derivada

1. • CALCULO 5TA SEMANA
• DERIVADA DE UNA
FUNCION

2. DIFERENCIAL
INCREMENT0
Consideramos como diferencial de la variable x al
aumento o disminución que tiene, desde un valor
x1 a otro x2 , su notación es

3. • Así mismo el diferencial
de la variable y es el
incremento o decremento
que presenta un valor y1
con respecto a otro y2 en
el campo de variación, su
notación matemática es
Δy.
Δy= y1- y2

6. DEFINICION
DE
DERIVADA

7. METODO DE
DERIVADA DE
UNA FUNCION

11. EXPLICACION
DE LA
DERIVADA EN
FORMA
GRAFICA

12. Desarrollo del concepto de derivada
𝒇′ 𝒙 =
𝒙 + 𝒉 − (𝒙)
𝒉
h = suma del límite inferior más la distancia del límite superior
Derivada
𝑓′
𝑥 =
𝑥 + ℎ 2
− (𝑥)2
ℎ
=
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
=
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= 2𝑥 + ℎ
En un intervalo dado; un número tiende a 0
Razón de cambio: El valor de la tangente es el cambio en la relación de la pendiente.

13. FUNCIÓN LINEAL
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Ejemplos
𝑝 0,3
𝑝 (2,1)
𝑦 = −𝑥 + 𝑏
3 = 0 + 𝑏
𝑏 = 3
𝑦 = −𝑥 + 3
CONCEPTO DE DERIVADA
𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 →
∆𝑦
∆𝑥
→ lim =
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎
= 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

14. Derivada en un límite infinitesimal.
lim =
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒇 𝒙
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
=
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
= 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒂
Ejercicio
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟑
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
=
−𝟐 𝒙 + ∆𝒙 + 𝟑 − (−𝟐𝒙 + 𝟑)
∆𝒙
lim
∆𝑥→0
=
−2𝑥−2∆𝑥 +3+2𝑥−3
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
=
−2∆𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
= −2

15. Ejercicio
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏𝟎
=
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝟏𝟎)
𝒙 − 𝟏𝟎
lim
𝑥→10
=
−2𝑥 + 3 − −2 10 + 3
𝑥 − 10
lim
𝑥→10
=
−2𝑥 + 3 + 20 − 3
𝑥 − 10
lim
𝑥→10
=
−2𝑥 + 20
𝑥 − 10
lim
𝑥→10
=
−2 (𝑥 − 10 )
𝑥 − 10
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏𝟎
= −𝟐

16. Hallar la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
aplicando la definición general
lim
∆𝑥→0
=
𝑥+ ∆𝑥 2−𝑥2
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
=
𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2
− 𝑥2
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
=
2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥2)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
=
∆𝑥 (2𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
= 2𝑥 + ∆𝑥
lim
∆𝑥→0
= 2𝑥 + (0)
lim
∆𝑥→0
= 2𝑥

17. Hallar la derivada con la definición de límites:
A). 𝒇 𝒙 = −𝟒
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
=
−4 − (−4)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
=
0
∆𝑥
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
= 𝟎 Derivada de una constante es 0
B). 𝒇 𝒙 = 𝟕𝒙 + 𝟑
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
7 𝑥 + ∆𝑥 + 3 − 7𝑥 + 3
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
7 𝑥 + 7∆𝑥 + 3 − 7𝑥 + 3
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
7∆𝑥
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
7

18. 𝑪). 𝒇 𝒙 = 𝟒 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝒙 𝟐
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
4+5 𝑥+ ∆𝑥 −2 𝑥+ ∆𝑥 2−4+5𝑥−2𝑥2
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
4 + 5𝑥 + 5∆𝑥 − 2𝑥2 − 4𝑥∆𝑥 − 2∆𝑥2 − 4 − 5𝑥 − 2𝑥2
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
5∆𝑥 − 4𝑥∆𝑥 − 2∆𝑥2
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥 (5 − 4𝑥 − 2∆𝑥)
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
5 − 4𝑥 − 2∆𝑥

19. 𝑫). 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
=
1
𝑥
1
2
= 𝑥−
1
2
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 −
1
2 + 𝑥−
1
2
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
1
𝑥+ ∆𝑥
1
2
+
1
𝑥
1
2
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(𝑥)
1
2− 𝑥+ ∆𝑥
1
2
𝑥+ ∆𝑥
1
2− (𝑥)
1
2
.
(𝑥)
1
2− 𝑥+ ∆𝑥
1
2
𝑥+ ∆𝑥
1
2− (𝑥)
1
2
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑥 − 𝑥 + ∆𝑥
𝑥 + ∆𝑥
1
2 ∙ (𝑥)
1
2 ∙ 𝑥
1
2 + 𝑥 + ∆𝑥
1
2 ∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
−1
𝑥 ∙ 2𝑥
1
2
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
−1
2𝑥
2
2
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
−1
2 𝑥3

20. Hallar 𝒇`(𝒙) y el valor de 𝒇` 𝟒 de:
F). 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2 𝑥 + ∆𝑥 − 3 − (2𝑥 − 3)
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2𝑥 + 2∆𝑥 − 3 − 2𝑥 + 3
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2∆𝑥
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2

21. Encontrar la derivada mediante el proceso del limite :
A). 𝒇 𝒙 = −𝟓𝒙
−5 𝑥 + ∆𝑥 + 5𝑥
∆𝑥
−5∆𝑥 − 5𝑥 + 5𝑥
∆𝑥
−5∆𝑥
∆𝑥
−𝟓
B). 𝒇 𝒙 = 𝟑 +
𝟐
𝟓
𝒙
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝟑 +
𝟐
𝟓
𝑥 + ∆𝑥 − 𝟑 +
𝟐
𝟓
𝒙
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝟑 +
𝟐
𝟓
𝒙 +
𝟐
𝟓
∆𝑥 − 𝟑 +
𝟐
𝟓
𝒙
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2
5
∆𝑥
∆𝑥
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2
5

22. 𝑪). 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙 − 𝟏
𝑓` 𝑥 = lim
∆𝑥→0
2 𝑥 + ∆𝑥 2
+ 𝑥 + ∆𝑥 − 1 − 2𝑥2
+ 𝑥 + 1
∆𝑥
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟐 𝒙 𝟐
+ 𝟐∆𝑥 𝑥 + ∆𝑥2
+ 𝑥 + ∆𝑥 − 𝟏 + 2𝑥2
∆𝑥
.
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙∆𝑥 + 2∆𝑥2
+ 𝑥 + ∆𝑥 − 1 − 2𝑥2
+ 1 − 𝑥
∆𝑥
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟒𝒙∆𝑥 + 2∆𝑥2
+ ∆𝑥
∆𝑥
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
∆𝑥 (4𝑥 + 2∆𝑥 + 1)
∆𝑥
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
4𝑥 + 2∆𝑥 + 1
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
4𝑥 + 1