3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Mide que tanto se dispersan las observaciones alrededor
de su media.
Las medidas de tendencia central son de gran importancia y aportan gran cantidad
de información individualmente, sin embargo no hay que dejar de señalar que en
muchas ocasiones esa información, no sólo no es completa, sino que puede inducir
a errores en su interpretación, es por ello que se hace gran utilidad las medidas de
dispersión.
También llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una
distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de
una variable están muy alejadas de la media.
Cuanto mayor sea ese valor, mayor ser
á la variabilidad, y cuanto menor sea,
más homogénea será a la media.
Así se sabe si todos los casos son
parecidos o varían mucho entre ellos.
4. Por ejemplo:
se toman por ejemplo los tres conjuntos de datos que se observan a continuación.
Conjunto de datos 1: 0,5,10
Conjunto de datos 2: 4,5,6
Conjunto de datos 3: 5,5,5
· Los tres (3) tienen una media de cinco (5)
¿ Se debe por tanto concluir que los conjuntos de datos son similares ?
Hay 2 tipos de medidas de dispersión , que son:
1. Medidas dispersión absolutas
2. Medidas dispersión relativa
5. - Medidas dispersión absoluta:
· Rango o Recorrido
· Rango o recorrido intercuartilico
· Desviación media
· Desviación estándar o típica
· Varianza
· Desigualdad de tchebycheff
· Estandarización
Medidas de dispersión absoluta ( viene expresada en el mismo valor de la
variable)
- Medidas de dispersión relativa:
· Coeficiente de variación
Medidas de dispersión relativa ( viene expresada en porcentaje)
6. • Rango
valor máximo- valor mínimo
• Rango intercuartilico
Q3-Q1
Donde:
Q3 = tercer cuartil
Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:
Donde:
L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares
del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75%
percentil.
7. Requisitos del Rango
Ordenamos los números según su tamaño.
Restamos el valor mínimo del valor máximo
Rango = (Max – Min)
Ejemplo:
Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus
valores se encuentran en un rango de:
Rango = (9 – 4) = 5
8. Medio rango o Rango medio.
El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del
mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y
el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:
Ejemplo:
Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato
de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente
fórmula sería:
Representación del medio rango:
9. • Desviación Típica o Estándar
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Propiedades de la desviación típica:
1. La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica
no varía.
3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
típica queda multiplicada por dicho número.
4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
10. Se Desviación típica muestral
Desviación típica poblacional
• Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribución estadística.
La varianza se representa por:
11. Propiedades de la varianza:
1. La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza
queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Observaciones sobre la varianza:
1. La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones
extremas.
2. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la
varianza.
3. La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que
las desviaciones están elevadas al cuadrado.
12. • Coeficiente de Variación de Pearson
Permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es
satisfactorio. Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las
desviaciones típicas (raíz cuadrada de las varianzas).
Teniendo en cuenta el valor de la covarianza y las varianzas, se puede evaluar
mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes:
Ejemplo Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3
y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la
correspondiente fórmula sería:
13. Propiedades del coeficiente de variación:
1. El coeficiente de correlación, r, presenta valores entre –1 y +1.
2. Cuando r es próximo a 0, no hay correlación lineal entre las variables. La nube
de puntos está muy dispersa o bien no forma una línea recta. No se puede
trazar una recta de regresión.
3. Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlación positiva entre las
variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine
tendrá pendiente positiva, será creciente.
4. Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlación negativa entre las
variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine
tendrá pendiente negativa: es decreciente.
