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1. Modelamiento teórico del movimiento de la línea de pesca con mosca
Rosa María Chorbadjian y Julio Pozo
Departamento de Ciencias Básicas
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Universidad Diego Portales
Casilla 298-V, Santiago
Resumen
En este trabajo se utilizan algunos de los conocimientos básicos adquiridos en un curso
típico de Mecánica Racional, en donde la formulación de Lagrange juega un rol
preponderante en la representación de las ecuaciones diferenciales involucradas, que se
necesitan para el modelamiento del movimiento de la línea de pesca con mosca durante un
lanzamiento típico.
El problema del lanzamiento de la mosca está relacionado esencialmente con el problema
de n péndulos acoplados en el plano, al cual se le deben agregar los efectos de la gravedad
y la resistencia del aire. El modelo a utilizar se puede considerar como un continuo
unidimensional elástico que es capaz de soportar tensión e inclinación.
El elemento de la línea de pesca se considera como un cuerpo, el cuál está sujeto al peso, la
resistencia del aire, tensiones internas, torsiones y torques. Se encuentra que las ecuaciones
resultantes del movimiento del sistema constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales
no lineales acopladas, las cuales con la ayuda del computador pueden ser resueltas
numéricamente.
1. Introducción: (presentación de un modelo simple)
Dada la complejidad que presenta la descripción general del movimiento del lanzamiento
de la mosca, se iniciará el trabajo considerando un modelo muy simplificado, que es de
gran utilidad y que permite enfrentar este problema. El lanzamiento de la lienza comienza

2. con ésta completamente extendida como se muestra en la fig. 1(d) e instantáneamente en
reposo. La caña se lleva hacia adelante rápidamente impartiéndole una velocidad hacia
adelante y una energía cinética a la lienza. Esto es detenido abruptamente de modo que la
lienza se dobla sobre si misma de tal forma que el extremo de la lienza sigue hacia adelante
como se muestra en las figuras 1(e) y 1(f). Durante este movimiento, la caña inicialmente
se flecta hacia atrás, de modo que después de una detención abrupta almacena una cierta
cantidad de energía potencial, la que posteriormente le imprime a la lienza.
Para tener una idea general de la física asociada al movimiento que sigue con la detención
brusca, vamos a suponer que la caña no se flecta y que la detención abrupta es instantánea.
Con esta simplificación la caña no ejerce un trabajo sobre la lienza después de la
detención, aunque puede ejercer una fuerza. De esta forma si la resistencia del aire y la
gravedad se desprecia, no se realiza trabajo después de la detención y como consecuencia
de ello la energía cinética permanece constante. Sin embargo, debido a que la caña puede
ejercer una fuerza, el momentum de la lienza puede decrecer.
Si z es la longitud de la porción de lienza que aún se está moviendo y υ es su velocidad,
la energía cinética después de la brusca detención será T = µ zυ 2 / 2 ≡ p 2 /( 2µ z ) dónde
µ es la masa por unidad de longitud de la lienza, la cuál en éste simple análisis se supone
que es uniforme en diámetro y densidad. Posteriormente la masa de la mosca se considerará
despreciable
La figura 2(a) ilustra esta situación. Debido a que T es constante, la velocidad está
relacionada con la longitud de la lienza, la cuál se está moviendo con υ = ( 2T / µ z ) 1 / 2 y el
momentum asociado es p = (2 µ zT ) 1 / 2 . Así la velocidad podría aumentar a medida que la
lienza se mueve hacia delante y en este movimiento idealizado se iría a infinito mientras
que el momentum se va a cero. La fuerza que acelera la parte de la lienza que se está
moviendo es proporcionada por la tensión en la lienza. Sin embargo, debido a que la punta
de la caña se supone estacionaria después de la brusca detención, este lanzamiento no
realiza trabajo y no se realiza cambio en la energía cinética de la lienza. El lanzamiento
aumenta a medida que z disminuye, de hecho tanto el lanzamiento como su impulso tienden
a infinito a medida que z tiende a cero en esta teoría simplificada.

3. (a)
(b)
Figuras 1: (a), (b) y (c)

4. Figuras 1: (d), (e) y (f)

5. 1.1 Inclusión de la resistencia del aire
El efecto que produce la resistencia del aire se puede observar a partir de una
generalización de la teoría simplificada anterior. La forma de la lienza se muestra ahora en
la figura 2(b).
Figuras 2
Si l es la longitud total de la lienza y υ la velocidad de la mosca, entonces se puede
escribir:
l = z+h+ x

6. υ = z − x = 2z
& & &
La energía cinética de la lienza esta dada por:
1 1 1
T= µ zυ2 + µ hx 2 = µ ( 4 z + h ) z 2
& & (1)
2 2 2
Si t = 0 se refiere al momento cuando la caña se detiene abruptamente, la energía cinética
puede ser expresada en la forma
1
T ( 0) = µ(l − h)υmc
2
(2)
2
donde υmc es la velocidad máxima de la punta de la caña justo antes que esta se detenga.
La fuerza de la resistencia del aire sobre la parte loop de la lienza de longitud h está dada
por
Q = c D r h ρα z 2
& (3)
donde c D es el coeficiente de arrastre de la lienza de radio r , y ρα es la densidad del aire.
La ecuación de movimiento que permite describir el comportamiento de la mosca se puede
obtener a partir del siguiente Lagrangiano
1 1
L=T = µ ( 4 z + h) z 2 = 2µ z z 2 + µ hz 2
& & & (4)
2 2
En estas condiciones, la ecuación de Lagrange puede ser escrita en la forma
d  ∂L  ∂L
 − =Q (5)
dt  ∂z  ∂z
&
Si µ y h se suponen constantes entonces se obtiene la siguiente ecuación de movimiento:

7. 2 µ z 2 + ( 4 z + h) µ z = Q
& &
& (6)
donde Q al igual que antes, es la fuerza sobre la longitud h debido a la resistencia del aire,
luego, sustituyendo el valor de la fuerza generaliza y luego diferenciando se tiene
( 2µ − c D r h ρα ) z 2 + ( 4 z + h) µ & = 0
& &
z (7)
d k
Por otro lado, teniendo presente que: ( z z ) = z k −1 ( k z 2 + z &)
& & z&
dt
la solución de la ecuación de movimiento permite determinar la velocidad de la mosca en el
extremo de la lienza, la cual está dada por:
k
υ = 2z = 
c 
&  4 
(8)
z+h 
donde
1 c D r hρα 1  hρα 
k= − = − c D
2 4µ 2  4πρl



Siendo ρl es la densidad de la lienza.
Cuando x = 0, z = l − h y υ = υmc la velocidad máxima del extremo de la caña justo
antes de detenerse bruscamente esta dada por
C = υmc (l − 3h / 4) k
y
4l − 3h 
k
υ = υmc 
  (9)
 4z + h 

8. De esta manera la velocidad de la lienza aumentara o disminuirá durante el lanzamiento
dependiendo si k es positivo o negativo tal como se muestra en forma cualitativa en la
figura 3 b). El valor critico del tamaño del loop hc , esta dado por
hc = 2 π r ρl c D / ρa
Para una lienza típica, se puede considerar r ≈ 0.7 mm y hc ≈ 200 cm.
La velocidad máxima υm del lanzamiento ocurre cuando z = 0 siendo h < hc :
&
(4l − 3h) 
k
υm = υmc 
  (10)
 h 
υm / υmc
k = 0.3 Curva superior
k = 0.2 Curva del medio
k = 0.1 Curva inferior
Figura 3 a)
De la ecuación (10) y del gráfico anterior se desprende que esta velocidad puede ser muy
grande si h es pequeño (en la figura 3 a) se pretende entregar sólo una ilustración
cualitativa del sistema).

9. υm / υmc
k = 0.2 k = −0.2
Figura 3 b)
En este lanzamiento se ha contemplado tanto la gravedad, la inclinación de la caña como
también la resistencia del aire, esto inevitablemente complica la descripción detallada del
movimiento de la lienza y genera una extensión más general de esta simple teoría, motivo
por el cual a continuación se presenta un modelo alternativo que es mucho más completo,
y que con la ayuda del computador permite realizar todos los cálculos numéricos que sean
de interés, cuyas soluciones entregan una visión alternativa del movimiento de la lienza
durante el lanzamiento.
2. Modelo y teoría (consideraciones generales)
Para realizar una descripción más completa del sistema y poder entregar mayor información
con respecto al comportamiento mismo, se puede utilizar la figura que se presenta a
continuación.
La figura 1 muestra la geometría de nuestro modelo. La línea de pesca con mosca esta
representado por una serie de cilindros rígidos de masa { mi }i =1 , longitud { l i }i =1 , y
n n
posición {( xi , yi }i =1 . Cada cilindro tiene una orientación en el plano vertical dada por los
n
ángulos {φi }i =1 medidos con respecto a la horizontal. Vamos a suponer que cada cilindro
n
esta restringido a moverse en un plano vertical y conectado a los cilindros vecinos por

10. bisagras sin roce. Cada elemento de línea tiene un momento de inercia con respecto a su
centro geométrico, dado por { I i }i =1 . Como la caña debe permanecer conectada, podemos
n
escribir la posición del centro geométrico del elemento de línea α como {xCM , y CM } en
términos de la orientación de la caña mosquera, los { l i }i =1 , y los {φi }i =1 . Así las variables
n n
dinámicas en nuestro modelo son sólo las orientaciones {φi }i =1 de cada elemento de línea y
n
&
sus primeras derivadas φi { }
n
i =1
.
y
m4 φ4
m3 φ3
m2
φ2
m1
φ1
Coordenadas de mi → ( xi , yi )
Longitudes asociadas → li
donde i = 1,2,3, 4,....
b
θ
x
Figura 3. Geometría para el modelo de la línea de pesca con mosca

11. La caña mosquera se considera como un cilindro rígido de longitud b en la direcciónθ,
como se muestra en la figura. En nuestro modelo, especificamos el movimiento de la caña
mosquera en función del tiempo mediante una función θ (t) determinada empíricamente.
&
Por construcción θ(t) no depende de las variables dinámicas φi , φi { }
n
i =1
. Los términos de
energía cinética y potencial de la caña mosquera, no contribuyen, por lo tanto no están
presentes en las ecuaciones de movimiento de Lagrange; Pero si se considera un modelo
más detallado en el cuál se determina dinámicamente la inclinación de la caña, se debería
incluir estos términos, sin embargo, en nuestro modelo el movimiento de la caña sirve sólo
para proporcionar una ligadura que depende del tiempo sobre el movimiento del primer
elemento de línea.
De esta manera el Lagrangiano L = T − V se puede determinar a partir de la energía
cinética escrita en la forma
1 n 1 n &
T= ∑
2 i =1
mi ( x i2 + yi2 ) + ∑ I i φi2
&
2 i =1
(11)
y la energía potencial
n
V ( y i ) = ∑ mi g y i (12)
i =1
donde:
i −1
1
x i = b cos θ + l i cos φi + ∑ l j cos φ j
2 j =1
i −1
1
y i = b sen θ + l i sen φi + ∑ l j sen φ j
2 j =1
Con lo cual el Lagrangiano L del sistema se puede expresar como:
1 n 1 n n
L= ∑
2 i =1
mi ( x i2 + yi2 ) + ∑ I i φi2 − ∑ mi g y i
&
2 i =1
& (13)
i =1

12. El movimiento de la línea de pesca esta gobernado por n ecuaciones de movimiento de
Lagrange (para cada elemento de la línea) dadas por:
d  ∂L

 ∂L
− = Qj (14)
dt  ∂φ j

&  ∂φ j

Donde el término Qi representa las fuerzas no conservativas en el sistema, en este caso
son las fuerzas debido a la resistencia del aire sobre cada elemento de la línea de pesca.
Vamos a considerar la fuerza debido a la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la
velocidad del elemento de línea. Obtendremos la fuerza a partir de una fuerza F similar a la
función disipación de Rayleigh (ver Goldstein capitulo 1)
1 n 
∑ ( k ⊥ ) j (υ⊥ ) j ) j (υ ) j 
2 2
F= + (k (15)
3 j =1  

con
( k ⊥ ) j = r j l j c D ρa
( k ) j = π r j l j cs ρa
donde r j es el radio del elemento de la línea j, c s es el coeficiente de roce de la superficie
de la línea, c D es el coeficiente de arrastre, y ρa es la densidad del aire. Los términos
debido al arrastre (aire moviéndose con υ⊥ perpendicular al eje del elemento de línea) y/o
al roce de la superficie de la línea (aire moviéndose con velocidad υ a lo largo del eje del
elemento de línea) deberían estar claramente especificados.
Por otro lado, la fuerza debido al arrastre del aire esta dada por
ρ ρ
Faire = −∇ υ F

13. ∂
Notamos que ∇υ →
∂υ
Así la componente de la fuerza generalizada que resulta de la resistencia del aire sobre el
elemento de línea j esta dada por
ρ ρ
n ρ ∂r n ρ ∂r
Q j = ∑ Fi f ⋅ i = −∑ (∇ υ F ) ⋅ i (16)
i =1 ∂φ j i =1 ∂φ j
también se puede escribir
& ρ
n ρ ∂r
Q j = −∑ (∇ υ F ) ⋅ i (17)
&
∂φ j
i =1
ρ
donde ri es el vector posición del elemento de línea i . La expresión anterior escrita en
coordenadas generalizadas tiene la forma
n  ∂(υ⊥ ) j ∂(υ ) j 
Qi = −∑  (k ⊥ ) j (υ⊥ ) j (υ⊥ ) j + (k ) j (υ ) j  (18)
j =1 
&
∂φ j &
∂φ j 
 
donde
(υ⊥ ) j = bθ cos(φi − θ ) + ∑ l j 1 − δi j  φ j cos (φ j − φi )
 1  &
i
& (19)
j =1  2 
(υ ) j = bθ sen (φi − θ ) + ∑ l j  1 − δ i j  φ j sen (φ j − φi )
 1  &
i
& (20)
j =1  2 
1 si i = j
con δi j = 
0 si i ≠ j

14. 3. Resultados conclusiones
Hasta el momento, las ecuaciones fundamentales: (13), (18), (19) y (20) que entrega el
modelo y que describen el comportamiento del sistema han sido desarrolladas y obtenidas,
faltando sólo realizar las sustituciones de éstas en (14) para luego determinar las derivadas
respectivas, que son las que finalmente permiten determinar las ecuaciones de movimiento
de Lagrange.
El proceso se realiza directamente a través de sucesivas aplicaciones de la regla de la
cadena para la diferenciación, procedimiento que no ofrece grandes dificultades, motivo
por el cual se omiten los detalles. Con el objeto de presentar en forma más simple las
relaciones, se ha realizado algún reordenado las sumas. Si definimos los siguientes
símbolos útiles
n
 3 I 
M α = ∑ mi l i2  1 − δi α + α 2 δiα
 4 
 (21)
i =α  mα lα 
n 1
∑ m j − 2mi si i > α
 j =1
Aiα =  n
 m − 1 m si i ≤ α
∑ j 2 α
 j =α
Podemos escribir las ecuaciones de movimiento de Lagrange en coordenadas generalizadas
φα :
M αφα + ∑ mi blα (1 − δiα ) θ cos(θ − φi ) − θ 2 sen( θ − φα ) + cos φi  +
n
&& 1 &
& & g
 
i =α 2  b 
(22)
[ ]
n n n
∑A ll
iα i α
&&
φ cos(φ
i i − φα &
) − φ2 sen(φi − φα ) = ∑ F cos(φα − φ j ) − ∑ F sen( φα − φ j )
D
αj
S
αj
i =1 ≠α j =α j =α
donde:
1
Fi D = r j l j c D j ρα (υ⊥ ) j (υ⊥ ) j l j (1 − δi j )
j
2
1
Fi Sj = r j l j cS j ρα (υ ) j (υ ) j l j (1 − δi j )
2

15. &
Ahora el sistema completo de ecuaciones de Lagrange a resolver para los φi ,φi { } n
i =1
toma la forma:
&& && &&
a11φ1 + a12 φ2 + Λ + a1 n φn = R1
&& && &&
a 21φ1 + a22 φ2 + Λ + a 2 n φn = R2
(23)
Μ Μ Ο Μ Μ
&& && &&
a n1φ1 + an 2φ2 + Λ + ann φn = Rn
donde
n
1 & g 
Ri = −∑ m j bl i (1 − δij ) θ cos(θ − φi ) − θ 2 sen(θ − φ j ) + cos φ j 
& &
j =i 2  b 
n n n
(24)
+ ∑A ll ij i j
&2
φ sen( φ
j i − φα ) − ∑ F cos(φi − φ j ) − ∑ F sen(φi − φ j )
D
ij
S
ij
i =1 ≠i j= i j =i
M i si i = j
a ij = 
 Aij li l j cos(φi − φ j ) si i ≠ j
Los resultados anteriores muestran que estas ecuaciones están de acuerdo con las
obtenidas por otros autores referencia [2], con la excepción del término del momento de
Io
Inercia que aparece en la definición de M α . Evidentemente al incluir la energía
mo l o2
cinética de rotación de los elementos de línea aparece una pequeña contribución numérica
1
a las ecuaciones de movimiento. El ocasional y δ i j aparecen debido a que nuestra
2
elección de coordenadas es ligeramente diferente a la usada en [2] .
Finalmente cabe destacar ya existe algún trabajo preliminar respecto de las soluciones
numéricas de las ecuaciones involucradas (23), cuyos resultados serán dados a conocer en
una publicación futura.
Referencias
[1] H. Goldstein, Mecánica clásica
[2] J. M. Robson, Am. J. Phys. 58 (3) (1990)