1. Julián Moreno Mestre
www.juliweb.es tlf. 629381836
Ejercicios de representación de funciones:
Primer ejemplo:
f ( x) =
1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ − { }
1
2º) Simetrías.
f (− x) =
1
x −1
No es par
1 ⎧ ≠ f ( x)
⎨
− x − 1 ⎩≠ − f ( x) No es impar
No hay simetría.
3º) Puntos de corte.
Eje x: f ( x) = 0 ⇒
Eje y: f (0) =
1
≠ 0 ⇒ No corta el eje x.
x −1
1
= −1 ⇒ (0,−1)
0 −1
4º) Asíntotas
1
= ±∞ ⇒ x = 1
x→1
x→1 x − 1
1
Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim
=0⇒ y =0
x→ ±∞
x→±∞ x − 1
Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal.
5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
−1
−1
f ' ( x) =
→ f ' ( x) = 0 ⇒
≠0
2
( x − 1)
( x − 1) 2
No tiene puntos candidatos a máximos y mínimos.
Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera:
x=1
-1
–
–
2
+
+
( x − 1)
f ' ( x)
–
–
Siempre es decreciente excepto en x = 1.
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
2
2
f ' ' ( x) =
→ f ' ' ( x) = 0 ⇒
≠0
( x − 1) 3
( x − 1) 3
No tiene puntos candidatos a puntos inflexión.
Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda:
x=1
2
+
+
3
–
+
( x − 1)
f ' ' ( x)
–
+
Convexa en (1, ∞) y cóncava en (−∞,1)
Asíntota vertical: lim f ( x) = lim
1

2. Julián Moreno Mestre
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7º) Representación gráfica:
Segundo ejemplo:
f ( x) =
1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ
2º) Simetrías.
f (− x) =
−x
=−
x
x
x2 + 1
= − f ( x) Simetría impar
(− x) 2 + 1
x2 +1
Eje de simetría perpendicular a los ejes x e y.
3º) Puntos de corte.
x
Eje x: f ( x) = 0 ⇒ 2
= 0 ⇒ x = 0 ⇒ (0,0)
x +1
0
= 0 ⇒ (0,0)
Eje y: f (0) =
0 +1
4º) Asíntotas
Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales.
x
Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim 2
=0⇒ y =0
x →∞
x→±∞ x + 1
Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal.
5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
( x 2 + 1) − 2 x· x
1− x2
1− x2
f ' ( x) =
= 2
→ f ' ( x) = 0 ⇒ 2
= 0 → x = ±1
( x 2 + 1) 2
( x + 1) 2
( x + 1) 2
x = ±1 Son puntos candidatos a máximos y a mínimos.
2

3. Julián Moreno Mestre
www.juliweb.es tlf. 629381836
Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera:
x=–1
x=1
2
–
+
1− x
–
+
+
+
( x + 1)
f ' ( x)
–
+
–
Decreciente en (−∞,−1) ∪ (1, ∞) . Creciente en (−1, 1) .
1
1
⎛ 1⎞
Máximo por tanto en x = 1 ⇒ f (1) = 2
= ⇒ ⎜1, ⎟
⎝ 2⎠
1 +1 2
−1
1⎞
1
⎛
Mínimo en x = – 1 ⇒ f (−1) = 2
= − ⇒ ⎜1, − ⎟
2
2⎠
⎝
1 +1
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
− 2 x( x 2 + 1) 2 − 2·2 x( x 2 + 1)(1 − x 2 ) 2 x 3 − 6 x
2x3 − 6x
f ' ' ( x) =
= 2
→ f ' ' ( x) = 0 ⇒ 2
=0
( x 2 + 1) 4
( x + 1) 3
( x + 1) 3
2
2
x=0 x=± 6
Tres puntos candidatos a puntos inflexión, .
Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda:
x=0
x=
x= − 6
3
–
+
–
2x − 6x
( x 2 + 1)3
f ' ' ( x)
+
+
+
6
+
+
–
+
–
+
Cóncava en (−∞,− 6 ) ∪ (0, 6 ) y convexa en (− 6 ,0) ∪ ( 6 , ∞)
Los puntos candidatos, son por tanto puntos de inflexión con coordenadas:
0
x = 0 ⇒ f (0) = 2
= 0 ⇒ (0,0)
0 +1
⎛
6
6⎞
± 6
⎟
x = ± 6 ⇒ f (± 6 ) =
=±
⇒ ⎜ ± 6 ,±
⎜
6 +1
7
7 ⎟
⎝
⎠
7º) Representación gráfica:
3

4. Julián Moreno Mestre
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Tercer ejemplo:
f ( x) =
1
x −1
1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ − {± 1}
2º) Simetrías.
1
1
f (− x) =
= 2
= f ( x) Simetría par
2
(− x) − 1 x − 1
Eje de simetría y.
3º) Puntos de corte.
1
Eje x: f ( x) = 0 ⇒ 2
≠ 0 No tiene.
x −1
1
Eje y: f (0) =
= 1 ⇒ (0,1)
0 −1
4º) Asíntotas.
1
= ±∞ ⇒ x = 1
Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim 2
x→1
x→1 x − 1
1
lim f ( x) = lim 2
= ±∞ ⇒ x = −1
x→ −1
x → −1 x − 1
1
Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim 2
=0⇒ y =0
x →∞
x→±∞ x − 1
Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal.
5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
− 2x
− 2x
f ' ( x) = 2
→ f ' ( x) = 0 ⇒ 2
=0→x=0
2
( x − 1)
( x − 1) 2
x = 0 Punto candidato a máximo o a mínimo.
Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera:
x=–1
x=0
x=1
− 2x
+
+
–
–
2
2
+
+
+
+
( x − 1)
f ' ( x)
+
+
–
–
Decreciente en (0, ∞) − { }. Creciente en (−∞,0) − {− 1}. Y como se puede ver, hay un
1
máximo en x = 0, cuyas coordenadas son:
1
x = 0 ⇒ f (0) = 2
= −1 ⇒ (0, − 1)
0 −1
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
− 2( x 2 − 1) 2 + 2 x·2 x·2( x 2 − 1) 6 x 2 + 2
6x2 + 2
= 2
→ f ' ' ( x) = 0 ⇒ 2
≠0
f ' ' ( x) =
( x 2 − 1) 4
( x − 1)3
( x − 1)3
No hay puntos candidatos a puntos inflexión.
4
2

5. Julián Moreno Mestre
www.juliweb.es tlf. 629381836
Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda:
x = –1
x=1
2
+
+
6x + 2
+
–
( x − 1)
f ' ' ( x)
+
–
Cóncava en (−1, 1) y convexa en (−∞,−1) ∪ (1, ∞)
7º) Representación gráfica:
2
3
+
+
+
Cuarto ejemplo:
f ( x) =
x2
x +1
1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ − {− 1}
2º) Simetrías.
No es par
(− x) 2
x 2 ⎧ ≠ f ( x)
f ( − x) =
=
⎨
− x + 1 1 − x ⎩≠ − f ( x) No es impar
No hay simetría.
3º) Puntos de corte.
x2
= 0 ⇒ (0,0)
Eje x: f ( x) = 0 ⇒
x +1
0
= 1 ⇒ (0,0)
Eje y: f (0) =
0 +1
4º) Asíntotas.
x2
= ±∞ ⇒ x = −1
Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim
x→ −1
x → −1 x + 1
x2
= ±∞ ⇒ No tiene asíntota horizontal.
x→±∞ x + 1
Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim
x→∞
5

6. Julián Moreno Mestre
www.juliweb.es tlf. 629381836
f ( x)
x2
= lim 2
=1
x→±∞ x
x→±∞ x + 1
x2
−x
n = lim ( f ( x) − mx) = lim
− x = lim
= −1
x→±∞
x→±∞ x + 1
x→±∞ x + 1
La asíntota oblicua es y = x – 1.
5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
⎧ x=0
2 x( x + 1) − x 2 x 2 + 2 x
x 2 + 2x
=
→ f ' ( x) = 0 ⇒
f ' ( x) =
=0⇒⎨
2
2
2
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
⎩ x = −2
Dos puntos candidatos a máximo o a mínimo.
Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera:
x=–2
x=–1
x=0
2
–
–
+
+
x + 2x
2
+
+
+
+
( x + 1)
Asíntota oblicua: m = lim
f ' ( x)
–
–
+
+
Creciente en (−∞,−2) ∪ (0, ∞) y decreciente en (−2, 0) − {− 1}. Por tanto:
Máximo x = – 2 ⇒ f (−2) =
Mínimo x = 0 ⇒ f (0) =
(−2) 2
= −4 ⇒ (−2,−4)
− 2 +1
02
= 0 ⇒ (0,0)
0 +1
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
(2 x + 2)( x + 1) 2 − ( x 2 + 2 x)·2( x + 1)
2
2
f ' ' ( x) =
=
→ f ' ' ( x) = 0 ⇒
≠0
( x + 1) 4
( x + 1) 3
( x + 1) 3
No tiene puntos candidatos a puntos de inflexión.
Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda:
x = –1
+
+
2
3
–
+
( x + 1)
f ' ' ( x)
–
+
Cóncava en (−∞, − 1) y convexa en (−1, ∞) .
7º) Representación gráfica:
6