FORMULARIO

1. JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
INGENIERÍACIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA
1
 
ESPACIOS VECTORIALES
Es un conjunto infinito “V” no vacío donde sus objetos son llamados vectores
sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar,
siendo su Estructura   ,,V
¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL?
Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de
vectores







n
uuuuuV ,.......,,, 4321
el otro de escalares  nkkkkK ,.......,,, 321
SUB-ESPACIOS
Es un conjunto “S” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre
los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, siendo
su Estructura   ,,V
¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL?
Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de
vectores







n
uuuuuS ,.......,,, 4321
el otro de escalares  nkkkkK ,.......,,, 321
1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: Suu 

21
1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: Suk 

1
SUB ESPACIO VECTORIAL “S” (CONDICION )
En los problemas veremos que es necesario expresar al sub espacio como
conjunto con restricción de esta manera siempre reconoceremos las condiciones
del conjunto para fines prácticos lo veremos de esta forma general
 CONDICIONVECTORIALESPACIOS /
COMBINACIÓN LINEAL
COMBINACIÓN LINEAL ES LA FORMA DE ESCRIBIR UN VECTOR
COMO RESULTANTE (SUMA DE VECTORES)
Sea un conjunto ““V””







n
uuuuuV ,.......,,, 4321 ,

w que pertenece al espacio
vectorial “V” y un conjunto de escalares  nkkkkK ,.......,,, 321 , si puede escribir:
“Todo vector se puede escribir como la suma de un
espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector”

 nn ukuukukukw .......4332211
Para que exista una combinación lineal los valores nkkkk ,.......,,, 321
deben
existir para cada vector de







n
uuuuuV ,.......,,, 4321
del espacio “V”
INDEPENDENCIA LINEAL
Sea un conjunto ““V””







n
uuuuuV ,.......,,, 4321
,

w que pertenece al espacio
vectorial “V” y un conjunto de escalares  nkkkkK ,.......,,, 321 , todos los
escalares son cero :
“Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio
vectorial multiplicado por un escalar a cada vector”

 nn ukuukukuk .......0 4332211
SISTEMA HOMOGÉNEO:     0KA FORMA MATRICIAL
LINEALMENTE INDEPENDIENTE: 0A
LINEALMENTE DEPENDIENTE: 0A
NOTA: SI UN CONJUNTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE
ES BASE (GENERADOR)
TEOREMA
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente
dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro
DIMENSIÓN DE LA BASE “Dim()”
Es el número de vectores no nulos que tiene una base







n
uuuuuBASE ,.......,,, 4321   nBASEDim 
       TWDimTDimWDimTWDim 
     TDimWDimTWDim 
TEOREMA:
Sea V un espacio vectorial sobre k de dimensión finita, si W es un
subespacio propio de V, entonces:    WDimVDim
W
V
Dim 






2. JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
INGENIERÍACIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA
2
 
PRODUCTO INTERNO
Es un conjunto infinito “V” no vacío donde sus objetos son llamados vectores
sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar,
siendo su Estructura   ,,V
¿CUANDO ES UN ESPACIO CON PRODUCTO INTERIOR?
Debe cumplir con 4 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de
vectores el otro de escalares
Axioma (1). Conmutatividad:

 uvvu ;;
Axioma (2). Distributividad:

 wuvuwvu ;;;
Axioma (3). Homogeneidad:

 vuvu ;; 
Axioma (4). Positividad: 0; 

uu
PROYECCIÓN DE UN VECTOR

u SOBRE OTRO VECTOR

v : 



 v
v
vu
uoy
v
2
;
Pr
PROYECCIÓN DE UN VECTOR

u SOBRE UNA BASE ORTONORMAL







n
vvvvvB ,.......,,, 4321 :

 nnB vvuvvuvvuvvuuoy ;...;;;Pr 332211
ANGULO ENTRE DOS VECTORES

u ,

v : 


vu
vu;
cos
MODULO DE UN VECTOR:

 uuu ;
DISTANCIA ENTRE VECTORES:

 vuvuvud ;
ORTOGONALIDAD ENTRE VECTORES 0; 

vu
PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN DE BASES GRAHAM SCHMIDT
Sea una base








nuuuuuB ,.......,,, 4321 y la base ortonormalizada será








',.......',',','' 4321 nuuuuuB 



1
1
1'
u
u
u
'';
'';
'
1122
1122
2 





uuuu
uuuu
u
'';'';
'';'';
'
1132233
1132233
3 





uuuuuuu
uuuuuuu
u
'';'';.......'';'';
'';'';.......'';'';
'
11222211
11222211






















uuuuuuuuuuuuu
uuuuuuuuuuuuu
u
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
n