Enviar búsqueda
Cargar
Olimpiada internacional de física 35
•
0 recomendaciones
•
262 vistas
K
KDNA71
Seguir
Tecnología
Educación
Denunciar
Compartir
Denunciar
Compartir
1 de 22
Descargar ahora
Descargar para leer sin conexión
Recomendados
Olimpiada internacional de física 38
Olimpiada internacional de física 38
KDNA71
Mf collection 0809_tema_1y2
Mf collection 0809_tema_1y2
Joseph Gonzalez
Examen de admisión fisica y quimica UNI 2013-I ccesa007
Examen de admisión fisica y quimica UNI 2013-I ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
5. Campo eléctrico
5. Campo eléctrico
Álvaro Pascual Sanz
SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI FISICA 2009 I
SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI FISICA 2009 I
DANTX
645exam
645exam
henrry_T_17
Geotecnia cimentaciones y estructuras de contención - problemas resueltos
Geotecnia cimentaciones y estructuras de contención - problemas resueltos
Oskr Silva
Examen de admisión uni 2011 ii fisica quimica-solucionario
Examen de admisión uni 2011 ii fisica quimica-solucionario
preuni
Recomendados
Olimpiada internacional de física 38
Olimpiada internacional de física 38
KDNA71
Mf collection 0809_tema_1y2
Mf collection 0809_tema_1y2
Joseph Gonzalez
Examen de admisión fisica y quimica UNI 2013-I ccesa007
Examen de admisión fisica y quimica UNI 2013-I ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
5. Campo eléctrico
5. Campo eléctrico
Álvaro Pascual Sanz
SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI FISICA 2009 I
SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI FISICA 2009 I
DANTX
645exam
645exam
henrry_T_17
Geotecnia cimentaciones y estructuras de contención - problemas resueltos
Geotecnia cimentaciones y estructuras de contención - problemas resueltos
Oskr Silva
Examen de admisión uni 2011 ii fisica quimica-solucionario
Examen de admisión uni 2011 ii fisica quimica-solucionario
preuni
Solucionario uni2014 ii-fisica-quimica
Solucionario uni2014 ii-fisica-quimica
Kaito Jhon
Solucionario uni2015 i-fisica-quimica
Solucionario uni2015 i-fisica-quimica
Jòse Cusirimay
Control 3 introducción a la física (2012)
Control 3 introducción a la física (2012)
luis perez sanhueza
Problemas resueltos de calculo cimentaciones y estructuras
Problemas resueltos de calculo cimentaciones y estructuras
YURI HERHUAY TITO
Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway
joaquings
Hidrapro
Hidrapro
Andres Tamayo
Ejercicios resueltos-hibbeler-grupo-04 cinematica circular vectorial
Ejercicios resueltos-hibbeler-grupo-04 cinematica circular vectorial
victor chacon
Fisica_compendio_2
Fisica_compendio_2
Carlos Chuquillanqui Rios
40 -2_capi_2
40 -2_capi_2
Judith Torres Pessaressi
Mecanica Del Cuerpo Rigido
Mecanica Del Cuerpo Rigido
guestd286acd0
Formulas fisica israel condori rocha
Formulas fisica israel condori rocha
Israel Condori Rocha
Arcos
Arcos
Samir Augusto Vidal
133063121 4to-fis-guia-nº-5-estatica-ii
133063121 4to-fis-guia-nº-5-estatica-ii
ASD
GOTECNIA
GOTECNIA
Paul Seguil
Electricidad y Magnetismo
Electricidad y Magnetismo
Carlos Hugo Huertas Pérez
circulo de mhor ESTATICA
circulo de mhor ESTATICA
RHENAN DIAZ MEZA
553exam
553exam
henrry_T_17
Capitulo 6 (teoremas_energeticos)
Capitulo 6 (teoremas_energeticos)
araujo_ing
Vibracionesproblemas solucion -
Vibracionesproblemas solucion -
Mehykker Guillermo
DINAMICA EJERCICIOS UNSCH
DINAMICA EJERCICIOS UNSCH
Epic Rock
Olimpiada internacional de física 22
Olimpiada internacional de física 22
KDNA71
Olimpiada internacional de física 33
Olimpiada internacional de física 33
KDNA71
Más contenido relacionado
La actualidad más candente
Solucionario uni2014 ii-fisica-quimica
Solucionario uni2014 ii-fisica-quimica
Kaito Jhon
Solucionario uni2015 i-fisica-quimica
Solucionario uni2015 i-fisica-quimica
Jòse Cusirimay
Control 3 introducción a la física (2012)
Control 3 introducción a la física (2012)
luis perez sanhueza
Problemas resueltos de calculo cimentaciones y estructuras
Problemas resueltos de calculo cimentaciones y estructuras
YURI HERHUAY TITO
Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway
joaquings
Hidrapro
Hidrapro
Andres Tamayo
Ejercicios resueltos-hibbeler-grupo-04 cinematica circular vectorial
Ejercicios resueltos-hibbeler-grupo-04 cinematica circular vectorial
victor chacon
Fisica_compendio_2
Fisica_compendio_2
Carlos Chuquillanqui Rios
40 -2_capi_2
40 -2_capi_2
Judith Torres Pessaressi
Mecanica Del Cuerpo Rigido
Mecanica Del Cuerpo Rigido
guestd286acd0
Formulas fisica israel condori rocha
Formulas fisica israel condori rocha
Israel Condori Rocha
Arcos
Arcos
Samir Augusto Vidal
133063121 4to-fis-guia-nº-5-estatica-ii
133063121 4to-fis-guia-nº-5-estatica-ii
ASD
GOTECNIA
GOTECNIA
Paul Seguil
Electricidad y Magnetismo
Electricidad y Magnetismo
Carlos Hugo Huertas Pérez
circulo de mhor ESTATICA
circulo de mhor ESTATICA
RHENAN DIAZ MEZA
553exam
553exam
henrry_T_17
Capitulo 6 (teoremas_energeticos)
Capitulo 6 (teoremas_energeticos)
araujo_ing
Vibracionesproblemas solucion -
Vibracionesproblemas solucion -
Mehykker Guillermo
DINAMICA EJERCICIOS UNSCH
DINAMICA EJERCICIOS UNSCH
Epic Rock
La actualidad más candente
(20)
Solucionario uni2014 ii-fisica-quimica
Solucionario uni2014 ii-fisica-quimica
Solucionario uni2015 i-fisica-quimica
Solucionario uni2015 i-fisica-quimica
Control 3 introducción a la física (2012)
Control 3 introducción a la física (2012)
Problemas resueltos de calculo cimentaciones y estructuras
Problemas resueltos de calculo cimentaciones y estructuras
Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway
Hidrapro
Hidrapro
Ejercicios resueltos-hibbeler-grupo-04 cinematica circular vectorial
Ejercicios resueltos-hibbeler-grupo-04 cinematica circular vectorial
Fisica_compendio_2
Fisica_compendio_2
40 -2_capi_2
40 -2_capi_2
Mecanica Del Cuerpo Rigido
Mecanica Del Cuerpo Rigido
Formulas fisica israel condori rocha
Formulas fisica israel condori rocha
Arcos
Arcos
133063121 4to-fis-guia-nº-5-estatica-ii
133063121 4to-fis-guia-nº-5-estatica-ii
GOTECNIA
GOTECNIA
Electricidad y Magnetismo
Electricidad y Magnetismo
circulo de mhor ESTATICA
circulo de mhor ESTATICA
553exam
553exam
Capitulo 6 (teoremas_energeticos)
Capitulo 6 (teoremas_energeticos)
Vibracionesproblemas solucion -
Vibracionesproblemas solucion -
DINAMICA EJERCICIOS UNSCH
DINAMICA EJERCICIOS UNSCH
Destacado
Olimpiada internacional de física 22
Olimpiada internacional de física 22
KDNA71
Olimpiada internacional de física 33
Olimpiada internacional de física 33
KDNA71
Olimpiada internacional de física 30
Olimpiada internacional de física 30
KDNA71
Olimpiada internacional de física 5
Olimpiada internacional de física 5
KDNA71
Olimpiada internacional de física 27
Olimpiada internacional de física 27
KDNA71
Olimpiada internacional de física 14
Olimpiada internacional de física 14
KDNA71
Olimpiada internacional de física 7
Olimpiada internacional de física 7
KDNA71
Olimpiada internacional de física 12
Olimpiada internacional de física 12
KDNA71
Olimpiada internacional de física 34
Olimpiada internacional de física 34
KDNA71
Destacado
(9)
Olimpiada internacional de física 22
Olimpiada internacional de física 22
Olimpiada internacional de física 33
Olimpiada internacional de física 33
Olimpiada internacional de física 30
Olimpiada internacional de física 30
Olimpiada internacional de física 5
Olimpiada internacional de física 5
Olimpiada internacional de física 27
Olimpiada internacional de física 27
Olimpiada internacional de física 14
Olimpiada internacional de física 14
Olimpiada internacional de física 7
Olimpiada internacional de física 7
Olimpiada internacional de física 12
Olimpiada internacional de física 12
Olimpiada internacional de física 34
Olimpiada internacional de física 34
Similar a Olimpiada internacional de física 35
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
0g4m3
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
katerin
Cap5 con densadores y dielectricos
Cap5 con densadores y dielectricos
goku10
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
SENCICO
Hidraulica de Canales
Hidraulica de Canales
Fernando Cazon Narvaez
Evaporacion y Evapotranspiracion. Climatologia
Evaporacion y Evapotranspiracion. Climatologia
Renée Condori Apaza
Ecuaciones
Ecuaciones
Jesús Paredes
Energia electrica
Energia electrica
isabelita27
Condensadores para 6to
Condensadores para 6to
faviolin
Capacitores
Capacitores
Velmuz Buzz
Campo electrico de_una_distibucion
Campo electrico de_una_distibucion
Andrés Ibaceta
Cap 9 fluidos 226-239
Cap 9 fluidos 226-239
Diego De la Cruz
Semana3 capacitancia
Semana3 capacitancia
Levano Huamacto Alberto
Capacitancia. ing. carlos moreno (ESPOL)
Capacitancia. ing. carlos moreno (ESPOL)
Francisco Rivas
Curvas equipotenciales y li neas de campo
Curvas equipotenciales y li neas de campo
juan nolorbe
Blq 4 interacción electromagnética
Blq 4 interacción electromagnética
LaLocaFeliz
Teorema de bernoulli
Teorema de bernoulli
chorisin87
Sep 1 problemas de ecuaciones dimensionales040206(1)
Sep 1 problemas de ecuaciones dimensionales040206(1)
bebho29
Cap 9 Fluidos 226 239
Cap 9 Fluidos 226 239
guestbfdb93f0
Cap 9 fluidos 226-239
Cap 9 fluidos 226-239
0g4m3
Similar a Olimpiada internacional de física 35
(20)
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap5 con densadores y dielectricos
Cap5 con densadores y dielectricos
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97
Hidraulica de Canales
Hidraulica de Canales
Evaporacion y Evapotranspiracion. Climatologia
Evaporacion y Evapotranspiracion. Climatologia
Ecuaciones
Ecuaciones
Energia electrica
Energia electrica
Condensadores para 6to
Condensadores para 6to
Capacitores
Capacitores
Campo electrico de_una_distibucion
Campo electrico de_una_distibucion
Cap 9 fluidos 226-239
Cap 9 fluidos 226-239
Semana3 capacitancia
Semana3 capacitancia
Capacitancia. ing. carlos moreno (ESPOL)
Capacitancia. ing. carlos moreno (ESPOL)
Curvas equipotenciales y li neas de campo
Curvas equipotenciales y li neas de campo
Blq 4 interacción electromagnética
Blq 4 interacción electromagnética
Teorema de bernoulli
Teorema de bernoulli
Sep 1 problemas de ecuaciones dimensionales040206(1)
Sep 1 problemas de ecuaciones dimensionales040206(1)
Cap 9 Fluidos 226 239
Cap 9 Fluidos 226 239
Cap 9 fluidos 226-239
Cap 9 fluidos 226-239
Más de KDNA71
Prueba saber math 11 núcleo 2003 1
Prueba saber math 11 núcleo 2003 1
KDNA71
Prueba saber 9 math
Prueba saber 9 math
KDNA71
Prueba saber 9 educación financiera
Prueba saber 9 educación financiera
KDNA71
Taller salida pedagógica
Taller salida pedagógica
KDNA71
Itinerario salida pedagogica al parque del café
Itinerario salida pedagogica al parque del café
KDNA71
Horario
Horario
KDNA71
Horario
Horario
KDNA71
Reunión Padres octavo CCP
Reunión Padres octavo CCP
KDNA71
Mis alumnos del Colegio Cooperativo 2011
Mis alumnos del Colegio Cooperativo 2011
KDNA71
Festival folclorico 2010
Festival folclorico 2010
KDNA71
Desodorantes
Desodorantes
KDNA71
Jabones De Tocador
Jabones De Tocador
KDNA71
Shampoo Y Acondicionador Anticaspa
Shampoo Y Acondicionador Anticaspa
KDNA71
Shampoo Y Acondicionador Rizos
Shampoo Y Acondicionador Rizos
KDNA71
Shampoo Y Acondicionador Cabello Seco Y Maltratado
Shampoo Y Acondicionador Cabello Seco Y Maltratado
KDNA71
Shampoo Y Acondicionador Cabello Mixto
Shampoo Y Acondicionador Cabello Mixto
KDNA71
Shampoo Y Acondicionador Optimo Balance
Shampoo Y Acondicionador Optimo Balance
KDNA71
Shampoo Y Acondicionador Color Intenso
Shampoo Y Acondicionador Color Intenso
KDNA71
Gel
Gel
KDNA71
LocióN Hidratante Con Glicerina
LocióN Hidratante Con Glicerina
KDNA71
Más de KDNA71
(20)
Prueba saber math 11 núcleo 2003 1
Prueba saber math 11 núcleo 2003 1
Prueba saber 9 math
Prueba saber 9 math
Prueba saber 9 educación financiera
Prueba saber 9 educación financiera
Taller salida pedagógica
Taller salida pedagógica
Itinerario salida pedagogica al parque del café
Itinerario salida pedagogica al parque del café
Horario
Horario
Horario
Horario
Reunión Padres octavo CCP
Reunión Padres octavo CCP
Mis alumnos del Colegio Cooperativo 2011
Mis alumnos del Colegio Cooperativo 2011
Festival folclorico 2010
Festival folclorico 2010
Desodorantes
Desodorantes
Jabones De Tocador
Jabones De Tocador
Shampoo Y Acondicionador Anticaspa
Shampoo Y Acondicionador Anticaspa
Shampoo Y Acondicionador Rizos
Shampoo Y Acondicionador Rizos
Shampoo Y Acondicionador Cabello Seco Y Maltratado
Shampoo Y Acondicionador Cabello Seco Y Maltratado
Shampoo Y Acondicionador Cabello Mixto
Shampoo Y Acondicionador Cabello Mixto
Shampoo Y Acondicionador Optimo Balance
Shampoo Y Acondicionador Optimo Balance
Shampoo Y Acondicionador Color Intenso
Shampoo Y Acondicionador Color Intenso
Gel
Gel
LocióN Hidratante Con Glicerina
LocióN Hidratante Con Glicerina
Último
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
IsabellaMontaomurill
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
soporteupcology
Hernandez_Hernandez_Practica web de la sesion 12.pptx
Hernandez_Hernandez_Practica web de la sesion 12.pptx
JOSEMANUELHERNANDEZH11
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
silviayucra2
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
ssuserf18419
ATAJOS DE WINDOWS. Los diferentes atajos para utilizar en windows y ser más e...
ATAJOS DE WINDOWS. Los diferentes atajos para utilizar en windows y ser más e...
FacuMeza2
SalmorejoTech 2024 - Spring Boot <3 Testcontainers
SalmorejoTech 2024 - Spring Boot <3 Testcontainers
Iván López Martín
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
GDGSucre
Cortes-24-de-abril-Tungurahua-3 año 2024
Cortes-24-de-abril-Tungurahua-3 año 2024
GiovanniJavierHidalg
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
FagnerLisboa3
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
WilbisVega
La era de la educación digital y sus desafios
La era de la educación digital y sus desafios
Fundación YOD YOD
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
Fundación YOD YOD
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
BRAYANJOSEPHPEREZGOM
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Keyla Dolores Méndez
Plan de aula informatica segundo periodo.docx
Plan de aula informatica segundo periodo.docx
pabonheidy28
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
241521559
Instrumentación Hoy_ INTERPRETAR EL DIAGRAMA UNIFILAR GENERAL DE UNA PLANTA I...
Instrumentación Hoy_ INTERPRETAR EL DIAGRAMA UNIFILAR GENERAL DE UNA PLANTA I...
AlanCedillo9
PARTES DE UN OSCILOSCOPIO ANALOGICO .pdf
PARTES DE UN OSCILOSCOPIO ANALOGICO .pdf
SergioMendoza354770
Último
(19)
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Hernandez_Hernandez_Practica web de la sesion 12.pptx
Hernandez_Hernandez_Practica web de la sesion 12.pptx
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
ATAJOS DE WINDOWS. Los diferentes atajos para utilizar en windows y ser más e...
ATAJOS DE WINDOWS. Los diferentes atajos para utilizar en windows y ser más e...
SalmorejoTech 2024 - Spring Boot <3 Testcontainers
SalmorejoTech 2024 - Spring Boot <3 Testcontainers
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
Cortes-24-de-abril-Tungurahua-3 año 2024
Cortes-24-de-abril-Tungurahua-3 año 2024
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
La era de la educación digital y sus desafios
La era de la educación digital y sus desafios
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Plan de aula informatica segundo periodo.docx
Plan de aula informatica segundo periodo.docx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Instrumentación Hoy_ INTERPRETAR EL DIAGRAMA UNIFILAR GENERAL DE UNA PLANTA I...
Instrumentación Hoy_ INTERPRETAR EL DIAGRAMA UNIFILAR GENERAL DE UNA PLANTA I...
PARTES DE UN OSCILOSCOPIO ANALOGICO .pdf
PARTES DE UN OSCILOSCOPIO ANALOGICO .pdf
Olimpiada internacional de física 35
1.
OLIMPIADA INTERNACIONAL DE
FÍSICA Problemas resueltos y comentados por: José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo XXXV OLIMPIADA DE FÍSICA - COREA DEL SUR, 2004 I.-UN CONDENSADOR “PING-PONG” Un condensador consiste en dos platos circulares paralelos entre sí, siendo R el radio de cada plato y d la distancia entre ellos, cumpliéndose que d<< R (fig 1.1 a). El plato superior está conectado a un voltaje constante V y el inferior a tierra. Después se coloca en el centro del plato inferior un pequeño disco de masa m y radio r (r<<R) y espesor t ( t<<r)como indica la figura 1.1b. Entre los platos se ha hecho el vacío siendo la constante dieléctrica εo, tanto los platos como el disco son conductores perfectos. Los efectos electrostáticos en los bordes así como la inductancia del circuito, los efectos relativistas y los efectos de la carga imagen son despreciables. Vista lateral + R V V d d r q t mg (a) (b) Fig. 1.1 Fig. 1.1 (a) es un dibujo esquemático del condensador conectado a la fuente de potencial V b) es una vista lateral del condensador con el pequeño disco de masa m colocado en el plato inferior a) Calcule la fuerza electrostática Fe entre los platos separados la distancia d, antes de insertar el disco de masa m. b) Cuando el disco se coloca sobre el plato inferior, su carga q está relacionada con el voltaje V por la expresión q = ΓV . Encontrar Γ en función de r, d y εo c) Los platos paralelos están colocados perpendicularmente a un campo gravitacional uniforme de intensidad g. Para elevar el disco de la © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 397
2.
posición inicial de
reposo se necesita aplicar un voltaje mayor que un voltaje umbral Vth. Obtener Vth en función de m, g, d y Γ. d) Cuando V>Vth el disco efectúa un movimiento arriba-abajo entre los platos (se supone que el disco se mueve verticalmente sin bamboleos). Las colisiones entre el disco y los platos son inelásticas siendo el v después v d coeficiente de restitución η = = , siendo, respectivamente, va v antes va y vd las velocidades inmediatamente antes y después de la colisión. Los platos permanecen en posiciones fijas. La velocidad del disco después de la colisión con el plato inferior se aproxima a una velocidad constante vs que depende de V mediante la ecuación v s = αV 2 + β Obtener los coeficientes α y β en función de m, g, Γ, d , y η Se supone que el disco choca con el plato de tal modo que se produce un cambio instantáneo de carga en cada colisión e) Después de alcanzar la velocidad constante, la corriente promedio I a través del condensador se puede aproximar mediante la expresión I = γV2 cuando qVmgd. Expresar el coeficiente g en términos de m , Γ d y η f) Cuando el voltaje aplicado V decrece (de modo lento) existe un voltaje crítico Vc por debajo del cual la carga cesa de fluir. Encontrar el voltaje crítico Vc y la corriente Ic en función de m, g, d, Γ y η. Comparando Vc con el voltaje umbral Vth hacer una gráfica aproximada de I-V cuando V aumenta y disminuye en el rango V=0 hasta 3 Vth a).-Calcule la fuerza electrostática Fe entre los platos separados la distancia d, antes de insertar el disco de masa m 1 La energía almacenada en un condensador es U = CV 2 y la capacidad de un 2 condensador plano πR 2 1 πR 2 2 C= ε o , luego: U = εo V d 2 d Si queremos aumentar la distancia entre las placas una distancia δd se necesita realizar un trabajo dW = F δd y se producirá una variación de energía 1 πR 2 1 1 1 1 δd Uf = εo V 2 ⇒ ∆U = ε o πR 2 V 2 − ⇒ − ε o πR 2 V 2 2 = F δd 2 d + δd 2 d + δd d 2 d 2 1 V F = − ε o πR 2 2 d © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 398
3.
b).- Cuando el
disco se coloca sobre el plato inferior, su carga q está relacionada con el voltaje V por la expresión q = ΓV . Encontrar Γ en función de r, d y εo La densidad superficial de carga es la misma en los platos que en el disco Q q r2 r2 πR 2 r 2 πr 2 = 2 ⇒ q = Q 2 = CV 2 = ε o V = εo V = ΓV πR 2 πr R R d R2 d πr 2 Γ = εo d c).- Para elevar el disco de la posición inicial de reposo se necesita aplicar un voltaje mayor que un voltaje umbral Vth. Obtener Vth en función de m, g, d y Γ. La fuerza sobre el disco debe ser mayor que el peso para elevarlo e igual para obtener el equilibrio 1 ε o πr 2 Vth 2 2mgd 2 2mgd 2mgd = mg ⇒ Vth = 2 = ⇒ Vth = 2 d 2 ε o πr 2 Γ Γ d).- Obtener los coeficientes α y β en función de m, g, Γ, d , y η Una vez que se ha establecido el equilibrio designamos con ECi la energía cinética que posee el disco nada más abandonar el plato inferior, en ese momento, el disco posee una carga q negativa. El campo eléctrico ejerce un trabajo sobre el disco que vale qV, trabajo que se emplea en aumentar la energía cinética al llegar al plato superior y dotarle de energía potencial. Sea ECll2, la energía cinética del disco justamente antes de chocar con el plato superior, E Ci + qV = E Cll 2 + mgd El disco después de rebotar en el plato superior posee una carga q positiva, su velocidad ha disminuido debido al choque inelástico y ahora designamos a su energía cinética por E CR 2 .Podemos escribir 2 1 1 E CR 2 v d E Cll 2 = mv a ; E CR 2 = mv d 2 2 ⇒ = 2 = η2 ⇒ E CR 2 = η 2 E Cll 2 2 2 E Cll 2 v a E CR 2 = η 2 (E Ci + qV − mgd ) Cuando el disco llegue a la placa 1 el campo ha hecho un trabajo qV y el disco ha perdido su energía potencial, por tanto, si designamos por ECll1, la energía cinética de llegada al plato 1 E Cll1 = E CR 2 + qV + mgd = η 2 (E Ci + qV − mgd ) + qV + mgd Al rebotar en el plato 1 su energía cinética es igual a ECi , ya que el régimen alcanzado es Estacionario E Ci = η 2 E Cll1 = η 4 (E Ci + qV − mgd ) + η 2 (qV + mgd ) ⇒ ⇒ ( ) ( ) ( E Ci 1 − η 4 = qVη 2 1 + η 2 + mgd η 2 − η 4 ⇒) qVη (1 + η ) 2 2 (1 − η ) = qVη + mgdη 2 2 2 ⇒ = + mgdη 2 E Ci (1 + η )(1 − η ) 2 2 (1 + η )(1 − η ) (1 − η ) (1 + η ) 2 2 2 2 © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 399
4.
Si en la
expresión anterior introducimos la velocidad 1 qVη 2 mgdη 2 2qVη 2 2gdη 2 2ΓV * Vη 2 2gdη 2 mv s = 2 + ⇒ vs = + = + 2 ( 1 − η2 ) ( 1 + η2 ) ( m 1 − η2 ) ( 1 + η2 ) ( ) ( m 1 − η2 1 + η2 ) 2Γ η 2 2gdη 2 vs = V + 2 ( m 1 − η2 ) 1 + η2 ( ) 2Γ η 2 2gdη 2 α= β= ( m 1 − η2 ) ; ( 1 + η2 ) e).- Después de alcanzar la velocidad constante, la corriente promedio I a través del condensador se puede aproximar mediante la expresión I = γV2 cuando qVmgd. Expresar el coeficiente g en términos de m , Γ d y η La condición impuesta es que el trabajo del campo qV es mucho mayor que el valor de la energía potencial, por tanto, se puede prescindir de este término y observar que la aceleración del disco se debe únicamente al campo eléctrico qE qV Fe = qE = ma ⇒ a = = m md Si se llega a un estado estacionario el disco sale con una velocidad vs del plato inferior y llega con una velocidad mayor vM al plato superior, después rebota con una velocidad vs y llega al plato inferior con una velocidad vM para que después de rebotar en el plato inferior salga con la velocidad vs. El tiempo de ir del plato inferior al superior es el mismo que del superior al inferior ya que se prescinde del peso del disco y su energía gravitatoria. La relación entre estas velocidades v M = v s + at ,la podemos expresar a través del coeficiente η . vs v M = v s + at ; v s = ηv M ⇒ = v s + at ⇒ v s (1 − η) = ηat η Como hemos encontrado antes, la energía cinética del disco es; 1 qVη 2 mgdη 2 2qV mv s = 2 + ⇒ qV mgd ⇒ v s = η 2 1− η 2 ( 1+ η 2 ) ( ) m 1 − η2 ( ) qV Sustituyendo en la expresión de la velocidad vs y teniendo en cuenta que a = md 2qV (1 − η) = η qV t ⇒ t= 2qVm 2 d 2 (1 − η) = 1 − η 2 2md 2 ⇒ η ( m 1− η 2 ) md ( m 1− η q V 2 2 )2 1− η qV (1 − η) 1 − η2 2md 2 1 − η2 2md 2 1 − η 2md 2 ⇒ t= = = (1 − η ) 2 qV (1 + η)2 ΓV 2 1 + η ΓV 2 q ΓV La intensidad de la corriente I = = t t © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 400
5.
1+ η
ΓV 2 1+ η Γ3 I = ΓV = * V2 1− η 2md 2 1 − η 2md 2 Y de la expresión I = γV 2 1+ η Γ3 γ= 1 − η 2md 2 f).- Encontrar el voltaje crítico Vc y la corriente Ic en función de m, g, d, Γ y η. Para que la carga cese de fluir es preciso que el disco que abandona el plato 1 con la velocidad vs no llegue al plato 2 y el límite se produce cuando la velocidad de llegada al plato 2 es nula. En estas condiciones el trabajo del campo se emplea únicamente en aumentar la energía potencial del disco 1 2qVc mv s + qVc = mgd e ⇒ vs + 2 = 2gd 2 m 2Γ η 2 2gdη 2 En el apartado 2 hemos visto que v s = V + 2 ( m 1 − η2 ) 1 + η2 ( ) 2Γ η 2 2gdη 2 2ΓVc2 η2 η2 Vc2 + + = 2gd ⇒ ΓVc2 + 1 = mgd1 − ⇒ ( m 1 − η2 ) ( 1 + η2 m ) 1 − η2 1 + η2 1 1 1 − η2 mgd ⇒ ΓVc2 = mgd ⇒ Vc = 1− η 2 1 + η2 1 + η2 Γ 2mgd En el apartado c) se ha calculado Vth = Γ 2mgd Vth = Γ ⇒ Vth = ( 2 1 + η2 ) ⇒ Si ς = 1 − η2 ⇒ Vc 1 − η2 mgd Vc 1 − η2 ( ) 2 1 + η2 1 + η2 Γ Vc ⇒ =ς Vth Supongamos que el disco abandona el plato 1 con la velocidad vs y carga –q y alcanza justamente el plato 2 con velocidad nula. Una vez que toque el plato 2 intercambia su carga y se hace positiva por lo que se dirige hacia el plato 1 partiendo con velocidad nula y aceleración hacia arriba a ↑ . Vc ΓVc2 Γ 1 − η 2 mgd qE − mg = ma ↑ ⇒ q − mg = ma ↑ ⇒ a↑ = −g = −g ⇒ d md md 1 + η 2 Γ 1 − η2 1 − η2 − 2η 2 g ⇒ a↑ = g − g = g 1 + η 2 − 1 ⇒ a↑ = 1+ η 2 1 + η2 © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 401
6.
La aceleración hacia
abajo, esto es, desde el plato superior al inferior, calculada de forma semejante es: 1 − η2 2g qE + mg = ma ↓ a ↓ = g 1 + η 2 + 1 ⇒ a ↓ = 1 + η 2 ⇒ Vamos a calcular ahora los tiempos que emplea el disco en subir y bajar y por tanto en transmitir la carga 2q 1 v v (1 + η 2 ) d = vs t ↑ + a ↑ t ↑ , 0 = vs + a ↑ t ↑ ⇒ t ↑ = − s = s 2 2 2 a↑ 2η g 1 d = a ↓ t ↓ ; v↓ = a ↓ t ↓ = 2 vs = a↓t↓ ⇒ t↓ = vs = v s 1 + η2 ( ) 2 η ηa ↓ η2g El tiempo total de subida y bajada es. v 1 + η2 1 tT = t↑ + t↓ = s + 1 ( ) 2η g η Anteriormente hemos visto que 2Γ η 2 2gdη 2 1 − η2 mgd vs = Vc + 2 Vc = ( m 1 − η2 ) 1 + η2 ( ) y 1 + η2 Γ de ambas resulta: 2Γ η 2 1 − η 2 mgd 2gdη 2 2η 2 gd 2gdη 2 4η 2 gd vs = + = + = ( * ) m 1 − η2 1 + η2 * Γ 1 + η2 1 + η2 1 + η2 1 + η2 Sustituyendo en la ecuación del tiempo tT tT = ( v s 1 + η2 ) 1 + 1 = 4η 2 gd 1 + η 2 * 1 + 1 = ( d 1 + η2 ) 1 + 1 2η g η 1 + η2 2η g η η g 2q y con este valor calculamos la intensidad crítica I C = tT 1 − η2 mgd 2Γ IC = 2q = 2ΓVc = 1 + η2 Γ = ( 4Γ 2 1 − η 2 g * mgd) * η ⇒ tT ( d 1 + η2 ) 1 + 1 ( d 1 + η2 ) 1 + 1 ( d 1+ η 2 2 )Γ 1+ η η η g g 4Γmg 2 (1 − η)(1 + η) η 2gη mΓ(1 − η) 2η 1 − η 2 ⇒ ⇒ IC = = g mΓ (1 + η )2 2 * 1+ η 1 + η2 ( ) 1+ η ( 1 + η 2 (1 + η) ) Comparando Vc con el voltaje umbral Vth hacer una gráfica aproximada de I-V cuando V aumenta y disminuye en el rango V=0 hasta 3 Vth © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 402
7.
I = q
/ t, (intensidad promedio de la corriente cuando el disco alcanza su función constante. I a través del condensador se puede aproximar mediante la expresión I = γV2 1+ η Γ3 cuando qVmgd. Siendo γ = ) 1 − η 2md 2 2mgd Vth = , (Vth es el voltaje umbral necesario para elevar el disco) Γ 1 − η 2 mgd Vc = ( voltaje crítico, mínimo necesario para que el disco llegue al plato 1 + η2 Γ superior con velocidad nula) Vth = ( 2 1 + η2 ) V Vc (relación entre ambos, c = ζ , con ς = 1 − η2 ) 1− η 2 Vth 2(1 + η 2 ) 2η 1 − η 2 IC = (1 + η )(1 + η) g 2 mΓ (intensidad crítica, cuando el condensador alcanza su voltaje crítico. IC = 2q / tT ) I I∼γV ∼ 2 Ith U C I ζ 1 3 V/VU 2 El punto C de la gráfica indica que su abscisa contiene el voltaje crítico VC/Vth y su ordenada es la intensidad crítica IC. En el punto U la abscisa vale la unidad, lo que indica que V = Vth es el voltaje umbral, y su ordenada es la intensidad umbral Ith. Los valores de abscisas 1, 2 y 3, son los coeficientes de V = Vth , V = 2Vth y V = 3Vth múltiplos del voltaje umbral. © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 403
8.
II.-GLOBO ASCENDENTE Un globo
de goma, lleno de helio, puede ascender en la atmósfera. La presión y temperatura de la atmósfera disminuyen con la altura. En el problema se considera que la forma del globo es esférica a pesar de los aparejos que pueda llevar y que el volumen de éstos es despreciable. También se admite que la temperatura del gas helio dentro del globo es siempre igual a la de la atmósfera que lo rodea y que los gases tienen comportamiento ideal. La constante universal de los gases es R = 8,31J/(mol*K) , las masas molares del helio y del aire son MHe= 4,00.10-3 kg/mol y MA = 28,9.10-3 kg/mol, respectivamente. La aceleración de la gravedad es 9,8 m/s2. Parte A a) Sea P la presión del aire y T su temperatura. La presión dentro del globo es mayor que la de fuera debido a la tensión superficial de la goma del globo. Éste contiene n moles de gas helio siendo la presión en el interior P+∆P. Encontrar la fuerza ascensional FB que actúa sobre el globo en función de P y ∆P. b) En Corea y en un día de verano la temperatura TZ a una altura z respecto del nivel del mar es z TZ = To 1 − zo Expresión válida en el rango 0z15 km ,siendo zo= 49 km y To = 303 K. La presión y la densidad del aire al nivel del mar son, Po=1,0 atm = 1,01.105 Pa y ρo= 1,16 kg/m3, respectivamente. Para el intervalo de altura especificado, la presión de la atmósfera se expresa mediante la ecuación η z PZ = Po 1 − (2.1) z0 Expresar η en función de zo, ρo, Po y g y encontrar su valor numérico dando el resultado con dos cifras significativas. Se considera que g no varía con la altura. Parte B Si la goma de un globo esférico no tiene tensión y éste tiene un radio ro, y se infla hasta que adquiere un radio rro, la superficie del globo posee una energía elástica debido a su tensión. De acuerdo con una teoría sencilla la energía elástica para una temperatura constante T, está dada por la ecuación © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 404
9.
1 U = 4π ro2 κRT 2λ 2 + 4 − 3 (2.2) λ r Siendo λ = denominada razón de inflado, κ es una constante ro expresada en mol/m3. c) Calcular ∆P en función de los parámetros dados en la ecuación (2.2) y dibujar la gráfica ∆P frente a λ. d) La constante κ se puede determinar a partir de la cantidad de gas que se necesita para inflar el globo. A To= 303 K y Po= 1atm=1,01.105 Pa, un balón sin tensión (λ=1) contiene no= 12,5 moles de helio. Cuando se infla el balón hasta que contiene 3,6no= 45 moles, el valor de λ es 1,5, siendo la presión y temperatura Po y To ,respectivamente. κ Calcular el parámetro del globo a, definido como a = en función de n, κo ro Po no y λ , siendo κ o = .Calcular a con dos cifras significativas. 4RTo Parte C Un globo preparado como en d) al nivel del mar ( inflado con λ = 1,5, n= 3,6no= 45 moles de gas helio, a To =303 K y Po = 1,01.105 Pa) tiene una masa total MT=1,12 kg incluido el gas, el propio globo y sus aparejos. e) Si este globo se eleva en la atmósfera, se detiene a una altura zf para la cual la fuerza ascensional es igual al peso. Encontrar zf y la razón de inflado λf a esa altura. Dar las respuestas con dos cifras significativas, no considerar la velocidad de ascensión y que no existe pérdida de gas durante el ascenso. a).-Encontrar la fuerza ascensional FB que actúa sobre el globo en función de P y ∆P. Sobre el globo actúa el empuje como una fuerza vertical y hacia arriba y el peso hacia abajo del globo que incluye los aparejos y el propio peso del gas que contiene. Si consideramos que la fuerza ascensional es el empuje, entonces E = FB = Vglobo * densidad del aire * g El volumen del globo es el volumen que ocupa el gas a la presión P+∆P y a la temperatura T (P + ∆P )Vglobo = nRT © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 405
10.
La densidad del
aire a la presión P y temperatura T g ρ P= RT = RT VM A MA nRT PM A nPM A FB = * *g = *g P + ∆P RT P + ∆P b).- Expresar η en función de zo, ρo, Po y g y encontrar su valor numérico dando el resultado con dos cifras significativas. Al nivel del mar la presión es Po y la temperatura To, a una altura z la presión es PZ y la temperatura TZ. La diferencia de presiones se debe al peso de la columna de aire que existe entre el nivel del mar y la altura z. En un lugar intermedio de altura x ( 0xz) la presión es PX y la temperatura TX. La disminución de la presión al elevarnos una altura dx es: P M dp M g dx − dp x = ρ X g dx = X A g dx ⇒ − X = A ⇒ RTX PX R x To 1 − z o PZ − dp X M A g z o z M Ag zo zo − z ∫ PX = RTo ∫z dx P M g zo ⇒ − ln z = − A [ln(z o − x )]o z =− ln Po o o −x Po RTo RTo zo Tomando logaritmos en la ecuación de la presión dada en el enunciado P z −z ln z = η ln o y comparando con la ecuación anterior resulta: Po zo M A gz o M A gz o ρ g z o 1,16 * 9,8 * 49.10 3 η= = = 0 = = 5,5 RTo Po M A Po 1,01.10 5 R ρo R c).- Calcular ∆P en función de los parámetros dados en la ecuación (2.2) y dibujar la gráfica ∆P frente a λ. Supongamos que la presión del interior del globo es Pi y la exterior Pe. Consideremos un trozo pequeño de superficie del globo ∆S, la fuerza resultante en ese trozo es: Fi-Fe y el trabajo necesario para desplazarlo en dirección radial una distancia dr es: dW∆S = (Fi − Fe ) * dr = (Pi − Pe )∆S * dr = ∆P * ∆S * dr Como el desplazamiento es radial, el trabajo necesario para desplazar toda la envoltura del globo una distancia dr es: dW = ∆P * 4πr 2 * dr Este trabajo se emplea en variar la energía elástica de la goma (ver fórmula en el enunciado) r 2 ro4 4r r 4 * 4r 3 U = 4πro κRT 2 2 2 + 4 − 3 ⇒ dU = 4πro2 κRT 2 − o 8 dr r ro r o r © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 406
11.
Igualando las expresiones
de dW y de dU: 4r 6 r 6 − ro6 1 r6 4πrκRT 4r − 5o = ∆P * 4πr 2 ⇒ ∆P = 4 κRT = 4 κRT − o7 ⇒ r r7 r r 1 r6 4 κRT 1 1 ⇒ 4 κRT λr − 7o 7 ⇒ ∆P = − o λ ro ro λ λ7 ∆P 1 1 La expresión anterior se puede escribir como = − , esta ecuación representa K λ λ7 una curva que tiene un máximo ∆P 1 d 6 K = − 1 − − 7λ = − 1 + 7 = 0 ⇒ 1 = 7 ⇒ λ = 7 6 = 1,38 dλ λ2 λ14 λ2 λ8 λ6 Dando valores a λ , a partir de la unidad se construye la correspondiente gráfica 0,7 0,6 0,5 0,4 ∆ P/K 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 λ d).- Calcular el parámetro del globo a. 4 Cuando el globo tiene 12,5 moles , λ =1 y la ecuación del gas es Po * πro3 = n o RTo 3 4 Cuando tiene 45 moles P * πr 3 = nRTo . De ambas ecuaciones 3 3nRTo 3n o RT0 3RT0 n 4 κRTo 1 1 P − Po = ∆P = − = 3 3 − no = − ⇒ 4πλ ro 3 3 4πro 3 4πro λ ro λ λ7 3 n 3 n n 2 3 − no 2 3 − no 3 3 − n o 16πro λ κ 16πro λ 4RT0 λ 4RTo κ= ⇒a= = * = * 1 1 κo 1 1 Po ro 1 1 3n o RTo − − 16πro3 − 7 λ λ7 λ λ7 λ λ 4πro3 n 45 3 − no − 12,5 a= λ = 1,5 3 = 0,11 1 1 1 1 − 7 n o − 7 * 12,5 1,5 1,5 λ λ © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 407
12.
e).- Encontrar zf
y la razón de inflado λf a esa altura. Designamos con PA a la presión del helio cuando el globo alcanza la altura zf. A esa altura la presión y temperatura del aire son Pz y Tz respectivamente, el radio del globo es r y el número de moles de helio n. Inicialmente el globo se encuentra a To y Po de temperatura y presión siendo su número de moles no. Aplicamos la ecuación de los gases perfectos a las dos situaciones z 3 nTo 1 − f z 4 3 4 3 PA * πr = nRTz ; Po * πro = n o RT0 ⇒ PA r = nTz ⇒ PA 3 λf = o (1) 3 3 3 Po ro n o To Po n o To 3 r λf = r es la razón de inflado cuando el globo ha llegado a la altura zf o A la altura zf se produce un equilibrio entre el empuje y el peso Vglobo * densidad * g = M T * g Vglobo = (4/3) π r3 ; Po M A Pz M A Densidad a Po y To ρ0 = ; densidad a Pz y Tz ρA = , de ambas RTo RTz ecuaciones ρ A Pz M A RTo Pz To = ⇒ ρA = ρo ρ o Po M A RTz Po Tz 4 3 PT Po Tz M T πr * ρ o z o = M T ⇒ Pz = (2) 3 Po T z 4 3 πr ρ o To 3 En el apartado c) hemos deducido que 4κRTz 1 1 PA − Pz = λ − 7 (3) ro f λf PA 3 nTz nPo Tz De la ecuación (1) λf = ⇒ PA = y de la ecuación (2) Po n o To n o To λ3f Po Tz M T Pz = 4 3 πr ρ o To 3 © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 408
13.
Llevados los valores
de PA y Pz a la ecuación (3) y teniendo en cuenta además que κ ar T a= ⇒ κ = aκ o = o o , resulta: κo 4RTo nPo M T PT M 4aro Po RTZ 1 1 n MT 1 1 − o Z T = λ − λ7 ⇒ n λ3 − 4 λ − λ7 ⇒ n o To λ f 4 3 3 4RTo ro f f f f πr ρ o To o f π λ3f ro3ρ o 3 3 n M T Po 1 ⇒ − = a λ2f − 4 n o n o RTo ρ o λf Dando valores numéricos a la última ecuación 1,12 * 1,01.10 5 1 1 3,6 − = 0,11 λ2f − 4 ⇒ 3,6 − 3,098 = 0,11 λ2f − 4 ⇒ 12,5 * 8,31 * 303 *1,16 λf λf 1 ⇒ 4,56 = λ2f − ⇒ 4,56 ≈ λ2f ⇒ λ f = 2,1 λ4f Volviendo de nuevo a la ecuación (2) z z Po To 1 − f M T z η Po To 1 − f M t z PTM o z o Pz = o z T = ⇒ Po 1 − f = ⇒ 4 3 4 zo n o RTo 3 πr ρ o To π λ f ro ρ o To 3 3 λ f ρ o To 3 3 Po η−1 z MT ⇒ 1 − f z = ⇒ (η − 1) ln1 − z f = ln MT o n o RTo λ3f ρ 0 zo n o RTo λ3f ρ 0 Dando valores numéricos zf 1,12 * 1,01.10 5 (5,5 − 1) * ln1 − = ln = ln 0,3346 49 12,5 * 8,31 * 303 * 2,13 * 1,16 z − 1,095 z zf ⇒ ln1 − f = = −0,243 ⇒ 1 − f = 0,784 ⇒ − = −0,216 ⇒ 49 4,5 49 49 z f = 10,6 km ≈ 11 km III.-MICROSCOPIO DE PRUEBA ATÓMICA El microscopio de prueba atómico ( APM) es una poderosa herramienta en el campo de la nanociencia. El movimiento de una palanca en el APM se registra mediante un fotodetector que monitoriza el haz reflejado por un láser ( fig 3.1). La palanca solamente se puede desplazar en vertical y © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 409
14.
su desplazamiento z
en función del tiempo t se describe mediante la ecuación d 2z dz m + b + kz = F dt 2 dt 2 siendo m es la masa de la palanca, k = mωo es la constante del muelle de la palanca ,b es un pequeño coeficiente de amortiguamiento que b cumple ωo 0 , y finalmente F es una fuerza externa aplicada en m el tubo piezoeléctrico Vi=c2z salida Amplificador Foto-detector de enganche Señal de entrada referencia Láser Vi VR V’R Cambiador de fase (desfasador) Piezo-tubo k F Piezo-tubo z=0 m F palanca k muestra m Fig. 3.1.- Diagrama esquemático del microscopio de prueba atómico (APM). El cuadro de la derecha representa una versión simplificada del modelo mecánico que acopla el piezotubo con la palanca Parte A a) Cuando F = Fo sen ω t , z(t) satisface la ecuación (3.1)y se puede escribir como z(t)=A sen (ωt-φ),en la que A0 y 0 ≤ φ ≤ π . Encontrar la expresión de la amplitud A y tag φ en función de Fo , m, ω , ωο y b. Obtener A y la fase φ a la frecuencia de resonancia ω = ωο © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 410
15.
b) Un amplificador
de enganche mostrado en la fig. 3.1 , multiplica la señal de entrada por la señal de referencia de enganche ,V R = V RO senω t , y luego solamente permite pasar la componente continua de la señal multiplicada. Se supone que la señal de entrada esta dada por Vi = ViO sen ω t - φ ; VRO,Vio, ωi , y φi son todas constantes i i positivas conocidas. Encontrar la condición ω0 para una señal de salida no desvanecida. ¿Cuál es la expresión para la señal de corriente continua de salida no desvanecida a esa frecuencia? c) Pasando la señal de enganche a través de un desfasador, el voltaje V R = V RO senω t cambia a V R = V RO sen ω t + ; V R , aplicada al tubo , π , 2 , piezoeléctrico, actúa sobre la palanca con una fuerza F = c1V R , luego el fotodetector convierte el desplazamiento de la palanca ,z , en un voltaje V = c z ; c1 y c2 son constantes. Encontrar la expresión de la señal i 2 continua de salida a ω = ω0 d) Un cambio pequeño, ∆m, en la masa de la palanca cambia la frecuencia de resonancia por ∆ωo. Como resultado la fase φ a la frecuencia original de resonancia ωo, cambia en ∆φ. Encontrar el cambio π de masa ∆m correspondiente a un cambio de fase ∆φ = . Los 1800 parámetros físicos de la palanca son m=1,0.10-12 kg , k=1,0 N/m y (b/m)=1,0.103s-1. Utilice las aproximaciones (1 + x )a ≈ 1 + ax y tag π + x ≈ − 1 , cuando x 1 2 x Parte B Vamos a considerar ahora que algunas fuerzas, además de la fuerza conductora discutida en la parte A, actúe sobre la palanca debida a la muestra tal como indica la figura 3.1 e) Suponiendo que la fuerza adicional f(h) dependa solamente de la distancia h entre la palanca y la superficie de la muestra, se puede encontrar una nueva posición de equilibrio ho. Próximo a h=ho , podemos escribir f(h) ≈ f(ho ) + c 3 (h − ho ) , donde c3 es una constante en h. Encontrar la nueva frecuencia de resonancia ω1 en función de ωo , m y c3 . © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 411
16.
f) Mientras se
escanea la superficie moviendo la muestra horizontalmente, la punta de la palanca cargada con Q = 6e se encuentra con un electrón de carga q=e , atrapado a alguna distancia por debajo de la superficie. Durante el escaneo la máxima desviación de la frecuencia de resonancia ∆ωo,= (ω1 − ωo ) se observa que es mucho más pequeña que ωo Calcular la distancia do desde la palanca al electrón atrapado cuando es máxima la desviación, en función de m, q ,Q , ωo ∆ωo y la constante K de la ley de Coulomb. Evaluar do en nm para ∆ωo=20 s-1.Los parámetros físicos de la palanca son m=1.10-12 kg y k=1 N/m. No considerar cualquier efecto de polarización tanto en a punta de la palanca como en la superficie. 1 N.m 2 ke = = 9,0.10 9 y, e = -1,6.10-19 C 4π εo C 2 a).- Encontrar la expresión de la amplitud A y tag φ Si z(t)= A sen (ωt-ϕ ) dz dt = Aω cos ω t − ϕ ( ; dt ) d2z 2 = − Aω 2 sen ω t − ϕ ( ) Sustituyendo en la ecuación diferencial − mω 2 sen (ω t − ϕ ) + bω cos (ω t − ϕ ) + k sen (ω t − ϕ ) = o sen (ω t ) F ⇒ A ⇒ ( ) ( − mω 2 sen ωt * cos ϕ − cos ωt * senϕ + bω cos ωt * cosϕ + sen ωt * senϕ + ) ( + k sen ωt * cosϕ − cos ωt * senϕ = F0 A sen ωt ) Sacando factor común a sen ωt y a cos ωt F ( senω t − mω 2 cosϕ + bω sen ϕ + kcosϕ − o + cos ω t mω 2 senϕ + b ωcos ϕ − ksenϕ = 0 ) A Si esta ecuación es nula, entonces cada paréntesis debe anularse (mω senϕ + b ωcos ϕ − ksenϕ ) = 0 ⇒ mω senϕ + b ωcos ϕ − mω senϕ 2 2 2 o ⇒ bω ⇒ tagϕ = ( ) (1) m ωo − ω2 2 Fo Fo cosϕ − mω 2 cosϕ + bω sen ϕ + mω o cosϕ = 2 ⇒ A= A ( ) m ω o − ω 2 + bω tagϕ 2 En la última expresión sustituimos la ecuación (1) © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 412
17.
Fo
Fo cosϕ cosϕ A= ( ) = (2) 2 − ω 2 + bω tagϕ m ωo m ωo − ω 2 + 2 b 2ω2 ( ) ( ) m ωo − ω 2 2 De la expresión (1) deducimos que 1 − cos 2ϕ bω 1 b2ω2 = ⇒ −1 = ⇒ cosϕ ( m ωo − ω 2 2 cos 2ϕ ) m 2 ωo − ω 2 2 ( ) 2 ⇒ 1 = ( m 2 ωo − ω2 2 ) 2 − b 2ω2 cosϕ ( m ωo − ω 2 2 ) (3) Llevando la expresión (3) a la ecuación (2) Fo Fo * m ω 2 − ω 2 cosϕ cosϕ o A= = = ( m ωo − ω2 + 2 ) ( b2 ω 2 2 ) 2 m 2 ω2 − ω2 + b 2ω 2 o m ωo − ω m 2 ω 2 − ω2 + b 2ω 2 o F * m ω 2 − ω 2 * o o m ω 2 − ω 2 o F = ⇒A= o (4) m 2 ω 2 − ω 2 + b 2 ω 2 m 2 ω2 − ω2 + b 2ω 2 o o Para la frecuencia de resonancia F π A= o ; tagϕ = ∞ ⇒ ϕ= bω o 2 b).-Encontrar la condición ω0 para una señal de salida no desvanecida. ¿Cuál es la expresión para la señal de corriente continua de salida no desvanecida a esa frecuencia? Señal de entrada Vio = Vio sen (ω i t − φ i ) ; Señal de referencia VR = VRO sen ωt Hacemos el producto de las dos señales, teniendo en cuenta que senα * senβ = [cos(α − β ) − cos(α + β )] 1 2 Hacemos el producto de las dos señales Vi*VR Vio sen (ω i t − φ i ) * VRO sen (ωt ) = Vio VRO [cos(ω i t − φ i − ωt ) − cos(ω i t − φ i + ωt )] = 1 2 = 1 2 [ ( ) ( Vio VRO cos t (ω i − ω ) − φ i − cos t (ω i + ω) − φ i )] (5) © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 413
18.
1 Supongamos que
, Vio VRO = 5, ω i = 5 y ω = 2 , la ecuación (5), queda de la forma 2 5 * cos[t (5 − 2 ) − 1] − cos[t (5 + 2 ) − 1] = 5 * cos(3t − 1) − 5 * cos(7t − 1) .La representación gráfica de la ecuación es: 15 10 5 V=5*cos(3t-1)-5*cos(7t-1) 0 -5 -10 -15 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1 Supongamos que , Vio VRO = 5, ω i = 5 y ω = 5 , la ecuación (1), queda de la forma 2 5 * cos[− 1] − cos[10t − 1] .La representación gráfica de la ecuación es: 10 V=5*cos(-1)-5*cos(10t-1) 8 6 4 2 0 -2 -4 0 0,5 1 1,5 2 La forma de esta onda es como una onda armónica y solamente aparece cuando ωi = ω 1 2 [ ( ) ( Vio VRO cos t (ω i − ω) − φ i − cos t (ω i + ω ) − φ i , si )] ωi = ω ⇒ Vio VRO cosφ i − Vio VRO cos(2ω i t − φ i ) 1 1 ⇒ ( 6) 2 2 © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 414
19.
1 Si en la
ecuación (6) seguimos manteniendo que, Vio VRO = 5 y representamos en un 2 mismo gráfico el primer sumando y , el segundo y la diferencia de ambos obtenemos 10 V=5cos1-5*cos(10t-1) 8 6 4 2 V=5*cos 1 0 -2 -4 V= 5*cos (10t-1) -6 0 0,5 1 1,5 2 La componente de corriente continua es 5*cos1, y de forma general 1 Vio VRO cosϕ i (7) 2 En la expresión (7), ϕi representa la diferencia de fase entre las dos señales c).- Encontrar la expresión de la señal continua de salida a ω = ω0 La señal de entrada al amplificador de enganche es Vi = c 2 z = c 2 A sen(ω t − ϕ ) π Como F = c1 VRO sen ω t + y está aplicada a la palanca el fotodetector tiene la 2 misma frecuencia y por consiguiente la señal de entrada al amplificador de enganche y la señal de referencia tienen la misma frecuencia. Por otra parte si F = Fo senω t , ( ) entonces z = Asen ω t − ϕ siendo ϕ = π π , como ahora, F = c1 VRO sen ω t + , ϕ = 0 2 2 la expresión (7) es: 1 1 Vio VRO cos0 = Vio VRO 2 2 A la frecuencia de resonancia F cV c1c 2 VRO A = o = 1 RO ⇒ Vio = c 2 A = bω o bω o bω o La señal de continua es: 2 1 c1c 2 VRO 2 bω o © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 415
20.
d).- Encontrar el
cambio de masa ∆m correspondiente a un cambio de fase ∆φ π = . 1800 En todo lo que sigue se supone que ∆m y ∆ω o son valores muy pequeños que al multiplicarlos entre sí o al elevarlos al cuadrado esas cantidades se consideran despreciables. La constante k´ para la nueva frecuencia es: ( k ´ = (m + ∆m ) * ω 0 + ∆ω o )2 2 2 2 2 = m ω o + m ∆∆ 0 + 2m ω o ∆ω o + ∆mω o + ∆m∆ω 0 + + 2∆∆m o ∆ω o ⇒ k ´ = m ω o + 2m ω o ∆ω o + ∆mω o ⇒ k ´ − k = 2m ω o ∆ω o + ∆mω o 2 2 2 Y su diferencia con la constante anterior, k´-k, es muy pequeña ∆m ω o k ´ − k ≈ 0 = 2mω o ∆ω o + ∆mω o 2 ⇒ ∆ω o = − (8) 2m bω En el apartado a) hemos visto que tagφ = ( ) y a la frecuencia de resonancia m ωo − ω2 2 π ω = ω0 ⇒ φ = , si ahora cambia la masa de la palanca y sustituimos ω por ωo y la 2 masa por m+∆m, el ángulo π/2 se desplazara un valor ∆ϕ π bω o bω o tag + ∆ϕ = = ≈ 2 [ (m + ∆m ) * (ω o + ∆ω o ) − ω o 2 2 ] (m + ∆m ) * ∆ω o + 2ω o ∆ω o 2 ( ) bω o ≈ = b ⇒− 1 ≈ − 1 = b (9) m2ω o ∆ω o 2m ∆ω o tag∆ϕ ∆ϕ 2m ∆ω o Llevando la ecuación (8) a la (9), obtenemos el valor de ∆m π 1,0.10 3 * 1,0.10 −12 * 1 b b∆ϕ 1800 = 1,7.10 −18 kg − = ⇒ ∆m = = ∆ϕ ∆m ω o ωo 1,0 2m * − 2m 1.0.10 −12 e).- Encontrar la nueva frecuencia de resonancia ω1 en función de ωo , m y c3. Cuando sobre el muelle no actúa la fuerza exterior, éste se encuentra en equilibrio debido al peso de la palanca y a la fuerza elástica del muelle, en la figura la posición (1) 1 2 3 ∆x1 z=0 z1 ho h MUESTRA © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 416
21.
mg= k∆x siendo m
la masa de la palanca y ∆x el alargamiento del muelle respecto de su longitud natural, esto es, sin el peso de la palanca. Cuando el muelle se desplaza de esa posición de equilibrio y actúa la fuerza exterior a ese desplazamiento lo llamamos z y esta regido por la ecuación diferencial d2z dz m + b + kz = F dt 2 dt En la posición 2 existe un nuevo equilibrio debido al peso de la palanca a la fuerza elástica del muelle y a la nueva fuerza que vale f (ho). mg = k (∆x+∆x1)-f(ho) y de las dos ecuaciones se deduce k∆x1 = f(ho) Si ahora la palanca se desplaza una distancia z1 de la nueva posición de equilibrio, la ecuación diferencial es d2z m dz (1 1 ) 1 + b 1 + k z + ∆x = F + f(h) = F + f(ho) + cz ⇒ 1 dt 2 dt d 2z dz ⇒ m 1 + b 1 + kz - cz = F dt 2 dt 1 1 k c3 c mω1 = k − c 3 2 ⇒ ω1 = − = ωo − 3 2 m m m f).- Calcular la distancia do La máxima desviación ocurrirá cuando la punta de la palanca esté a la distancia más próxima al electrón y esto ocurrirá cuando esté justamente encima del mismo Qq f(h) = k e h2 La constante c3 depende de h, por tanto. df 2k Qq c3 = = − e 3 (10) dh h Siendo h=do La desviación de la frecuencia es: c c ∆ω 0 = ω1 − ω o = ω o − 3 − ω o ⇒ ∆ω o + ω o = ω o − 3 2 2 ⇒ m m c ⇒ (∆ω o ) + ω o + 2ω o ∆ω o = ω o − 3 2 2 2 m Como ∆ωo es muy pequeño frente a ωo, resulta que: c3 ∆ω o = − (11) 2mω o © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 417
22.
Combinado las ecuaciones
(10) y (11) k e Qq k e Qq = mω o ∆ω o ⇒ do = 3 d3o mω o ∆ω o Si se aplican los datos numéricos en la última ecuación Q = 6 q = 6. 1,6.10-19 C, ke= 9.109 Nm2/C2, m=1.10-12 kg y k=1 N/m, ∆ωo=20 s-1, k 1 ω0 = = −6 = 10 6 s-1 m 10 9.109.6.(1,6.10 −19 ) 2 d0 = 3 −12 6 =4,1.10-8 m = 41 nm 1,0.10 .10 .20 © José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo. www.profes.net 418
Descargar ahora