serie geométrica

1. SERIES GEOMÉTRICAS
INTEGRANTES
JENNIFER NATALYA VARON DUEÑAS
COD: 20152167653
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MATEMÁTICAS
CALCULO II
BOGOTÁ D.C
2017

2. 2
Tabla de contenido
INTRODUCCION ........................................................................................................................3
JUSTIFICACION..........................................................................................................................4
METODOLOGÍA.........................................................................................................................5
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.............................................................................................5
DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA.................................................................................................5
OBJETIVOS ................................................................................................................................6
1. Objetivo General .........................................................................................................6
2. Objetivos Específicos....................................................................................................6
CAPITULO I. Definiciones. ........................................................................................................7
1. Que es una Serie .........................................................................................................7
2. Una Serie Geométrica ..................................................................................................7
3. Serie Geométrica Finita ...............................................................................................7
4. Serie Geométrica Infinita .............................................................................................8
5. Suma de una Serie Geométrica ....................................................................................9
CAPITULO II. Aplicaciones de la Serie Geométrica. .................................................................10
CAPITULO III. Conclusiones. ...................................................................................................14
BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................15
WEBGRAFIA ..........................................................................................................................16

3. 3
INTRODUCCIÓN
La aplicación y el uso del cálculo dentro de las propias matemáticas no solo se ha
concretado en pocas aplicaciones, sino que han dado formalidad a un sin número
de preguntas, en este proyecto nos dedicaremos a darle respuesta a preguntas de la
vida cotidiana las cuales se podrán resolver con ayuda de una serie geométrica, se
pretende ser una herramienta clave en la incursión de las matemáticas más
específicamente en la incursión del cálculo integral a la vida cotidiana. Buscar
respuestas matemáticas a situaciones que cualquier persona común puede presentar
en algún momento de su vida.
se explicará el concepto de una serie más específicamente de una serie geométrica se
dará al lector ejemplos que ayudaran más a entender este tipo de series, y se
presentarán problemas prácticos relacionados a nuestro tema cuyas soluciones se
darán gracias al uso de las series geométricas.

4. 4
JUSTIFICACIÓN
La aplicación y el uso del cálculo dentro de las propias matemáticas no solo se ha
concretado en pocas aplicaciones, sino que han dado formalidad a un sin número
de preguntas, las cuales están siendo objeto de nuestra investigación, al leer este
proyecto de investigación, es necesario que la persona esté consciente que somos
individuos dispuestos al cambio, buscando soluciones para resolver los diferentes
problemas críticos de aprendizaje. El principal fin de este trabajo, es abrir una puerta
hacia el conocimiento, demostrando como hay maneras muy prácticas para entender el
mundo de las matemáticas y aprender de la importancia de las matemáticas en casi
todas las áreas.

5. 5
Metodología
La metodología que se utilizará en la investigación será cualitativa y las fuentes de
recolección de información serán libros, y como soporte técnico el internet.
Planteamiento del problema
El enseñar temas matemáticos a través de ejercicios y recitar formulas se vuelve algo
mecánico el aprender matemáticas; pero entender las matemáticas con ejemplos
ligados a hechos reales y, sobre todo cotidianos promueve un acercamiento entre la
persona y la matemática y por consiguiente se consigue un mejor aprendizaje la
finalidad de este proyecto es ligar el aprendizaje de temas matemáticos con hechos
reales que ocurren en nuestro entorno por ello las situaciones o problemas aquí
planteados toma hechos sencillos extraídos de la realidad para que se entienda muy
bien donde se emplea la matemática más específicamente donde se emplea el uso de
una serie geometrica.
Delimitación del problema
El proyecto se delimitará al estudio de las situaciones de problemas reales cotidianos
de la matemática en el campo del cálculo integral.

6. 6
OBJETIVOS
Objetivo General
Fortalecer el aprendizaje y entendimiento de las matemáticas en el campo del cálculo
integral más específicamente al uso de la serie geométrica mediante el análisis en
situaciones de la vida cotidiana.
Objetivos Específicos
• Demostrar de manera explícita las diferentes técnicas del uso de una serie
geométrica para la realización en la solución de un problema basado en un
hecho real.
• Facilitar el aprendizaje del uso de la matemática en el campo del cálculo integral
con ayuda de un hecho real.
• Promover el uso de la serie geométrica para situaciones de la vida cotidiana.

7. 7
CAPITULO I
DEFINICIONES
• Que es una serie
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se han de especificar cuantos
términos estamos sumando. Existen dos casos:
➢ Sumar n términos, siendo n un número finito
➢ Sumar n términos, siendo n un número que tiende a infinito
• Una serie geométrica
Definición. Una serie geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de
ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante
llamado razón, que se representa por r.
∑ arn
= a + ar + ar2
∞
n=0
+ ar3
+ ⋯ + arn
+ ⋯ , a ≠ 0,
• Serie geométrica finita
la suma de una serie geométrica finita de razón 𝑟, existe cuando 𝑟 ≠ 1, y es
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 𝑛
+ ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛
= 𝑎
1 − 𝑟 𝑛+1
1 − 𝑟
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≠ 1
En una serie geométrica finita, el producto de los términos equidistantes de los
extremos es igual al producto de los extremos.
Ejemplo
Escrita en notación sumatoria:
Serie geométrica finita relacionada:
Razón:
1
2

8. 8
• Serie geométrica infinita
Una serie geométrica infinita es la suma de una secuencia geométrica infinita. Esta
serie no tendrá un último término. Consideramos la serie geométrica
∑ 𝑎𝑟 𝑛
.
∞
𝑛=0
Entonces.
1. La serie converge si | 𝑟| < 1. que es
∑ 𝑎𝑟 𝑛
=
𝑎
1 − 𝑟
∞
𝑛=0
2. La serie diverge si | 𝑟| ≥ 1.
Ejemplo
Escrita en notación sumatoria:
Serie geométrica finita relacionada:
Razón:
1
2
Es geométrica, pues cada termino sucesivo se obtiene al multiplicar al anterior por
1
2
y
es convergente por ser geométrica de razón
1
2
< 1.

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• Suma de una serie geométrica
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen
a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente
pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita.
La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Formula
Para 𝑟 ≠ 1; la suma de los primeros 𝑛 términos de una serie geométrica es:
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ 𝑎𝑟3
+ ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1
= ∑ 𝑎𝑟 𝑘
= 𝑎
1 − 𝑟 𝑛
1 − 𝑟
𝑛−1
𝑘=0
Donde 𝑎 es el primer término de la serie y 𝑟 la razón común.
Demostración:
Ejemplo:
Dada la suma de la serie geométrica:
La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:
Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta.
Restándolas, se obtiene:
Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.

10. 10
CAPITULO II
Aplicación de la serie geométrica
Las aplicaciones de la serie geométrica son muy variadas en este capítulo se
examinarán aplicaciones de series geométricas a los negocios, a la economía, a la
medicina y la probabilidad con ejemplos prácticos, pero también se darán ejemplos
simples para entender mas la forma de una serie geométrica y como reconocerla.
Problema 1.
Porque la serie 3, 6, 12, 24, 48 es geométrica
solución
Observemos que en la serie geométrica: 3, 6, 12, 24, 48
el producto de los términos extremos es: 3 · 48 = 144
y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.
Problema 2.
las siguientes son series geométricas?
a. 𝒔 = 1 + 12 + 14 + 18 + 116 + 132 b. 𝒔 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
solución
a. s = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 1 6 + 1 3 2 es geométrica, pues cada término sucesivo
se obtiene al multiplicar el anterior
𝑝𝑜𝑟 1 2 1 2 𝑠 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 1 6 + 1 3 2 + 1 6 4
𝑠 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 1 6 + 1 3 2 + 1 6 4
Para el término general:
𝑎𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛 − 1 ⟶ 𝑎6 = 1 2 𝑟 6 − 1 ⟶ 1 64 = 1 2 𝑟 5 ⟶ 1 32 = 𝑟 5 ⟶ 1 2 = 𝑟
Para el producto de los primeros n términos:

11. 11
𝑃 𝑛 = 𝑎 1 · 𝑎 𝑛 𝑛 ⟶ 𝑃 6 = 1 2 · 1 64 6 ⟶ 𝑃 6 = 1 128 6 ⟶ 𝑃 6 = 1 128 3 ⟶ 𝑃 6 = 1 2097152
Para la suma de los primeros n términos:
𝑆 𝑛 = 𝑎 𝑛 · 𝑟 − 𝑎 1 𝑟 − 1 ⟶ 𝑆 6 = 1 64 · 1 2 − 1 2 1 2 − 1 ⟶ 𝑆 6 = 1 128 − 1 2 − 1 2 ⟶ 𝑆 6 =
− 64 128 − 1 2 ⟶ 𝑆 6 = − 63 128 − 1 2 ⟶ 𝑆 6 = 126 128
b. Dada la suma de la serie geométrica:
𝑠 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
La razón común de esta serie es 2. Multiplicando por 2 cada término, se
obtiene:
2 · 𝑠 = (1 · 2) + (3 · 2) + (5 · 2) + (7 · 2) + (9 · 2) + (11 · 2) + (13 · 2)
2 · 𝑠 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26
Para el término general:
𝑎2 = 𝑎1 · 𝑟 ⟶ 6 = 2 · 2
No se cumple para el primer término, por lo tanto, no es una serie geométrica
Problema 3.
Hallar la cantidad de dinero que debe invertirse hoy a una tasa de interés anual de 10%
capitalizado continuamente, de manera que se pueden hacer retiros anuales de UD$400
a perpetuidad, comenzando el próximo año.
Solución
La cantidad que debería invertirse hoy para generar la secuencia deseada de retiros es
la suma de los valores presentes de los retiros individuales. Calcular el valor presente
de cada retiro aplicando la formula P= B𝑒−𝑟𝑡
, con B=400, r=0.1 y t el tiempo (en años)
en el que se hace el retiro. Así,
𝑃1= Valor presente del primer retiro = 400𝑒−0.1(1)
=400𝑒−0.1
𝑃2 =Valor presente del segundo retiro = 400𝑒−0.1(2)
=400𝑒−0.2
.
.
.
𝑃2 = Valor presente del n- esimo retiro = 400𝑒−0.1(𝑛)

12. 12
Y así sucesivamente.
El valor presente del 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 retiro
𝑃𝑛= 400𝑒−0.1(𝑛)
n años
400
t
0 1 2 n
Debería de invertirse hoy es la suma de estos valores presentes (infinitos). Es decir,
Cantidad por invertir = ∑ 𝑃𝑛 = ∑ 400𝑒−0.1(𝑛)
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
= 400 [𝑒−0.1
+ 𝑒−0.2
+ 𝑒−0.3
+ ⋯ ]
= 400𝑒−0.1[1 + 𝑒−0.1
+ (𝑒−0.1
)2
+ ⋯ ]
Esta serie se reconoce como una serie geométrica con 𝑎 = 400𝑒−0.1
y 𝑟 = 𝑒−0.1
=
0.9048. como | 𝑟| < 1, la serie converge a la suma
∑ 400𝑒−0.1(𝑛)
∞
𝑛=1
=
400𝑒−0.1
1 − 𝑒−0.1
= 3803.33
En consecuencia, se deben invertir 𝑈𝑆$3,803.33 para lograr el objetivo establecido.
Problema 4
A un paciente se le administra una inyección de 10 unidades de cierta medicina cada 24
horas. La medicina se elimina exponencialmente de madera que la fracción que
permanece en el cuerpo del paciente después de 𝑡 días es
𝑓( 𝑡) = 𝑒
−𝑡
5 . si el tratamiento continua de manera indefinida, ¿aproximadamente cuantas
unidades de la medicina habrá finalmente en el cuerpo del paciente, justo antes de una
inyección?
Solución
De la dosis original de 10 unidades, quedan 10𝑒−
1
5 unidades en el cuerpo del paciente
después de 1 día (justo antes de la segunda inyección).es decir

13. 13
Cantidad presente en el cuerpo después de 1 día = 𝑠1= 10𝑒−
1
5
Después de dos días, en el cuerpo del paciente se hallaran los residuos de las 2 primera
dosis. De la dosis original, solo quedan 10𝑒−
2
5 (después de 2 días) y de la segunda dosis
se encuentran 10𝑒−
1
5 unidades. Por tanto,
Cantidad presente en el cuerpo después de 2 días = 𝑠2= 10𝑒−
1
5 + 10𝑒−
2
5
De igual manera,
Cantidad presente en el cuerpo = 𝑠 𝑛 = 10𝑒−
1
5 + 10𝑒−
2
5 + ⋯ + 10𝑒−
𝑛
5
Después de n días
10 10𝑒−
2
5
10 10𝑒−
2
5
t
0 1 2
La cantidad 𝑠 de medicamento que aun queda en el cuerpo del paciente a largo plazo
es el limite de 𝑠 𝑛 cuando 𝑛 tiende a infinito. Es decir,
𝑠 = lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 = ∑ 10𝑒−𝑛 5⁄
∞
𝑛=1
𝑠 = ∑(10𝑒−𝑛 5⁄
) 𝑛
∞
𝑛=1
= 10𝑒−
1
5 ∑(𝑒−1 5⁄
) 𝑛
∞
𝑛=0
𝑠 = 10𝑒−1 5⁄
(
1
1 − 𝑒−1 5⁄ ) ≅ 45.17 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
2
dias
2 dias
1 día

14. 14
CAPITULO III
Conclusiones del trabajo
Hemos finalizado el proyecto de series geométricas. A estas alturas debemos ser
capaces de identificar series geométricas, y de encontrar el 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 termino de las
misma. calcular las sumas y los productos de las series dadas, usando las respectivas
formulas.
Además, dado el 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 término de una serie, se debe ser capaz de encontrar
cualquier término de la misma.
También hemos aprendido la utilidad de las series geométricas en los negocios, la
economía, la medicina y probabilidad.

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BIBLIOGRAFÍA
1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FAC. DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE ING. DE SISTEMAS
PROYECTO:
Fortalecer el aprendizaje a través del conocimiento de las aplicaciones de las
integrales en las ciencias.
2. GIRÓN, Suazo Marie Cosette. Aplicaciones de matemática y calculo a
situaciones reales. Lima, junio de 2012.
3. Freudenthal, Hans, Las matemáticas en la vida cotidiana. Madrid, 1905.
4. Solomon, Garfunkel. Las matemáticas en la vida cotidiana. Madrid, 1999.
5. Hoffmann, Laurence, cálculo para administración, economía y ciencias sociales.
Colombia, 2000.

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WEBGRAFÍA
1. Wikipedia, la enciclopedia libre. Serie geométrica. website
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_geom%C3%A9trica
2. Personal.upv.es. series. website
http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/series.htm#geometrica
3. Quiz.uprm.edu. series geométricas. website
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/series/series_Geom_right.xhtml
4. Wordpress.com. la serie geométrica y la suma infinita . website
https://demostracionpy.wordpress.com/2015/01/20/la-serie-geometrica-y-la-
suma-infinita/
5. Masterfinanciero.es. sucesiones y series. website
http://www.masterfinanciero.es/2011/09/sucesiones-y-series-geometricas.html