llenado de un tanque

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA PRIVADA DE SANTA CRUZ
LLENADO DE UN
TANQUE
Simulación y Modelos
Jorge Luis Aguirre Leigue
Saúl Calle Espinosa
Fernando Rene Gareca Vallejos
Eileen Katherine Marinez Leaños
Ing. Gabriel Alejandro Cabezas

2. Introducción.-
Las matemáticas son conocidas comúnmente por operaciones, cálculos algebraicos,
graficas geométricas, etc., pero más que eso son aplicadas en la vida real en problemas
cotidianos en nuestra sociedad.
Calculo I, calculo II, calculo III y ecuaciones diferenciales son materias en el plan de
estudios de cualquier ingeniería, donde se resuelven ejercicios sin ningún significado. Pero
una vez estudiando esta materia nos damos cuenta de la importancia que tienen las
matemáticas.
Problemas de caída libre, vaciado de cualquier recipiente, hidráulica, tensión de cables,
circuitos eléctricos, etc., son problemas del cual podemos ver las aplicaciones de las
matemáticas del cual se utilizan todos los métodos aprendidos en materias anteriores,
especialmente con ecuaciones diferenciales.
Objetivos.-
 Demostrar de forma analítica aplicando ecuaciones diferenciales el llenado de un
recipiente cilíndrico.
 Aplicar todos los métodos matemáticos aprendidos en clase en la demostración de
dicho proyecto.
 Comprender las aplicaciones de las matemáticas aplicadas en problemas reales, que
surgen en nuestra vida cotidiana.
Marco Teórico.-
Los tanques de agua son un elemento fundamental en una red de abastecimiento de agua
potable, para compensar las variaciones horarias de la demanda de agua potable.
El llenado de estos tanques es un tema muchos matemáticos y físicos han demostrado que se
puede calcular por fórmulas matemáticas, como lo haremos en este proyecto.

3. Problema.-
Calcular el tiempo que tarde en llenarse un tanque de agua de forma cilíndrica.

4. 푑ℎ
푑푡
훼퐴
푑ℎ
푑푡
= 푘2휋푟(ℎ + 푟)
푑ℎ
푑푡
= 2푘휋푟ℎ + 2푘휋푟2
푑ℎ
푑푡
− 2푘휋푟ℎ = 2푘휋푟2

5. h = [∫ 2푘휋푟2 푒− ∫ 2푘휋푟 푑푡 푑푡+c]푒∫ 2푘휋푟 푑푡
h = ∫ 2푘휋푟2 푒−2푘휋푟푡
−2푘휋푟
푑푡 +c]푒2푘휋푟푡
h = [-r푒−2푘휋푟푡 + 푐]푒2푘휋푟푡l
h = [-r푒−2푘휋푟푡푒2푘휋푟푡+c푒2푘휋푟푡 ]
h = [-r +c푒2푘휋푟푡]
푡 = 0 ℎ = 0
0 = −푟 + 푐
푐 = 11.85
푡 = 0 ℎ = 5.8
5.8 = −11.85 + 11.85 푒2푘∗11.85∗3.93
5.8 + 11.85
11.85
= 푒2푘∗11.85∗3.93
ln 1.48 = ln 푒292.61푘
0.39 = 292.6푘
K = 1.3푥10−3
Reemplazando en la fórmula: h(t)
ℎ(푡) = −11.85 + 11.85 푒2∗1.33푥10−3∗휋∗11.85∗푡
ℎ(푡) = −11.85 + 11.85 푒0.01푡
Aplicación de la transformada de La Place en el llenado del tanque:
ℎ(푡)= −푟+푐푒2푘휋푟푡
ʆ
ℎ
(푠)=−
푟
푠
+푐
1
푠−2휋푟푘
Grafica utilizando MATLAB.-

6. Conclusiones.-
Podemos concluir los siguientes puntos:
 La importancia que tienen las matemáticas en los problemas de la vida real, gracias
a ella se pueda calcular de manera exacta sus resultados.
 Aprender a plantear un problema utilizando leyes y formulas aprendidas en materias
anteriores.
Anexos.-
Ejemplos de llenado de tanques