Ejercicio 57 de la pagina 935

1. EJERCICIO 57 DE LA PAGINA 935
Si 𝑇(𝑥, 𝑦) es la temperatura en un punto (𝑥, 𝑦) sobre una placa metálica delgada en el plano XY,
las curvas de nivel de T se llaman entonces curvas isotérmicas. Todos los puntos en tal curva están
en la misma temperatura. suponga que una placa ocupa el primer cuadrante y
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
a.-Trace las curvas isotérmicas sobre las cuales T=1, T=2, T=3.
𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐿𝐴 𝐶𝑈𝑅𝑉𝐴 𝐷𝐸 𝑁𝐼𝑉𝐸𝐿 𝑇 = 1
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
𝑧 = 𝑇 = 𝑥𝑦
1 = 𝑥𝑦
1
𝑥
= 𝑦

2. Esa es la gráfica de y=1/x; pero como la placa metálica solo se encuentra en el primer cuadrante
entonces la gráfica sería la siguiente.
𝑦 = 1/𝑥 ; Para
T=1

3. 𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐿𝐴 𝐶𝑈𝑅𝑉𝐴 𝐷𝐸 𝑁𝐼𝑉𝐸𝐿 𝑇 = 2
𝑧 = 𝑇 = 𝑥𝑦
2 = 𝑥𝑦
𝑦 = 2/𝑥
𝑦 = 2/x; para
T=2

4. 𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐿𝐴 𝐶𝑈𝑅𝑉𝐴 𝐷𝐸 𝑁𝐼𝑉𝐸𝐿 𝑇 = 3
𝑧 = 𝑇 = 𝑥𝑦
3 = 𝑥𝑦
𝑦 = 3/𝑥
𝑦 = 3/x; para
T=3

5. b.- Una hormiga, inicialmente en el P(1,4), quiere caminar sobre la placa de tal manera que la
temperatura a lo largo de su trayectoria permanezca constante. ¿Qué trayectoria debe tomar la
hormiga y cuál es la temperatura a lo largo de esa trayectoria?
Solución
Si la hormiga inicialmente se encuentra en el punto (1,4).
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
𝑇(1,4) = 1𝑥4
𝑇(1,4) = 4
Entonteces en el punto (1,4) la temperatura es 4 y como es constante en toda su trayectoria será
T=4.
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
4 = 𝑥𝑦
𝑦 = 4/𝑥
𝑦 =
4
𝑥
; 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑚𝑖𝑔𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑧𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 e igual a 4.