
qm: Factor de corrección (fig. )
Aguas abajo del pozo de penetración total:
Prof. Silvio Rojas

Aguas abajo del pozo de penetración parcial:
IV.1.2.- Abatimiento en pozos y cargas en pozos
Ahora se aplicará las correcciones a los abatimientos correspondientes a las zanjas
para estimar los abatimientos t cargas en pozos.
Nota: A partir de este punto el caudal Qw, ya está referido al caudal del pozo de
bombeo.
Para el centro del pozo de penetración total:
Aplicando la ec. 75 a la ec. 74, se tiene:
Abatimiento correspondiente a un pozo de bombeo
Carga en el pozo de bombeo
Prof. Silvio Rojas

Para el centro del pozo de penetración parcial:
Aplicando la ec. 76 a la ec. 74, resulta:
comentario(sr):
Para pozos de penetración
parcial en flujo artesiano, el
caudal se expresaba, como:
comentario(sr): ¿Se le debe sumar EA a
la long. L?
Abatimiento correspondiente al centro del pozo de bombeo
Carga en el pozo de bombeo
En el medio de entre pozos de penetración total:
Carga "hm"
La encontrar "hm", a la altura "hw" de la ec. 82, se le suma la corrección Dhm de la
ec. 77
Prof. Silvio Rojas

Sustituyendo las expresiones mencionadas
Desarrollando:
hm...h.8.D()m.w5.....
En el medio de entre pozos de penetración parcial:
La encontrar "hm", a la altura "hw" de la ec. 84, se le suma la corrección Dhm de la
ec. 78
Sustituyendo las ecuaciones mencionadas en 85, se tiene:
Prof. Silvio Rojas

Aguas abajo del pozo de penetración total:
Carga "hd"
La encontrar "hd", a la altura "hw" de la ec. 82, se le suma la corrección
Dhd de la ec. 80
Sustituyendo:
Se observa que la carga aguas abajo de la zanja
es la misma hw de la ec 74, correspondiente a
zanjas.
Al comparar las cargas hw, hm y hd,
determinadas con las ecuaciones 82, 86 y 90,
para pozos de pemetración total, se observa
que: hw < hd < hm
La ec. 88 y 89, son equivalentes, por tanto:
Prof. Silvio Rojas

De la ec. 90, se tiene:
Combinando la ec. 91 y 92:
Aguas abajo del pozo de penetración parcial:
Carga "hd"
La encontrar "hd", a la altura "hw" de la ec. 84, se le suma la corrección de la ec. 80
Sustituyendo en la ec. 88, resulta:
La misma ec. 90, y valen los comentarios hechos
anteriormente.
De la ec. 94, se tiene:
Prof. Silvio Rojas

Relacionando 96 y 97, se tiene:
Fig. 14.- para obtener los factores de
corrección
Prof. Silvio Rojas

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