1. ´
Proyecto de Investigacion MAT024
La Genkidama de Gok´
u
Pablo Alvarez Humberto Leiva Sebasti´n Marquez
a
2921037-3 201041009-9 2921038-1
Sebasti´n Sanhueza
a Andr´s Ulloa
e
201004002-k 201021003-0
Paralelo: 5
Profesor: Rodrigo Meneses
24 de julio de 2012
1

2. 1. Introducci´n
o
El planeta tierra se encuentra bajo amenaza, el malvado Freezer intenta destruirla, pero Gok´ est´ para
u a
defenderla y con la energ´ de todos ha preparado una Genkidama para derrotar a Freezer.
ıa
Pero no todo es tan f´cil, Gok´ se encuentra en problemas, el viento no lo deja encontrar la forma de lanzar
a u
la gigantesca esfera de energ´ sobre Freezer, por esto nos ha llamado, la Genkidama es la ultima opci´n y no
ıa ´ o
puede fallar, necesita de toda la ayuda cient´
ıfica que le podamos brindar para encontrar la manera adecuada
de lanzar la Genkidama.
Para esto, debemos utilizar nuestros conocimientos de MAT024 y encontrar la velocidad y direcci´n o
correctas para que lanze la Genkidama, no sea desviada del objetivo por la fuerza producida por el viento y
llegue con la velocidad suficiente para destruirlo.
2

3. 2. Condiciones del problema
En el campo de batalla, existe la presencia de un viento constante, que modelaremos como un campo
vectorial con wx = 20, wy = 15, wz = 0.
3
w = (−wx , −wy , −wz ), ∀(x, y, z) ∈
Figura 1: Viento V
Consideraremos adem´s las posiciones iniciales de Goku y de Freezer en 3 donde Goku estar´ en el punto
a a
(-100,0,0), la Genkidama en el (0,0,0) y Freezer en el (1050, 800, 300).Estos ultimos 2 puntos son los que
´
nos interesar´n. Adem´s, la Gnekidama deber´ llegar antes de 1s a la posici´n de Freezer, para evitar que la
a a a o
esquive.
Tambi´n consideraremos que siempre que exista arrastre, ´ste ser´ en presencia de un flujo turbulento,
e e a
adem´s la Genkidama no tendr´ rotaci´n sobre si misma.
a a o
3

4. Habr´ 2 Fuerzas actuando sobre la Genkidama, con
a
Fa = Fa (t), vx = vx (t), vy = vy (t), vz = vz (t)
Fuerza gravitacional Modelada como
ˆ
Fg = −mg k (1)
Fuerza de arrastre Producida por un fluido (quieto) sobre un cuerpo que produce un flujo turbulento del
fluido al pasar por ´ste: 1
e
vx vy vz 2 ˆ
Fa = − Kvx ˆ + −
2
i Kvy ˆ + −
2
j Kvz k (2)
|vx | |vy | |vz |
2.1. Constantes y par´metros
a
De aqu´ en adelante, para simplificar la escritura se usar´n las siguientes notaciones.
ı a
m
g=9.8 s2 , acelereaci´n de gravedad.
o
m=25.294.627kg, masa de la Genkidama 2 .
3
Cd = 0, 4 , constante de arrastre
A=7853m2 , ´rea transversal de la Genkidama.
a
kg
ρ=1,18 m3 , densidad del aire a 25 ◦ C.
Vox,oy,oz m , componentes x, y, z de la velocidad inicial.
s
vx,y,z m , componentes x, y, z de la velocidad.
s
wx,y,z m , componentes x, y, z del viento.
s
1
K= ρCd A
2
1 En la secci´n 2.1 se define K.
o
2 Datos obtenido de Tarea previa certamen 1 FIS130 semestre 2-2012
3 Valor aproximado de la constante para un cuerpo de geometr´ esf´rica inmersa en un fluido, a velocidad suficientemente
ıa e
alta para producir un flujo turbulento de ´ste.
e
4

5. 2.2. Visi´n General
o
2.2.1. Movimiento y velocidad en x e y
Para el caso del movimiento en x e y respecto a t, por simple sentido com´n esperar´
u ıamos que si ini-
cialmente no hay una velocidad, el objeto que tenemos sea arrastrado con una velocidad igual o menor que
la velocidad del viento ya que no existe ninguna otra fuerza que pueda cambiar la velocidad del objeto. Un
caso diferente ser´ si tenemos una velocidad inicial, ya que el aire se opondr´ al movimiento de nuestro
ıa a
objeto, y por (2) vemos que lo desacelerar´ seg´n el cuadrado de su velocidad. Gr´ficamente esperar´
ıa u a ıamos
un comportamiento de este estilo en cuanto a las posiciones, velocidades y fuerzas en x e y en el tiempo.
Figura 2: Gr´ficos esperados para vx , vy
a
Figura 3: Fuerzas esperadas en x e y
Figura 4: Vista superior de la trayectoria de la Genkidama
5

6. 2.2.2. Movimiento y velocidad en z
Para el comportamiento en z se esperar´ que la posici´n de la Genkidama vaya en aumento y luego
ıa o
de un tiempo, si es que a´n no ha alcanzado el objetivo comienze a bajar (ver Fig.5). Esto debido a que
u
su velocidad es constantemente reducida por acci´n de la gravedad y del arrastre, luego de alcanzar la
o
altura m´xima (velocidad cero, ver Fig.6) y comenzar a descender, sigue siendo acelerado hacia abajo por
a
la gravedad, pero la fuerza de arrastre cambia su sentido puesto que cambia el sentido del movimiento del
objeto (ver Fig.7), esto ocurre hasta que la fuerza de arrastre es igual y opuesta a la fuerza gravitacional, y
se dice que el objeto alcanza su velocidad terminal (ver Fig.6).
Figura 5: Posici´n en z vs t
o Figura 6: Velocidad en z vs t
Figura 7: Fuerza de Arrastre vs t Figura 8: Fuerza de gravedad vs t
6

7. 2.2.3. Modelamiento del fen´meno
o
Como ya tenemos una idea de las trayectorias podemos continuar. Nuestro objetivo general es encontrar
lo siguiente:
1. Campo de fuerzas F que act´an sobre la Genkidama. Ver si F es un campo conservativo o no (por
u
intuici´n se espera que no lo sea puesto que el arrastre no es amigo de la conservaci´n energ´tica).
o o e
2. Trabajo Realizado por F sobre la Genkidama.
3. Velocidad inicial necesaria para alcanzar el objetivo.
3. C´lculos
a
En esta secci´n se pondr´n los c´lculos realizados, con el m´
o a a ınimo desarrollo puesto que el objetivo no es
aburrir al lector, sumado a que la mayor parte de los c´lculos fueron hechos computacionalmente.
a
3.1. Trabajo del aire y la Tierra sobre la Genkidama
Como F incluye las componentes de fuerza de arrastre y gravitacional, el trabajo del aire y la Tierra sobre
la Genkidama viene dado por:
r1
W = F (t) · r (t)dt
r0
Donde r0 , y r1 son las posiciones de Goku y Freezer respectivamente.
Como se puede apreciar, no es de inter´s encontrar expl´
e ıcitamente la trayectoria de la Genkidama, puesto
que F s´lo depende de la velocidad y por tanto ocurre lo mismo para el trabajo (recordemos que el trabajo
o
es la integral de la potencia, que es igual a Fuerza*Velocidad). Sea
1
Fa = Cd ρAV 2 (−ˆ)
v
2
i j ˆ
Sea V0 = V0 (ˆ) = V0xˆ + V0yˆ + V0z k. Tenemos que para las componentes ˆ ˆ de la trayectoria se tiene:
v i, j
Cd ρA 2 ˆ
a= V (i)
2m
Considerando V0x > 0
dVx Cd ρA
⇒ = (Vx (t))2 (ˆ
i)
dt 2m
Cd ρA
Con Vx (0) = V0x (ˆ Sea k =
i) , 4
entonces la velocidad en ˆ esta dada por:
i
2m
V0x
Vx (t) =
1 + ktV0x
ısticas y condiciones en la direcci´n ˆ por lo tanto:
Similares caracter´ o j,
V0y
Vy (t) =
1 + ktV0y
4 No K
confundir con K, k = m
7

8. ˆ
Ahora para el uso del movimiento en la componente k:
ˆ Cd ρA 2 ˆ
ma = mg(k) + V (k)
2
Considerando V0z > 0
dVz1 ˆ
⇒ = (k(Vz (t))2 + g)(−k)
dt
ˆ ˆ
y Vz (0) = V0z k Entonces la velocidad en k cuando va subiendo es:
g k
Vz1 (t) = − tan( gkt − arctan( V0z ))
k g
La Genkidama alcanza su altura m´xima en el instante:
a
1 k
tmax = √ arctan( V0z )
gk g
Para t > tmax , la direcci´n de la fuerza de roce invierte su direcci´n:
o o
ˆ Cd ρA 2 ˆ
ma = mg(−k) + V (k)
2
dVz2 ˆ
→d = (k(Vz (t))2 − g)(k)
dt
ˆ
Para Vz (tmax ) = 0 Entonces la velocidad en la direcci´n (−k) es de la forma:
o
g √ k
Vz2 (t) = tanh(t gt − arctan( ˆ
V0z ))(−k)
k g
(C´lculos realizados en software Mathematica)
a
Luego los campos de vectores sobre la trayectoria estan definidos por:
(−mk(Vx (t))2 , −mk(Vy (t))2 , −(mg + mk(Vz (t))2 )) ,si t [0, tmax ]
F (x, y, z) =
(−mk(Vx (t))2 , −mk(Vy (t))2 , mk(Vz (t))2 − mg) ,si t [tmax , ∞[
(Vx (t), Vy (t), Vz1 (t)) ,si t [0, tmax ]
V (x, y, z) =
(Vx (t), Vy (t), Vz2 (t)) ,si t [tmax , ∞[
Todo esto suponiendo que V0x , V0y , V0z > 0.
8

9. 4. Resultados obtenidos
Aqu´ mostraremos s´lo los gr´ficos de fuerzas, los otros pueden verse en el archivo .nb anexo al informe.
ı o a
Los valores de los ejes no necesariamente corresponden a los valores del problema. Pero s´ la forma, puesto
ı
que lo unico que cambi´ fueron las constantes utilizadas.
´ o
4.0.1. Gr´ficos en x e y
a
Los gr´ficos de las fuerzas obtenidos, con los c´culos realizados en Mathematica. Para x, tanto como para
a a
y tuvieron la forma esperada.
Figura 9: Fuerza Neta en x vs t
Del gr´fico se puede ver que para el instante cero, la fuerza neta es negativa puesto que la velocidad inicial
a
era positiva, lo que implica que la fuerza de arrastre debe ser negativa para oponerse al movimiento. Adem´s a
se ve que cuando t crece la fuerza tiende asint´ticamente a cero, lo que indica que se alcanza una velocidad
o
terminal. Que en este caso corresponde a la velocidad del viento.
9

10. 4.0.2. Gr´ficos en z
a
Los gr´ficos de las fuerzas obtenidos, para la coordenada z, tienen una forma muy similar a la esperada,
a
tomando en consideraci´n que el gr´fico siguiente es la superposici´n de la fuerza producida por la Tierra y
o a o
la producida por el aire.
Figura 10: Fuerza Neta en z vs t
Del gr´fico se puede ver que para el instante cero, la fuerza neta es negativa por el mismo motivo del
a
punto anterior. Adem´s se ve que cuando t crece existe un instante en que la curva se invierte, este instante
a
corresponde al momento en que la velocidad de la esfera es cero, a diferencia del movimiento en x e y, aqu´ la
ı
fuerza de gravedad sigue moviendo a la Genkidama, lo que hace reaparecer a la fuerza de arrastre ahora
en sentido inverso. Desp´es de eso a medida que la velocidad de descenso aumenta, aumenta tambi´n el
u e
arrastre, hasta el momento en que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza de arrastre, que en el gr´fico
a
ser´ t ≈ 0,9s, instante donde se alcanza la velocidad terminal.
ıa
10

11. 4.1. Trabajo realizado
Para encontrar el trabajo realizado por el aire y la Tierra sobre la Genkidama debemos plantear la
siguiente integral de l´
ınea.
b
W = F (r) · r (t)dt
a
como la integral es una operaci´n lineal, podemos decir que:
o
b b b
W = Fx (x)Vx dt + Fy (y)Vy dt + Fz (z)Vz dt (3)
a a a
Wx Wy Wz
Coordenadas x, y El desplazamiento tanto en x como en y est´ dado por (4), donde T es el momento de
a
impacto deseado (1s en nuestro caso).
T
∆x (t) = Vx (t)dt = Φ(Vox ) (4)
0
Luego, para encontrar Vox basta con despejar Vox tal que:
Φ(Vox ) = Xf − X0
con X0 nuestra posici´n incial, Xf la posici´n final en x donde queremos estar para t = T . Luego de
o o
haber obtenido Vox ya podemos calcular el trabajo.
Por (3) se tiene que:
∞
Wx = Fx (x)Vx (t)dt = ∆ECx
0
An´logo para la coordenada y.
a
Coordenada z El desplazamiento para z viene dado por:
tmax T
∆z = Vz1 (t) dt + Vz2 (t) dt
0 tmax
Siendo Tz el tiempo para el cual se alcanza Zf . El trabajo en z es:
tmax T
Wz = Fz1 (z)Vz1 (t) dt + Fz2 (z)Vz2 (t) dt
0 tmax
Para comprobar el resultado, (mirar archivo mathematica), se debe cumplir que
1 2 1 2
W = m Vf − m V0
2 2
Luego de realizar los c´lculos correspondientes (ver Anexo.np) se obtuvo lo siguiente, con V en coordenadas
a
esf´ricas.
e
V = 1094, 825, 310 W = −2,23 × 1012 − 9,83 × 1011 − 1,247 × 1011 = 4,45 × 1012 J
5
5 En coordenadas esf´ricas V = 1404 m , θ = 37◦ , φ = 77,2◦
e s
11

12. 5. Conclusiones
Al comienzo del proyecto, se pensaba que los contenidos vistos en el MAT024 ser´ el componente
ıan
central de todos nuestro c´lculos, sin embargo, los fen´menos f´
a o ısicos y el modelo matem´tico de ´stos se
a e
convirti´ gradualmente en el nuevo objetivo de nuestros esfuerzos, y el c´lculo de trabajo mediante una
o a
integrales de l´
ınea, por ejemplo, se convirti´ en una peque˜a parte del proyecto. Hubo algunos t´picos que
o n o
tuvimos que estudiar por cuenta propia, ya que no hab´ sido vistos en ning´n ramo, como por ejemplo el
ıan u
comportamiento de un fluido alrededor de un objeto en movimiento.
Pese a que los contenidos de MAT024 no conformaron la mayor parte de la investigaci´n, s´ fueron,
o ı
sumados a todos los contenidos previos estudiados, cruciales para la comprensi´n, y la interpretaci´n del
o o
modelo y los resultados que se iban obteniendo a medida que se avanzaba.
En cuanto los c´lculos realizados es v´lido preguntarse si para toda velocidad el movimiento de la Genki-
a a
dama produc´ un flujo turbulento de aire a su alrededor, o si la trayectoria utilizada se puede despreciar la
ıa
diferencia de la gravedad a distintas alturas. En cuanto a lo primero, si hubi´semos considerado los momentos
e
en que el flujo de aire pasaba de turbulento a laminar o viceversa, hubiesemos necesitados una gran cantidad
de datos experimentales para poder obtener el n´mero de Reynolds y poder hacer un modelo m´s preciso, lo
u a
que implica una gran cantidad de instrumentaci´n de la cual prescind´
o ıamos. Tambi´n hubi´semos necesitado
e e
una Genkidama, lo que no se encuentra todos los d´ en la calle.
ıas
Una pregunta natural que uno se har´ es si la masa de la Genkidama es lo suficientemente grande para
ıa
atraer a la tierra. La respuesta es un casi seguro no, ya que, aunque la masa de la bola es del orden 107 kg,
la tierra tiene una masa del orden de 1024 kg, por lo que cualquier efecto gravitacional provocado por la
Genkidama sobre la tierra se torna despreciable (por suerte), y Gok´, la tierra y todos nosotros seguimos a
u
salvo.
Respecto a los aspectos f´ısicos involucrados, cabe notar lo siguiente:
La ventaja de calcular el trabajo con integral de l´ınea vs la variaci´n de energ´ cin´tica, es que el
o ıa e
par´metro a ocupar es el tiempo, a diferencia de la velocidad inicial y final.
a
El modelo hecho no s´lo es v´lido para la Genkidama, sino que es v´lido para todo cuerpo de geometr´
o a a ıa
esf´rica lo suficientemente grande o veloz para producir un flujo turbulento del aire.
e
En general, se sabe que para un flujo turbulento no toda la opsici´n del fluido corresponde al arrastre,
o
si no que tambi´n existe roce en los bordes del cuerpo, m´s del 90 % corresponde al arrastre, lo que
e a
consideramos suficiente para despreciar el roce y as´ simplificar el an´lisis.
ı a
La cantidad de energ´ requerida por Gok´ para poder lanzar la Genkidama, es claramente una cantidad
ıa u
sobre humana, equivalente a 200 × 108 de platos de arroz.
El tiempo requerido para el impacto, la posici´n de Freezer y la posici´n inicial de Gok´ fueron las
o o u
condiciones iniciales que determinaron el problema.
Por ultimo, podemos decir que en casos como ´ste, el modelo matem´tico de un fen´meno puede tornarse
´ e a o
duro, incluso imposible sin la ayuda de la computaci´n, a´n usando varias aproximaciones, y que lo que se
o u
plane´ hacer en un principio, puede convertirse s´lo en la cima de una monta˜a llena de pruebas por superar,
o o n
con trabajo en conjunto y dedicaci´n.
o
12

13. Y ya que todo result´ como esper´bamos y Gok´ logr´ derrotar a Freezer, podemos decir...
o a u o
´
¡MISION CUMPLIDA!
13