1. INTRODUCCIÓN A LA
MECÁNICA CUÁNTICA
Física IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.

2. Principio de complementariedad de
Bohr
Ó

3.  En Física Clásica cualquier fenómeno de
transporte de energía puede explicarse
por el modelo ondulatorio o por el modelo
de partícula, pero no por ambos.
 EL MODELO DE PARTÍCULA Y EL
MODELO ONDULATORIO SON
MUTUAMENTE CONTRADICTORIOS.

4. ¿Cómo aplicamos estos modelos a las situaciones de
naturaleza dual de la radiación electromagnética y las
partículas materiales?
Ó

5. (1928) Niels Bohr: PRINCIPIO DE
COMPLEMENTAR IEDAD
LOS ASPECTOS DE ONDA Y
PARTÍCULA DE LA RADIACIÓN
ELECTROMAGNÉTICA SON
COMPLEMENTARIOS, ES DECIR,
CUALQUIER MEDICIÓN
EXPERIMENTAL QUE INVOLUCRE LA
RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
PUEDE SER COMPLETAMENTE
EXPLICADA POR UN MODELO O POR
EL OTRO.

6. ¿Cómo aplicamos esto a las
partículas materiales?

7. EN ALGUNOS EXPERIMENTOS LA
NATURALEZA ONDULATORIA SE
SUPRIME Y EN OTROS LA
NATURALEZA DE PARTÍCULA SE
SUPRIME, PERO LOS DOS
MODELOS SE COMPLEMENTAN.

8. ¿Cómo son las ondas que
asociamos a las partículas
materiales?
 Longitud de onda: longitud de onda de de
Broglie.
 Denominación: Ondas de materia
Pero:
¿Cuál es la naturaleza de estas ondas?

9. Descripción del paquete de onda
de partículas materiales
Movimiento de una onda típica a lo largo del eje
x: k=
2π
y ( x, t ) = Asen(kx − ωt ) λ
Número de onda
2π
ω = 2πν =
T
Frecuencia angular
Por analogía reemplazamos y(x,t) por: Ψ(x,t)
función de onda asociada con una partícula
material Ψ ( x, t ) = Asen( kx − t ) ω

10. Dos dificultades para: ( x, t ) = Asen( kx − ωt )
Ψ
 Ψ tiene continuidad en el espacio, mientras que una
partícula material siempre está localizada en el espacio.
 La velocidad de fase (o velocidad de la perturbación):
ω 2πν en atributos de onda
v fase = = = λν
k 2π / λ
Usando E=hν y E h E
p=h/λ:
v fase = = en atributos de
h p p partícula
Usando E=mc2 y p=mv:
c2 Fotón: vfase=c
v fase =
v
Partícula: (como v<<c) vfase>c

11. Para superar estas dificultades asumimos que la
función de onda Ψ(x,t) representa un grupo de ondas
de frecuencias y longitudes de onda diferentes.
k i = k + ∆k
Ψ ( x, t ) = ∑ A(k )sen(k x − ω t )
ki = k
i i i
∆k depende del grado de localización de la partícula en el espacio.
El objetivo es combinar muchas ondas de diferentes
frecuencias y amplitudes para que la resultante tenga
un alto valor de amplitud cerca de la vecindad de la
partícula y cero en otras partes. Esto es necesario
porque la onda de materia debe estar espacialmente
asociada con la partícula cuyo movimiento controla.

12. (a) F ación de un
orm
paquete de onda por
com binación de 7
ondas desde k=7 a
k=13. E prom
l edio del
núm de onda es
ero
k0=10.
(b) E el tiem t1, el
n po
paquete de onda se
m ueve una distancia
(ħ k0/ )t1.
m

13. Para localizar mejor la partícula
deberíamos aumentar el rango de ∆k
y usar series de Fourier e integral de
Fourier.
Nos limitaremos a analizar un caso
simple.

14. Consideremos dos ondas de
amplitudes iguales y frecuencias
ligeramente distintas:
Ψ1 ( x, t ) = Asen(kx − ωt )
Ψ2 ( x, t ) = Asen[ (k + ∆k ) x − (ω + ∆ω )t ]
Sumándolas:
Ψ ( x, t ) = Ψ1 ( x, t ) + Ψ2 ( x, t )
Ψ ( x, t ) = Asen(kx − ωt ) + Asen[ (k + ∆k ) x − (ω + ∆ω )t ]
 ∆k ∆ω   ∆k   ∆ω  
Ψ ( x, t ) = 2 A cos  x− t  sen  k +  x − ω + t 
 2 2   2   2 

15.  ∆k ∆ω   ∆k   ∆ω  
Ψ ( x, t ) = 2 A cos  x− t  sen  k +  x − ω + t 
 2 2   2   2 
Tomando
k + (∆k / 2) ≅ k ω + (∆ω / 2) ≅ ω
 ∆k ∆ω 
Ψ ( x, t ) = 2 A cos x− t  sen(kx − ωt )
 2 2 
Ψ ( x, t ) = Am sen(kx − ωt )
Representa una onda de frecuencia original ω pero amplitud
modulada

16. Ψ ( x, t ) = Am sen(kx − ωt )
Dos ondas de frecuencias y longitudes de onda levemente diferentes que
viajan en la dirección x com se m
o uestra en (a) producen m áxim y
os
m ínim cuando se sum juntas com en (b).
os an o

17. Aunque las ondas individuales viajan con la fase velocidad
vfase, la modulación de amplitud
 ∆k ∆ω 
Am = 2 cos x− t
 2 2 
viaja con una velocidad de grupo vg dada
por:
∆ω / 2 ∆ω
vg = =
∆k / 2 ∆k
o en el límite para Δk→ 0:
dω
vg =
dk

18. Usando las relaciones E = hν =ħω, donde ħ=h/2π y p = h/λ = ħk, tenemos:
dω dE
vg = =
dk dp
Como: E = m0 c 4 + p ²c ²
2
dE
=
pc ²
=
pc ² mvc²
= =v vg = v
dp m0 c + p ²c ²
2 4 E mc ²
La velocidad vg de grupo (o velocidad del paquete de onda)
es la misma que la de la partícula y por lo tanto el paquete
puede guiar el movimiento de la partícula y además
localizarla.
La velocidad vfase es la velocidad de la perturbación.

19. INTERPRETACIÓN
ESTADÍSTICA DE LA FUNCIÓN
DE ONDA
 Nos interesa considerar en detalle la relación
existente entre la función de onda Ψ(x,t) y la
localización de la partícula.
 Haremos una analogía con la amplitud del
campo eléctrico de la radiación
electromagnética.
 Consideraremos un haz de radiación
electromagnética monocromática incidiendo
en ángulo recto sobre una pantalla.

20. I: intensidad de iluminación, definida como la energía por unidad de área
por unidad de tiempo.
ε0 : permitividad del vacío
I = ε 0 E²c E: magnitud del campo eléctrico
instantáneo sobre la pantalla
Otro punto de vista es tratar la radiación electromagnética como que
consiste en fotones:
N: flujo de fotones o el número de fotones incidentes por unidad de área
por unidad de tiempo
I = Nhν
El lado izquierdo de la ecuación representa el
N∝E 2 modelo de partícula de la
electromagnética, mientras el lado derecho
radiación
representa el modelo ondulatorio.
Para un gran flujo no hay dificultad en explicar la
iluminación de la pantalla con cualquier modelo.

21. Si la intensidad disminuye y sólo se reciben unos pocos fotones sobre la
pantalla tenemos que:
N e s p o s ible p re d e c ir la p o s ic ió n y e l tie m p o
o
e x a c to d e a rribo d e c a d a fo tó n s o bre la p a nta lla .
La d is tribuc ió n d e lo s fo to ne s s o bre la p a nta lla e s
c o m p le ta m e nte a le a to ria , p e ro e l núm e ro
p ro m e d io d e fo to ne s q ue a rriba n p o r unid a d d e
á re a y p o r unid a d d e tie m p o e s c o ns ta nte y
p re d e c ible .
Si se reemplaza la pantalla por una placa fotográfica y se expone un
tiempo largo a esta radiación débil, el resultado es la iluminación
uniforme de la placa.
N nos da la probabilidad de observar un fotón y no la posición exacta y el
tiempo de arribo del fotón a la pantalla.
E² α probabilidad de observar a un fotón en un
punto

22. Si extendemos estos conceptos a los paquetes de onda asociados con
partículas materiales, tenemos:
Max Born (1926)
La función de onda Ψ(x,y,z,t) es tal que:Ψ ( x, y, z , t ) ² dv
es la probabilidad de observar una partícula en un volumen dv=dx dy dz en un
tiempo t.
Para un sistema estacionario (independiente del tiempo) la probabilidad de
observar una partícula es:
ψ ( x, y, z, t ) ² dv = ψ ( x, y, z , t )ψ ( x, y, z, t )dv
∗
En una dimensión para un sistema estacionario (independiente del tiempo):
la probabilidad de observar una partícula entre x y x+dx ∝ ψ ( x) ² dx
Ψ no tiene significado físico y
Ψ² sí lo tiene.

23. Cuando decimos
que a cada fotón o  Una onda
partícula material se
le asigna una mecánica o
función de onda, electromagnética
suponemos que se
asigna una transporta
propiedad energía.
estadística a cada
 Ψ transporta
partícula individual.
probabilidad.

24. Experimento de Young con ondas de
materia
Los puntos son
más grandes que
el tamaño que
corresponde.
 Se ha variado la cantidad de electrones que golpea la placa.
 No existen puntos en la región de mínimos de interferencia.
 La probabilidad de que cualquier punto de la película resulte
afectado queda determinado por la teoría ondulatoria con
independencia de que la película se vea expuesta a electrones o
a fotones.

25. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
Si Ψ²∆x es la probabilidad de que la partícula esté en la región entre x y
x+∆x
Hay incertidumbre en la posición de la
partícula
Si el
paquete de ∆x es La
onda es pequeño incertidumbre
estrecho es menor
1
∆x ∝
Necesitamos un ∆k
rango de
números de onda
∆k ancho

26. Sin un conocimiento exacto del paquete de onda, aproximamos:
∆x∆k ≈ 1
Com p = h / λ = (2π / λ )(h / 2π ) = k
o:
∆k = ∆p /  ∆x∆p ≈ 
Mediante cálculos más sofisticados se llega a:∆p
∆x ≈/2
Ya que éste es el límite más bajo de exactitud, en forma general
podemos escribir que:
∆x∆p ≥  / 2
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE
HEISEMBERG

27. ∆x∆p ≥  / 2
 Partícula completamente localizada: ∆x=0. La
cantidad de movimiento es completamente
desconocida.
 La cantidad de movimiento se conoce en
forma precisa: ∆p=0. Entonces ∆x=∞. La
partícula no está localizada y se extiende por
todo elo espacio.ir s im ultá ne a m e nte y c o n p re c is ió n
Es im p s ible m e d
ta nto la p o s ic ió n c o m o la c a ntid a d d e m o vim ie nto d e
una p a rtíc ula .
Este límite de exactitud no es debido a cualquier dificultad técnica en el
experimento; sino que es inherente a la naturaleza dual –onda y partícula- tanto
de la radiación electromagnética como de las partículas materiales.

28. En tres dimensiones:
∆x∆p x ≥  / 2
∆y∆p y ≥  / 2
∆z∆p z ≥  / 2

29. También está limitada la
determinación simultánea de:
 El momento angular y el ángulo:
Θ: posición angular
∆θ∆Lθ ≥  / 2 Lθ: momento angular
 La energía y el tiempo:
Desigualdad tiempo-
∆ E∆ t ≥  / 2 energía
(ya que el tiempo no es un
observable sino que es un
parámetro)
Según Heisenberg, la medida de la energía de una partícula dentro de un
tiempo Δt debe ser incierta por una cantidad ΔE, el producto puede
derivarse usando la relación E = p²/2m que da ΔE=pΔp/m=vΔp, y t=x/v,
que da Δt=Δx/v.