Ejercicios de ecuaciones diferenciales

1. Universidad Fermín toro
Vice rectorado académico
Facultad de ingeniería
Escuela de Mantenimiento Mecánico
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales
Alumnos:
Jorge Montilla
C.I: 15187701
Mauren Torrealba
C.I: 18323817
Matemática 4
Cabudare, Junio del 2015

2. Ejerciciosde EcuacionesDiferenciales
1. Determine si lafunciónessoluciónde laecuacióndiferencial
Y= senx.Ln(cscx + ctgx) ; Y” + Y= -ctgx
Derivando:
Y´= cosx.Ln(cscx + cotgx) + senx . 1/cscx + ctgx . (-cscxcotgx-csc2
x)
Y´= cosx.Ln( cscx + ctgx)- senxcscx (cotgx+csc2
x)
(cscx + ctgx)
Y´= cosx.Ln(cscx+cotgx) – senx .1/senx
Y´= cosx.Ln(cscx+ctgx)
Y”= -senx.Ln(csx+cotx)+-cscxcotgx-(csc2
x.cosx)
Cscx+ctgx
Y”= -senx.Ln(csx+cotx)–csx.cscx.(cscx+ctgx)
(cscx+ctgx)
Y”= -senx.Ln(csx+cotx)–cosx . 1/senx
Y”= -senx.Ln(csx+cotx)–ctgx
Sustituyendo:
Y” + Y = -senx.Ln(csx+cotx) –ctgx + senxLn(cscx+ctgx)
Y” + Y = -ctgx
Así, Y= senxLn(cscx+ctgx) essoluciónde Y”+ Y= -ctgx
2.- Resolverlasecuacionesdiferencialesde primerordende acuerdo al método correspondiente.
a.-) senxcosxY´ + Y=tg2
x
Y´ + 1/senxcosx Y= tg2
x/senxcosx
Y´ + 2/sen2x Y= tg2
x/senxcosx
La ecuación es lineal con P(x)= 2/sen2x
q(x)= tg2
x/ senxcosx
Factor integrante
μ=e∫P(x)dx
= e∫2/senx. dx
= e 2∫cscx2xdx
μ=e2 1/2xLn (csc2x-cotg2x)
= csc2x-cotg2x
Solución
Y= 1/μ (∫μ4(x)dex+c)
Y= 1/csc2x-cotag2x (∫(csc2x-cotag2x). tg2
x/senxcosx dx+c)

3. { {
Y= 1/1-cos2x/sen2x ( ∫1-cos2x/sen2x . tg2
x/senxcosx dx+c)
Y= sen2x/2sen2
x ( ∫2sen2
x/ sen2x . tg2
x/senxcosx dx+c)
Y= 2senxcosc/sen2
x (∫2sen2
x/2senxcosc . tg2
x/senxcosx dx+c)
Y= 2cosc/senx (∫tg2
x/cos 2
x dx+c)
I= 2cotagx (∫1-cos2
x/cos2
x dx+c)
I= 2cotagx (∫sec 4
xdx - ∫sec 2
xdx dx+c)
I= 2cotagx (tgx+1/3tg3
x-tgx+c)
I= 2cotagx. 1/3tg3
x+c cotsx
I= 2/3 tg2
x - c cotsx
b.-) (e2y
-Ycosxy)dx+(2x e2y
– xcosxy+2y)dy=0
M= e2y
-Ycosxy ; N= 2x e2y
– xcosxy+2y
∂M/∂y = 2x e2y
-cosxy+xysenxy
∂N/∂y = 2x e2y
-cosxy+xysenxy
∂M/∂y= ∂N/∂y la ecuación es exacta
La solución sería F(x,y)=c, siendo
∂f/∂x=M ∂f/∂x= e2y
-Ycosxy (ec1)
∂f/∂y= N ∂f/∂y= 2x e2y
– xcosxy+2y (ec2)
Integro la ec1:
F(x,y)= ∫( e2y
-Ycosxy)dx +g(y)
F(x,y)=xe2x
-senxy+g(y) (eca)
Derivo eca respecto a Y
∂f/∂y = 2x e2y
– xcosxy+g`(y) (ecb)
Integro ecb y ec2
2x e2y
– xcosxy+g`(y)= 2x e2y
– xcosxy+2y
g`(y)= 2y → g= y2
sustituyo g(y) en eca
F(x,y)=xe2x
-senxy+y2

4. La solución sería
F(x,y)=c
xe2x
-senxy+y2
= c
3.- Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados
a.- Y”+Y´= 2e2x
senx
b.- Y”+9Y= 93x+3cosx
a.- Y”+Y´= 2e2x
senx
Ecuación Homogénea Raices
Y”+Y´=0 m2
+m=0
m(m+1)=0
m1=0 , m2=-1
Solución homogénea:
Yh= c1em1x
+ c2em2x
Yh= c1e0
+ c2e-1x
Yh= c1+ c2e-x
Solución particular
Yp= e2x
(Acosx+Bsenx), ya que F(x)= 2e2x
senx
Derivando:
Yp`= e2x
(2Acosx+2Bsenx- Asenx+Bcosx)
Yp`= e2x
((2A+B)cosx+(2B- A)senx)
Yp`= e2x
((4A+2B)cosx+(4B-2A)senx)+ (-2A-B)senx+(2B- A)cosx)
Yp”: e2x
((3A+4B)cosx+ (-4A-3B)senx)
Sustituyo en la ecuación diferencial
Y”+Y´= 2e2x
senx
e2x
[(5A+5B)cosx+(-5A+5B)senx]= 2e2x
senx

5. {5A+5B=0 A=-1/5
-5A+5B=2 B= 1/5
Así: Yp= e2x
(-1/5 cosx + 1/5 senx)
La solución es:
Y= Yh+Yp
Y= c1+c2e-x
+ e2x
(-1/5 cosx + 1/5 senx)
b.- Y”+9Y= 93x+3cosx
Ecuación Homogénea Raices
Y”+9Y= 0 m2
+a=0
m= ±3i
Solución Homogénea
Yh= C1cos3x+C2sen3x
Solución Particular
Como F(x)= 93x+3cosx
Entonces:
Yp= Ax+B+Ccosx+Dsenx
Derivando:
Yp´= A-Csex+Dcosx
Yp”= -Ccosx-Dsenx
Sustituyo en la ecuación diferencial
Yp”+9Yp= 93x+3cosx
-Ccosx-Dsenx+3ª+3B+3cosx-3Dsenx=93x+3cosx
2Ccosx-4Dsenx+3Ax+3B= 93x+3cosx
2C=3 C=3/2
-4D=0 D=0
3A=93 A=31
3B=0 B=0
Luego: Yp= 31x+3/2 cosx

6. Solución general
Y= Yh+Yp
Y=C1cos3X+C2sen3x+31x+3/2 cosx
4.- Resolver por variación de parámetros
Y”+9Y= ¼ (cosec3X)
Ecuación homogénea Raices
Y”+9Y=0 m2
+a=0
m= ±3i
Solución Homogenea
Yh= C1cos3x+C2sen3x
Solución Particular
Yp= cos3x. C1(x)+sen3x. C2(x)
Resuelvo el sistema:
cos3x. C1`(x)+sen3x. C2`(x)=0
-3sen3xC1`(x)+ 3cos3x C2`(x)= ¼ cosec3X
Aplicando Cramer:
0 sen3x
C1`(x)= ¼ cosec3x 3cos3x
Cos3x sen3x
-3senx 3cos3x
C1`(x)= -1/4 csc3x.sen3x = -1/4 1/sen3x sen3x
3cos2
3x+ 3sen2
3x 3
C1`(x)= -1/12 => C1`(x)= -1/12 x
Cos3x 0
C2`(x)= -3sen3x ¼ csc3x
3

7. C2`(x)= 1/3. ¼ cos3x.csc3x= 1/12 cotg3x
C2`(x)= 1/12 ∫ cotg3xdx = 1/12 . 1/3 Ln(sen3x) = 1/36 Ln Isen3xI
Luego:
Yp= -1/12 x . cos3x + 1/36 Ln Isen3xI sen3x
Solución general
Y= Yh + Yp
Y= C1cos3x+C2sen3x - 1/12 x . cos3x + 1/36 Ln Isen3xI sen3x