Proyecto Vinculación UTE SCJ

1. LOS NÚMEROS IRRACIONALES Y PITÁGORAS
“Los filósofos pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y fueron
los primeros en hacerlas progresar […] Supusieron que las cosas existentes
son números –pero no números que existien aparte, sino que las cosas
están realmente compuesta de números-, es decir, los elementos de los
números son los elementos de todos los seres existentes y la totalidad del
universo es amonía y número. Su razón consistía en que las propiedades numéricas eran
inherentes a la escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas”.
En el siglo V a.c. los griegos pitagóricos descubrieron con gran sorpresa que, además de los
Números Naturales y de los Números Fraccionarios, existía otro tipo de número: el Número
Irracional.
Hasta entonces pensaban que todo el universo se regía por los Números Naturales y las
Fracciones, pero se dieron cuenta que hay pares de segmentos, como la diagonal y el lado de
un pentágono regular o como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes
no es una fracción. Les pareció que el caos asomaba a su mundo y llamaron a tal relación
ahogos o irracional.
La Espiral de Teodoro
Construida por Teodoro de Cirene, alumno de
Pitágoras, la espiral se genera a partir de un triángulo
rectángulo isósceles de catetos con longitud igual a la
unidad, formando sucesivos triángulos rectángulos con
sendos catetos formados por la hipotenusa anterior y la
unidad.
Mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras,
en esta serie de triángulos rectángulos que forman la
Espiral de Teodoro, se puede representar las raíces de
los números naturales. Teodoro de Cirene que vivió en el
siglo IV antes de cristo fue maestro de Platón y fue el
primero en demostrar, a través de su espiral, que las
raíces de los números naturales no cuadrados, eran
números irracionales.
En las imágenes se puede apreciar la espiral de Teodoro
conocida también como: caracola pitagórica, espiral
pitagórica, espiral de Einstein. Figura 1 Espiral de Teodoro
La figura 2 muestra la construcción de la espiral con tres revoluciones, por otra parte en la
figura 3 se encuentra ilustrado además triángulos especiales llamados triángulos cuadráticos

2. Figura 2. Espiral de Teodoro construida en goegebra Figura 3 Espiral Pitagórica y triángulos cuadráticos
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo ACB, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
La máximas de los Pitagóricos era “Todo es número”
explicaban el universo a través de ese principio.
“Cierto día, Hipaso de Metaponto, destacado miembro de la secta pitagórica, se puso a jugar
con el teorema de su maestro para calcular la diagonal de un cuadrado. Le movía la inquietud
habitual: el ansia de conocimiento. Los cuadrados eran figuras muy simples y, curiosamente,
nadie que Hipaso conociera se había molestado en calcular su diagonal y comprobar si su
resultado aportaba alguna cosa al gran edificio de las matemáticas.[…] .
Como buen seguidor de Pitágoras, Hipaso buscaba demostraciones universales, y para hacer
fácil el asunto del cuadrado, decidió que su lado media sencillamente 1.
El resultado fue √2 , una solución que derrumbó por competo los principios más básicos del
pitagorismo porque no era una fracción.”
Los Pitagóricos no reconocía a éste objeto matemático √2 como un número,… su mundo se
venía abajo.
“Cuenta la leyenda que el hallazgo de Hipaso no fue un problema de forma inmediata porque
los pitagóricos acabaron con el matemático tirándolo al agua en un viaje en barco.”

3. La diagonal de un cuadrado de lado 1 tiene por longitud √2
El símbolo de la estrella pentagonal, llamado pentalfa, fue el distintivo de los pitagóricos, y
servía para identificar a los miembros de su asociación secreta. Para ellos la péntada, es decir
de cinco, era el número de la armonía en la salud y la belleza, pues suponía una equilibrada
combinación del dos, el primer número par, o diada, y el tres, el primer impar completo, la
tríada.
El pentalfa sería símbolo de salud del cuerpo humano.
Referencias:
Alsina, V. (2011). La secta de los números. RBA Coleccionales, S.A. España
Corbalán, F.( 2010). La proporción áurea. RBA Coleccionales, S.A. España
Zapata, F. (2013).Los números que los Pitagóricos ocultaron.Revista Iberoamericana de
Educación Matemática Nº36 pag 109-121