Aplicaciones de la derivadas

1. REPUBLICA BOLIVARIANADE VENEZUELA
MINISTERIODEL PODERPOPULARPARALA EDUCACIONSUPERIOR
INSTITUTOUNIVERSITARIOTECNOLOGICO
“ANTONIOJOSÉ DE SUCRE”
INTEGRANTES:
PEDROCORTEZCI: 23572962

2. Las derivadasson unasfunciones matemáticas que, a partir del sigloXVII, gracias a los estudios de Isaac Newtony
Leibniz, dieronsolución al cálculo infinitesimal, que se había empezadoa estudiar en la Greciaclásica, más o menosen
sigloIII a. C. Cadauno de estos dos autores crearon un sistemade cálculopropio. La importanciade las derivadas está
en que, hoy día, no es posible entender el mundoen que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoríade los cálculos
científicosy en casi todolo que nos rodea. A lo largode los siglos, otrosmatemáticosy científicos han aportado
muchísimosestudios paramejorary hacer más exactoslos cálculos.
Aunque no es un elementotangible, su valor radicaen que, desde el puntode vistacientífico, se aplicaa numerosas
investigacionesimportantísimas y de las que sus aplicaciones reviertenen la propiasociedad. Así,las derivadas son
esenciales paraestudios tan importantes comoel de la relatividad, la mecánicacuántica, la ingeniería, ecuaciones
diferenciales, teoríade las probabilidades, sistemas dinámicos, teoríade las funciones, etc. Actualmentetambién son
necesarios en la computación, etc.
Las derivadasaportan información concreta, directay científicaa los expertos y, con esos resultados, interpretan y son
capaces de ofrecer información acercade nuestrapropiaexistenciay también utilizarlaspara aplicarlasen cosastan
habitualescomoel vuelo de un avión, el movimientode un coche, la construcción de un edificio, de un contenedoro de
muchosotros elementos que para nosotros son normalesy que, sin embargo, sin su utilización no serían posibles.

4. Aplicación física de la derivada
La tasa de variaciónmediade la funciónespacioen el intervalo [t0, t] es: vM(t)=
Que es lo que en Física llaman la velocidadmediaen ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite
cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respectodel tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio3. La ecuaciónde un movimientoes , , calculala velocidad en el instantet =5.
Solución
v(t)=E’(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
Consideremos la función espacio E= E(t).

5. El ejemplomásclaroparailustrarloeselde velocidadinstantánea.Cuandodecimosqueenuninstantedadola velocidadesde 120 km/h, ¿quéestamos
diciendoexactamente?Evidentemente,no quedurantelaúltimahorase hanrecorrido120 km,ya queigualsólose llevan10 minutosde marcha.
Podríamosdecirqueduranteel últimominutose hanrecorrido2 km. yaque
Esto ya es más preciso, peroaun no es del todosatisfactorio,ya que en un minutohay tiemposuficientea aceleraro frenar. Una mejor
aproximaciónseríaafirmar queen el últimosegundose ha recorrido(1/30) km= 33.3 m. O podríamosdecirqueen la últimadécimade
segundose han recorrido3.33 m,…
En todos loscasos la velocidad es de 120 km/h, perocuantomás pequeñoes el intervalode tiempoconsiderado,más nos acercamos al
idealde medir la velocidaden un instantedado.
Se define entoncesla velocidadinstantánea comoel cocienteentrela distanciarecorriday el tiempoempleadoen recorrerla, cuando
ambas cantidadesse hacenmuy pequeñas,reduciéndose a diferenciales
la velocidad en ( intermedioa 0.30 s y 0.40 s) valeaproximadamente
Vemos que aunque los incrementos son diferenciales, muy pequeños, su cocientees una cantidad finita.
El conceptode velocidadinstantánease generaliza a toda derivada de una funciónf respectoa una variableu: El cocienteentreel
diferencialde la funcióny el de la variable

7. Aplicación de las Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea
Recta
Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervaloabierto (a, b) (o [a,¥) o (-¥,a), (-¥,¥)) si es
derivableen todo númerodel intervalo.
Velocidad
Seas =f(t)la función posición de un objetoque se mueve a lo largode unarecta numérica. L a velocidad
(instantánea) del objetoen el instantet esta dadapor:
V(t)= ds /dt = f ´(t)
La velocidad es positivao negativa, si el objetose desplazaen el sentido positivo o negativode la rectanumérica. Si la
velocidad es cero el objeto estáen reposo.
Ejemplo: Un objetose mueve sobre unarectade acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7
Donde s se mide en centímetrosy t en segundos
Hallarla velocidad del objeto cuandot=1 y cuandot=5
Solución
Tenemos que V(t)=ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt=6t-8)
Luego v(t)=6(1) - 8= -2 cm/seg(evaluandopara t=1)
y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg(evaluando parat=5)

8. Aceleración
Sea s= f(t)la funciónposiciónde un objeto que se muevea lo largo de una recta numérica.
La aceleración(instantánea) del objeto en el instantet, está dada por:
a(t)= dv /dt =f"(t)
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una rectade acuerdo a la ecuacións= t3-3t+1
Dondes se mide en metros y t en segundos.
a. ¿En qué instante la aceleraciónes cero?
b. Hallarla aceleración en los instantes en que la velocidades cero.
Solución
Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t
a. a(t)= 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0
b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg

14. Las derivadasen la administración son una herramientamuyútil puestoque por su misma naturalezapermiten
realizar cálculos marginales, es decir hallar la razónde cambio cuando se agrega unaunidadadicional altotal, sea
cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficioo producción.
En otras palabras la ideaes medir el cambioinstantáneoen la variable dependiente por acción de un pequeño
cambio(infinitesimal)enla segunda cantidad o variable.
La microeconomía es unaramade la economíaque estudiael comportamientode unidades económicas
individuales, comopuedenser individuos, familias y empresas, y el funcionamientode los mercadosen los cuales ellos
operan. La definiciónmás clásica de microeconomíadice que la microeconomíaes la partede la economíaque estudia
la asignación de los recursosescasos entre finalidades alternativas. La teoríamicroeconómicautilizamodelos formales
que intentan explicar y predecir, utilizandosupuestos simplificadores, el comportamiento de los consumidores y
productores, y la asignación de los recursosque surge comoresultadode su interacciónen el mercado. En general el
análisismicroeconómicose asociacon la teoríade preciosy sus derivaciones. Se consideraque el mayorcontribuyenteal
análisismicroeconómico ha sido AlfredMarshall.
Las derivadas en sus distintas presentaciones (Interpretacióngeométrica, Razónde cambio, variación
Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de decisiones, optimizaciónde
resultados (Máximos y Mínimos).

15. Ejercicio:
Si x es el numerode Unidadesde un bien; siendo;y el Preciode cada unidadentonces las Funcionesde Ofertay demandapueden
representarse. Y = f (x)
Donde:,en la practica x se tomasiemprepositivo.
Si: f’ > 0 ; la funciónes de oferta
Si: f < 0; La funciónes de Demanda.
El puntode intersecciónde las Funciones de ofertay Demandase llamapuntode equilibrio.
Hallarel puntode equilibrioy las pendientes en ese puntode las funcionesde Ofertay Demanda: Respectivamente:
Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13
Y = (208 -8x – x^2)/16 = x=8 ; y = 5
Y = (1 + x^2)/13 = -11,5 : y = 10.4
Se tomaraúnicamentela 1rasolucióncomopuntode equilibrio,ya que : x deberíaser positivo.
La pendiente de la demandaen: P(8,5)
Y = (208 -8x – x^2) /16 = Y’ = ½ -x/8
Reemplazandox=8 y’(s)= -3/2 <0
La pendiente de la ofertaen: P(8,5)
Y= 0 1 + x^2 / 13 = y’(8) = 16/13> 0

17. Muchasde lasramas de la ingenieríamecánicatoca comúnmente temasde algunas otras ingenierías. Un ejemplo
serian los motores eléctricos que tocan el campo de los ingenieroseléctricos y también los ingenieros químicos.
Al transcurrir de los años la IngenieríaMecánicase ha ramificadoen diferentes áreas como:
-Estática: Es el estudiodel equilibriode fuerzas sobre cuerposen reposo.
-Dinámica: Es el estudiode como las fuerzas afectan el movimientode los cuerpos.
-Termodinámica: Es el estudiode los cambiosde temperaturay transferenciade calor entre materiales.
-Mecánicade fluidos: Es el estudio de comoreaccionan los fluidosbajola acción de las fuerzas.
La ingenieríamecánica se extiende de tal formaque es capaz de abordar un problemacon la racionalización de varios
factores que puedenestar afectandoy que son fundamentalespara hallardeterminadasolución.
En mecánicase ocupanpara calcularpara calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto
fuerzasinternas y externas que actúan en un mecanismo, En la ingenieríatambién se utilizan parasaber como
variala temperatura en un tubocuando aumentala presión

18. Ejemplo:
Calculeel incrementoaproximadodel volumende un pistóncilíndricocircularrectosi su alturaaumenta10[cm] a
10,5[cm] y su radioaumentade 5 [cm] a 5,3 [cm].
¿Cuántoes el nuevovolumenaproximado?
* Respuesta:
h:10cm→10,5cm
r:5 cm→5,3cm
Sabemosqueelvolumendelcilindrocircularrectovienedado por:
V=𝝅r2h
Por lo tanto:
dV=∂V∂rdr+∂V∂hdh
dV=2 𝝅 hrdr+ 𝝅 r2dh
dV= 𝝅 r2hdr+rdh
dV= 𝝅 r2h±0,3+r±0,5
dV=𝝅5210±0,3+5±0,5=42,5 𝝅[cm]3
Vfinal=V+dV=292,5 𝝅[cm]3

20. La derivada comobien sabemos es un pontosobre unacurvaen el espacio...
por lo tanto en la informáticaesta en todoslos cálculos que se hacenen binariopara construir un software capaz de
diseñarun graficomodelado a escala.
Tambiénestaen todos los diagramas de circuitoslógicos connacionales paragenerarfunciones complejasy remplazar
hardware por software comolos son los microtransistores y microprocesadores.
En todas lascompuertas lógicas que contiene la unidad aritmético- lógicadentro del Microprocesador.
Informática

22. Existen muchas enfermedades que se caracterizan por la falta de esta variabilidad fisiológica, como por ejemplo en: saturación del O2
en la sangre arterial, ventilación pulmonar, EEG, ECG, respiración, glicemia, concentración de hormonas, recuento globular, etc. En
ellas la variabilidad se reemplaza por fenómenos periódicos (estereotipia), por ejemplo: enfermos por insuficiencia cardiaca congestiva,
tienen fluctuaciones periódicas de la respiración y de la frecuencia cardiaca. Es posible deducir entonces, que la variabilidad de las
funcionesbiológicases esencial para la supervivenciaya que permiteuna mejor adaptación al medio.
Algunasde estas enfermedades son: cardiovasculares (insuficienciacardíaca, coartación aórtica, rigidezaórtica, infartoal
miocardio(con distintas masascomprometidas). Estetipode estudiosesválidoy de vitalimportanciaenla medicinaclínica.
una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de
las ondas de presión arterial (p(t)) y su análisis mediante métodos matemáticos. El cálculo más utilizado es la obtención de la
derivada (dp/dt) máxima, y existen numerosos publicaciones que correlacionan este parámetro con otras mediciones más
complejas como el índice cardiaco y otros cuadros patológicos [2,3,4,]. Su demostrada utilidad clínica a llevado a la elaboración de
software comerciales como Dynapulse ® y Biobench ® entre otros, que permiten un cálculo automático de dicho parámetro a partir de
señalesde pulsoarterial.

23. V= . [R
2-r
2]
V= PR
2/4nL-Pr
2/4nL
Derivamos=dv/dr=-2rp/4nL
dv/dv=rp/ 2nL
dr/dv=-2nL/rp
dr/dv=2(0,087cm
2/s) (6,86cm)/ (0,2cm) (205344cm
2)=
0,00002906439seg.
𝑃
4𝑛𝐿